MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slemuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slemuld 27507
Description: An ordering relationship for surreal multiplication. Compare theorem 8(iii) of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
slemuld.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
slemuld.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
slemuld.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
slemuld.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ No )
slemuld.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰คs ๐ต)
slemuld.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰คs ๐ท)
Assertion
Ref Expression
slemuld (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))

Proof of Theorem slemuld
StepHypRef Expression
1 slemuld.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
2 slemuld.4 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ No )
31, 2mulscld 27504 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ท) โˆˆ No )
4 slemuld.3 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
51, 4mulscld 27504 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โˆˆ No )
63, 5subscld 27449 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆˆ No )
76adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆˆ No )
8 slemuld.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
98, 2mulscld 27504 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทs ๐ท) โˆˆ No )
108, 4mulscld 27504 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทs ๐ถ) โˆˆ No )
119, 10subscld 27449 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)) โˆˆ No )
1211adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)) โˆˆ No )
131adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
148adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
154adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
162adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ๐ท โˆˆ No )
17 simprl 769 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ๐ด <s ๐ต)
18 simprr 771 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ๐ถ <s ๐ท)
1913, 14, 15, 16, 17, 18sltmuld 27506 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) <s ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
207, 12, 19sltled 27199 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
2120anassrs 468 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ด <s ๐ต) โˆง ๐ถ <s ๐ท) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
22 0sno 27253 . . . . . . . 8 0s โˆˆ No
23 slerflex 27193 . . . . . . . 8 ( 0s โˆˆ No โ†’ 0s โ‰คs 0s )
2422, 23mp1i 13 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs 0s )
25 subsid 27451 . . . . . . . 8 ((๐ด ยทs ๐ท) โˆˆ No โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ท)) = 0s )
263, 25syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ท)) = 0s )
27 subsid 27451 . . . . . . . 8 ((๐ต ยทs ๐ท) โˆˆ No โ†’ ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ท)) = 0s )
289, 27syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ท)) = 0s )
2924, 26, 283brtr4d 5173 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ท)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ท)))
30 oveq2 7401 . . . . . . . 8 (๐ถ = ๐ท โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) = (๐ด ยทs ๐ท))
3130oveq2d 7409 . . . . . . 7 (๐ถ = ๐ท โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) = ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ท)))
32 oveq2 7401 . . . . . . . 8 (๐ถ = ๐ท โ†’ (๐ต ยทs ๐ถ) = (๐ต ยทs ๐ท))
3332oveq2d 7409 . . . . . . 7 (๐ถ = ๐ท โ†’ ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)) = ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ท)))
3431, 33breq12d 5154 . . . . . 6 (๐ถ = ๐ท โ†’ (((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)) โ†” ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ท)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ท))))
3529, 34syl5ibrcom 246 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ = ๐ท โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ))))
3635imp 407 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = ๐ท) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
3736adantlr 713 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ด <s ๐ต) โˆง ๐ถ = ๐ท) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
38 slemuld.6 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰คs ๐ท)
39 sleloe 27184 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ท โˆˆ No ) โ†’ (๐ถ โ‰คs ๐ท โ†” (๐ถ <s ๐ท โˆจ ๐ถ = ๐ท)))
404, 2, 39syl2anc 584 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โ‰คs ๐ท โ†” (๐ถ <s ๐ท โˆจ ๐ถ = ๐ท)))
4138, 40mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ <s ๐ท โˆจ ๐ถ = ๐ท))
4241adantr 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด <s ๐ต) โ†’ (๐ถ <s ๐ท โˆจ ๐ถ = ๐ท))
4321, 37, 42mpjaodan 957 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด <s ๐ต) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
44 slerflex 27193 . . . . 5 (((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)) โˆˆ No โ†’ ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
4511, 44syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
46 oveq1 7400 . . . . . 6 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ด ยทs ๐ท) = (๐ต ยทs ๐ท))
47 oveq1 7400 . . . . . 6 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) = (๐ต ยทs ๐ถ))
4846, 47oveq12d 7411 . . . . 5 (๐ด = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) = ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
4948breq1d 5151 . . . 4 (๐ด = ๐ต โ†’ (((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)) โ†” ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ))))
5045, 49syl5ibrcom 246 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ))))
5150imp 407 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = ๐ต) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
52 slemuld.5 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰คs ๐ต)
53 sleloe 27184 . . . 4 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โ†’ (๐ด โ‰คs ๐ต โ†” (๐ด <s ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต)))
541, 8, 53syl2anc 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰คs ๐ต โ†” (๐ด <s ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต)))
5552, 54mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด <s ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต))
5643, 51, 55mpjaodan 957 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5141  (class class class)co 7393   No csur 27070   <s cslt 27071   โ‰คs csle 27174   0s c0s 27249   -s csubs 27411   ยทs cmuls 27476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-ot 4631  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-1o 8448  df-2o 8449  df-nadd 8648  df-no 27073  df-slt 27074  df-bday 27075  df-sle 27175  df-sslt 27209  df-scut 27211  df-0s 27251  df-made 27265  df-old 27266  df-left 27268  df-right 27269  df-norec 27338  df-norec2 27349  df-adds 27360  df-negs 27412  df-subs 27413  df-muls 27477
This theorem is referenced by:  mulsuniflem  27516
  Copyright terms: Public domain W3C validator