MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slemuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slemuld 27523
Description: An ordering relationship for surreal multiplication. Compare theorem 8(iii) of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
slemuld.1 (𝜑𝐴 No )
slemuld.2 (𝜑𝐵 No )
slemuld.3 (𝜑𝐶 No )
slemuld.4 (𝜑𝐷 No )
slemuld.5 (𝜑𝐴 ≤s 𝐵)
slemuld.6 (𝜑𝐶 ≤s 𝐷)
Assertion
Ref Expression
slemuld (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐶)) ≤s ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem slemuld
StepHypRef Expression
1 slemuld.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 No )
2 slemuld.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 No )
31, 2mulscld 27520 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐷) ∈ No )
4 slemuld.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 No )
51, 4mulscld 27520 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
63, 5subscld 27464 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐶)) ∈ No )
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 <s 𝐵𝐶 <s 𝐷)) → ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐶)) ∈ No )
8 slemuld.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 No )
98, 2mulscld 27520 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐷) ∈ No )
108, 4mulscld 27520 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
119, 10subscld 27464 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)) ∈ No )
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 <s 𝐵𝐶 <s 𝐷)) → ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)) ∈ No )
131adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 <s 𝐵𝐶 <s 𝐷)) → 𝐴 No )
148adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 <s 𝐵𝐶 <s 𝐷)) → 𝐵 No )
154adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 <s 𝐵𝐶 <s 𝐷)) → 𝐶 No )
162adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 <s 𝐵𝐶 <s 𝐷)) → 𝐷 No )
17 simprl 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 <s 𝐵𝐶 <s 𝐷)) → 𝐴 <s 𝐵)
18 simprr 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 <s 𝐵𝐶 <s 𝐷)) → 𝐶 <s 𝐷)
1913, 14, 15, 16, 17, 18sltmuld 27522 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 <s 𝐵𝐶 <s 𝐷)) → ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐶)) <s ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)))
207, 12, 19sltled 27201 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 <s 𝐵𝐶 <s 𝐷)) → ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐶)) ≤s ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)))
2120anassrs 468 . . 3 (((𝜑𝐴 <s 𝐵) ∧ 𝐶 <s 𝐷) → ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐶)) ≤s ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)))
22 0sno 27256 . . . . . . . 8 0s No
23 slerflex 27195 . . . . . . . 8 ( 0s No → 0s ≤s 0s )
2422, 23mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → 0s ≤s 0s )
25 subsid 27466 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·s 𝐷) ∈ No → ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐷)) = 0s )
263, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐷)) = 0s )
27 subsid 27466 . . . . . . . 8 ((𝐵 ·s 𝐷) ∈ No → ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐷)) = 0s )
289, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐷)) = 0s )
2924, 26, 283brtr4d 5174 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐷)) ≤s ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐷)))
30 oveq2 7402 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐷 → (𝐴 ·s 𝐶) = (𝐴 ·s 𝐷))
3130oveq2d 7410 . . . . . . 7 (𝐶 = 𝐷 → ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐶)) = ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐷)))
32 oveq2 7402 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐷 → (𝐵 ·s 𝐶) = (𝐵 ·s 𝐷))
3332oveq2d 7410 . . . . . . 7 (𝐶 = 𝐷 → ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)) = ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐷)))
3431, 33breq12d 5155 . . . . . 6 (𝐶 = 𝐷 → (((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐶)) ≤s ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)) ↔ ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐷)) ≤s ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐷))))
3529, 34syl5ibrcom 246 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 = 𝐷 → ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐶)) ≤s ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶))))
3635imp 407 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 𝐷) → ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐶)) ≤s ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)))
3736adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝐴 <s 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐶)) ≤s ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)))
38 slemuld.6 . . . . 5 (𝜑𝐶 ≤s 𝐷)
39 sleloe 27186 . . . . . 6 ((𝐶 No 𝐷 No ) → (𝐶 ≤s 𝐷 ↔ (𝐶 <s 𝐷𝐶 = 𝐷)))
404, 2, 39syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ≤s 𝐷 ↔ (𝐶 <s 𝐷𝐶 = 𝐷)))
4138, 40mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 <s 𝐷𝐶 = 𝐷))
4241adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 <s 𝐵) → (𝐶 <s 𝐷𝐶 = 𝐷))
4321, 37, 42mpjaodan 957 . 2 ((𝜑𝐴 <s 𝐵) → ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐶)) ≤s ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)))
44 slerflex 27195 . . . . 5 (((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)) ∈ No → ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)) ≤s ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)))
4511, 44syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)) ≤s ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)))
46 oveq1 7401 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ·s 𝐷) = (𝐵 ·s 𝐷))
47 oveq1 7401 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ·s 𝐶) = (𝐵 ·s 𝐶))
4846, 47oveq12d 7412 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐶)) = ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)))
4948breq1d 5152 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐶)) ≤s ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)) ↔ ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)) ≤s ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶))))
5045, 49syl5ibrcom 246 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐶)) ≤s ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶))))
5150imp 407 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐶)) ≤s ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)))
52 slemuld.5 . . 3 (𝜑𝐴 ≤s 𝐵)
53 sleloe 27186 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵)))
541, 8, 53syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵)))
5552, 54mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵))
5643, 51, 55mpjaodan 957 1 (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐷) -s (𝐴 ·s 𝐶)) ≤s ((𝐵 ·s 𝐷) -s (𝐵 ·s 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5142  (class class class)co 7394   No csur 27072   <s cslt 27073   ≤s csle 27176   0s c0s 27252   -s csubs 27424   ·s cmuls 27491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-1o 8450  df-2o 8451  df-nadd 8650  df-no 27075  df-slt 27076  df-bday 27077  df-sle 27177  df-sslt 27212  df-scut 27214  df-0s 27254  df-made 27271  df-old 27272  df-left 27274  df-right 27275  df-norec 27351  df-norec2 27362  df-adds 27373  df-negs 27425  df-subs 27426  df-muls 27492
This theorem is referenced by:  mulsuniflem  27533
  Copyright terms: Public domain W3C validator