MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slemuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slemuld 27942
Description: An ordering relationship for surreal multiplication. Compare theorem 8(iii) of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
slemuld.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
slemuld.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
slemuld.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
slemuld.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ No )
slemuld.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰คs ๐ต)
slemuld.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰คs ๐ท)
Assertion
Ref Expression
slemuld (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))

Proof of Theorem slemuld
StepHypRef Expression
1 slemuld.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
2 slemuld.4 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ No )
31, 2mulscld 27939 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ท) โˆˆ No )
4 slemuld.3 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
51, 4mulscld 27939 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โˆˆ No )
63, 5subscld 27877 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆˆ No )
76adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆˆ No )
8 slemuld.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
98, 2mulscld 27939 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทs ๐ท) โˆˆ No )
108, 4mulscld 27939 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทs ๐ถ) โˆˆ No )
119, 10subscld 27877 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)) โˆˆ No )
1211adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)) โˆˆ No )
131adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
148adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
154adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
162adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ๐ท โˆˆ No )
17 simprl 768 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ๐ด <s ๐ต)
18 simprr 770 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ๐ถ <s ๐ท)
1913, 14, 15, 16, 17, 18sltmuld 27941 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) <s ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
207, 12, 19sltled 27606 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด <s ๐ต โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
2120anassrs 467 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ด <s ๐ต) โˆง ๐ถ <s ๐ท) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
22 0sno 27663 . . . . . . . 8 0s โˆˆ No
23 slerflex 27600 . . . . . . . 8 ( 0s โˆˆ No โ†’ 0s โ‰คs 0s )
2422, 23mp1i 13 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0s โ‰คs 0s )
25 subsid 27881 . . . . . . . 8 ((๐ด ยทs ๐ท) โˆˆ No โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ท)) = 0s )
263, 25syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ท)) = 0s )
27 subsid 27881 . . . . . . . 8 ((๐ต ยทs ๐ท) โˆˆ No โ†’ ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ท)) = 0s )
289, 27syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ท)) = 0s )
2924, 26, 283brtr4d 5170 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ท)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ท)))
30 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (๐ถ = ๐ท โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) = (๐ด ยทs ๐ท))
3130oveq2d 7417 . . . . . . 7 (๐ถ = ๐ท โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) = ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ท)))
32 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (๐ถ = ๐ท โ†’ (๐ต ยทs ๐ถ) = (๐ต ยทs ๐ท))
3332oveq2d 7417 . . . . . . 7 (๐ถ = ๐ท โ†’ ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)) = ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ท)))
3431, 33breq12d 5151 . . . . . 6 (๐ถ = ๐ท โ†’ (((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)) โ†” ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ท)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ท))))
3529, 34syl5ibrcom 246 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ = ๐ท โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ))))
3635imp 406 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = ๐ท) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
3736adantlr 712 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ด <s ๐ต) โˆง ๐ถ = ๐ท) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
38 slemuld.6 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰คs ๐ท)
39 sleloe 27591 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ท โˆˆ No ) โ†’ (๐ถ โ‰คs ๐ท โ†” (๐ถ <s ๐ท โˆจ ๐ถ = ๐ท)))
404, 2, 39syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โ‰คs ๐ท โ†” (๐ถ <s ๐ท โˆจ ๐ถ = ๐ท)))
4138, 40mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ <s ๐ท โˆจ ๐ถ = ๐ท))
4241adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด <s ๐ต) โ†’ (๐ถ <s ๐ท โˆจ ๐ถ = ๐ท))
4321, 37, 42mpjaodan 955 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด <s ๐ต) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
44 slerflex 27600 . . . . 5 (((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)) โˆˆ No โ†’ ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
4511, 44syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
46 oveq1 7408 . . . . . 6 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ด ยทs ๐ท) = (๐ต ยทs ๐ท))
47 oveq1 7408 . . . . . 6 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) = (๐ต ยทs ๐ถ))
4846, 47oveq12d 7419 . . . . 5 (๐ด = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) = ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
4948breq1d 5148 . . . 4 (๐ด = ๐ต โ†’ (((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)) โ†” ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ))))
5045, 49syl5ibrcom 246 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ))))
5150imp 406 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = ๐ต) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
52 slemuld.5 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰คs ๐ต)
53 sleloe 27591 . . . 4 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โ†’ (๐ด โ‰คs ๐ต โ†” (๐ด <s ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต)))
541, 8, 53syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰คs ๐ต โ†” (๐ด <s ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต)))
5552, 54mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด <s ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต))
5643, 51, 55mpjaodan 955 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ‰คs ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401   No csur 27477   <s cslt 27478   โ‰คs csle 27581   0s c0s 27659   -s csubs 27837   ยทs cmuls 27910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-2o 8462  df-nadd 8660  df-no 27480  df-slt 27481  df-bday 27482  df-sle 27582  df-sslt 27618  df-scut 27620  df-0s 27661  df-made 27678  df-old 27679  df-left 27681  df-right 27682  df-norec 27759  df-norec2 27770  df-adds 27781  df-negs 27838  df-subs 27839  df-muls 27911
This theorem is referenced by:  mulsuniflem  27953
  Copyright terms: Public domain W3C validator