Theorem sqsumi 43338

Description: A sum squared. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqsumi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
sqsumi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
sqsumi	⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) + (2 · (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem sqsumi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqsumi.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		sqsumi.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3	1, 2, 1, 2	muladdi 11767	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
4	1, 2	mulcli 11316	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ
5	4	2timesi 12480	. . . 4 ⊢ (2 · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))
6	5	eqcomi 2770	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (𝐴 · 𝐵))
7	6	oveq2i 7431	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) + (2 · (𝐴 · 𝐵)))
8	3, 7	eqtri 2784	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) + (2 · (𝐴 · 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  ℂcc 11198   + caddc 11203   · cmul 11205  2c2 12397

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-2 12405

This theorem is used by: (None)