Theorem sqsumi 42264

Description: A sum squared. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqsumi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
sqsumi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
sqsumi	⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) + (2 · (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem sqsumi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqsumi.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		sqsumi.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3	1, 2, 1, 2	muladdi 11635	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
4	1, 2	mulcli 11187	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ
5	4	2timesi 12325	. . . 4 ⊢ (2 · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))
6	5	eqcomi 2739	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (𝐴 · 𝐵))
7	6	oveq2i 7400	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) + (2 · (𝐴 · 𝐵)))
8	3, 7	eqtri 2753	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) + (2 · (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7389  ℂcc 11072   + caddc 11077   · cmul 11079  2c2 12242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-ltxr 11219  df-2 12250

This theorem is referenced by: (None)