Theorem negn0nposznnd 42315

Description: Lemma for dffltz 42667. (Contributed by Steven Nguyen, 27-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
negn0nposznnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
negn0nposznnd.2	⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 𝐴)
negn0nposznnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
negn0nposznnd	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem negn0nposznnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negn0nposznnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		negn0nposznnd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 𝐴)
3		nngt0 12151	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
4	2, 3	nsyl 140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
5		negn0nposznnd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
6	5	neneqd 2933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0)
7	4, 6	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝐴 = 0))
8		pm4.56 990	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝐴 = 0) ↔ ¬ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
9	7, 8	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
10		elnn0 12378	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
11	9, 10	sylnibr 329	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ0)
12		znnn0nn 12579	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℕ)
13	1, 11, 12	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5086  0cc0 11001   < clt 11141  -cneg 11340  ℕcn 12120  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464

This theorem is referenced by:  dffltz  42667