Theorem negn0nposznnd 43101

Description: Lemma for dffltz 43424. (Contributed by Steven Nguyen, 27-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
negn0nposznnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
negn0nposznnd.2	⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 𝐴)
negn0nposznnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
negn0nposznnd	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem negn0nposznnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negn0nposznnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		negn0nposznnd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 𝐴)
3		nngt0 12282	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
4	2, 3	nsyl 141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
5		negn0nposznnd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
6	5	neneqd 2965	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0)
7	4, 6	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝐴 = 0))
8		pm4.56 1004	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝐴 = 0) ↔ ¬ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
9	7, 8	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
10		elnn0 12521	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
11	9, 10	sylnibr 332	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ0)
12		znnn0nn 12723	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℕ)
13	1, 11, 12	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  0cc0 11115   < clt 11258  -cneg 11457  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607

This theorem is used by:  dffltz  43424