Theorem negn0nposznnd 41497

Description: Lemma for dffltz 41679. (Contributed by Steven Nguyen, 27-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
negn0nposznnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
negn0nposznnd.2	⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 𝐴)
negn0nposznnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
negn0nposznnd	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem negn0nposznnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negn0nposznnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		negn0nposznnd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 𝐴)
3		nngt0 12248	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
4	2, 3	nsyl 140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
5		negn0nposznnd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
6	5	neneqd 2944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0)
7	4, 6	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝐴 = 0))
8		pm4.56 986	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝐴 = 0) ↔ ¬ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
9	7, 8	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
10		elnn0 12479	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
11	9, 10	sylnibr 329	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ0)
12		znnn0nn 12678	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℕ)
13	1, 11, 12	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   class class class wbr 5148  0cc0 11114   < clt 11253  -cneg 11450  ℕcn 12217  ℕ₀cn0 12477  ℤcz 12563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564

This theorem is referenced by:  dffltz  41679