Theorem ssn0 4358

Description: A class with a nonempty subclass is nonempty. (Contributed by NM, 17-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ssn0	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem ssn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq0 4357	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐴 = ∅)
2	1	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
3	2	necon3d 2980	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐵 ≠ ∅))
4	3	imp 412	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ss 3901  df-dif 4050  df-nul 4282

This theorem is used by:  unixp0  6305  frxp  8168  onfununi  8380  frmin  9783  carddomi2  10081  fin23lem21  10447  wunex2  10853  vdwmc2  17189  gsumval2  18907  subgint  19393  subrngint  20845  subrgint  20880  nzerooringczr  21819  hausnei2  23704  fbun  24192  fbfinnfr  24193  filuni  24237  isufil2  24260  ufileu  24271  filufint  24272  fmfnfm  24310  hausflim  24333  flimclslem  24336  fclsneii  24369  fclsbas  24373  fclsrest  24376  fclscf  24377  fclsfnflim  24379  flimfnfcls  24380  fclscmp  24382  ufilcmp  24384  isfcf  24386  fcfnei  24387  clssubg  24461  ustfilxp  24565  metustfbas  24909  restmetu  24922  reperflem  25171  metdseq0  25207  relcmpcmet  25672  bcthlem5  25682  minveclem4a  25784  dvlip  26346  wlkvtxiedg  30238  imadifxp  33270  constrextdg2lem  34463  bnj970  35660  neibastop1  37338  neibastop2  37340  dfttc4  37509  elttcirr  37510  heibor1lem  38946  isnumbasabl  44311  dfacbasgrp  44313  ioossioobi  46744  islptre  46846  stoweidlem35  47260  stoweidlem39  47264  fourierdlem46  47377