Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnumbasabl 42442
Description: A set is numerable iff it and its Hartogs number can be jointly given the structure of an Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnumbasabl (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 βˆͺ (harβ€˜π‘†)) ∈ (Base β€œ Abel))

Proof of Theorem isnumbasabl
StepHypRef Expression
1 harcl 9568 . . . . 5 (harβ€˜π‘†) ∈ On
2 onenon 9958 . . . . 5 ((harβ€˜π‘†) ∈ On β†’ (harβ€˜π‘†) ∈ dom card)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (harβ€˜π‘†) ∈ dom card
4 unnum 10205 . . . 4 ((𝑆 ∈ dom card ∧ (harβ€˜π‘†) ∈ dom card) β†’ (𝑆 βˆͺ (harβ€˜π‘†)) ∈ dom card)
53, 4mpan2 690 . . 3 (𝑆 ∈ dom card β†’ (𝑆 βˆͺ (harβ€˜π‘†)) ∈ dom card)
6 ssun2 4169 . . . 4 (harβ€˜π‘†) βŠ† (𝑆 βˆͺ (harβ€˜π‘†))
7 harn0 42438 . . . 4 (𝑆 ∈ dom card β†’ (harβ€˜π‘†) β‰  βˆ…)
8 ssn0 4396 . . . 4 (((harβ€˜π‘†) βŠ† (𝑆 βˆͺ (harβ€˜π‘†)) ∧ (harβ€˜π‘†) β‰  βˆ…) β†’ (𝑆 βˆͺ (harβ€˜π‘†)) β‰  βˆ…)
96, 7, 8sylancr 586 . . 3 (𝑆 ∈ dom card β†’ (𝑆 βˆͺ (harβ€˜π‘†)) β‰  βˆ…)
10 isnumbasgrplem3 42441 . . 3 (((𝑆 βˆͺ (harβ€˜π‘†)) ∈ dom card ∧ (𝑆 βˆͺ (harβ€˜π‘†)) β‰  βˆ…) β†’ (𝑆 βˆͺ (harβ€˜π‘†)) ∈ (Base β€œ Abel))
115, 9, 10syl2anc 583 . 2 (𝑆 ∈ dom card β†’ (𝑆 βˆͺ (harβ€˜π‘†)) ∈ (Base β€œ Abel))
12 ablgrp 19724 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ Abel β†’ π‘₯ ∈ Grp)
1312ssriv 3982 . . . . 5 Abel βŠ† Grp
14 imass2 6100 . . . . 5 (Abel βŠ† Grp β†’ (Base β€œ Abel) βŠ† (Base β€œ Grp))
1513, 14ax-mp 5 . . . 4 (Base β€œ Abel) βŠ† (Base β€œ Grp)
1615sseli 3974 . . 3 ((𝑆 βˆͺ (harβ€˜π‘†)) ∈ (Base β€œ Abel) β†’ (𝑆 βˆͺ (harβ€˜π‘†)) ∈ (Base β€œ Grp))
17 isnumbasgrplem2 42440 . . 3 ((𝑆 βˆͺ (harβ€˜π‘†)) ∈ (Base β€œ Grp) β†’ 𝑆 ∈ dom card)
1816, 17syl 17 . 2 ((𝑆 βˆͺ (harβ€˜π‘†)) ∈ (Base β€œ Abel) β†’ 𝑆 ∈ dom card)
1911, 18impbii 208 1 (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 βˆͺ (harβ€˜π‘†)) ∈ (Base β€œ Abel))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   βˆͺ cun 3942   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  dom cdm 5672   β€œ cima 5675  Oncon0 6363  β€˜cfv 6542  harchar 9565  cardccrd 9944  Basecbs 17165  Grpcgrp 18875  Abelcabl 19720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-seqom 8460  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-ec 8718  df-qs 8722  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-har 9566  df-wdom 9574  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-hash 14308  df-dvds 16217  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-prds 17414  df-pws 17416  df-imas 17475  df-qus 17476  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-nsg 19063  df-eqg 19064  df-ghm 19152  df-gim 19197  df-gic 19198  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-rhm 20393  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lsp 20838  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-lidl 21086  df-rsp 21087  df-2idl 21126  df-cnfld 21260  df-zring 21353  df-zrh 21409  df-zn 21412  df-dsmm 21646  df-frlm 21661
This theorem is referenced by:  isnumbasgrp  42443
  Copyright terms: Public domain W3C validator