Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnumbasabl 43095
Description: A set is numerable iff it and its Hartogs number can be jointly given the structure of an Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnumbasabl (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))

Proof of Theorem isnumbasabl
StepHypRef Expression
1 harcl 9597 . . . . 5 (har‘𝑆) ∈ On
2 onenon 9987 . . . . 5 ((har‘𝑆) ∈ On → (har‘𝑆) ∈ dom card)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (har‘𝑆) ∈ dom card
4 unnum 10235 . . . 4 ((𝑆 ∈ dom card ∧ (har‘𝑆) ∈ dom card) → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ dom card)
53, 4mpan2 691 . . 3 (𝑆 ∈ dom card → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ dom card)
6 ssun2 4189 . . . 4 (har‘𝑆) ⊆ (𝑆 ∪ (har‘𝑆))
7 harn0 43091 . . . 4 (𝑆 ∈ dom card → (har‘𝑆) ≠ ∅)
8 ssn0 4410 . . . 4 (((har‘𝑆) ⊆ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∧ (har‘𝑆) ≠ ∅) → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ≠ ∅)
96, 7, 8sylancr 587 . . 3 (𝑆 ∈ dom card → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ≠ ∅)
10 isnumbasgrplem3 43094 . . 3 (((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ dom card ∧ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ≠ ∅) → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))
115, 9, 10syl2anc 584 . 2 (𝑆 ∈ dom card → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))
12 ablgrp 19818 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Abel → 𝑥 ∈ Grp)
1312ssriv 3999 . . . . 5 Abel ⊆ Grp
14 imass2 6123 . . . . 5 (Abel ⊆ Grp → (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp))
1513, 14ax-mp 5 . . . 4 (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp)
1615sseli 3991 . . 3 ((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel) → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp))
17 isnumbasgrplem2 43093 . . 3 ((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp) → 𝑆 ∈ dom card)
1816, 17syl 17 . 2 ((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel) → 𝑆 ∈ dom card)
1911, 18impbii 209 1 (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wcel 2106  wne 2938  cun 3961  wss 3963  c0 4339  dom cdm 5689  cima 5692  Oncon0 6386  cfv 6563  harchar 9594  cardccrd 9973  Basecbs 17245  Grpcgrp 18964  Abelcabl 19814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-seqom 8487  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-har 9595  df-wdom 9603  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-hash 14367  df-dvds 16288  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-gic 19291  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zn 21535  df-dsmm 21770  df-frlm 21785
This theorem is referenced by:  isnumbasgrp  43096
  Copyright terms: Public domain W3C validator