Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnumbasabl 39571
 Description: A set is numerable iff it and its Hartogs number can be jointly given the structure of an Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnumbasabl (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))

Proof of Theorem isnumbasabl
StepHypRef Expression
1 harcl 9014 . . . . 5 (har‘𝑆) ∈ On
2 onenon 9367 . . . . 5 ((har‘𝑆) ∈ On → (har‘𝑆) ∈ dom card)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (har‘𝑆) ∈ dom card
4 unnum 9611 . . . 4 ((𝑆 ∈ dom card ∧ (har‘𝑆) ∈ dom card) → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ dom card)
53, 4mpan2 687 . . 3 (𝑆 ∈ dom card → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ dom card)
6 ssun2 4153 . . . 4 (har‘𝑆) ⊆ (𝑆 ∪ (har‘𝑆))
7 harn0 39567 . . . 4 (𝑆 ∈ dom card → (har‘𝑆) ≠ ∅)
8 ssn0 4358 . . . 4 (((har‘𝑆) ⊆ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∧ (har‘𝑆) ≠ ∅) → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ≠ ∅)
96, 7, 8sylancr 587 . . 3 (𝑆 ∈ dom card → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ≠ ∅)
10 isnumbasgrplem3 39570 . . 3 (((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ dom card ∧ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ≠ ∅) → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))
115, 9, 10syl2anc 584 . 2 (𝑆 ∈ dom card → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))
12 ablgrp 18831 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Abel → 𝑥 ∈ Grp)
1312ssriv 3975 . . . . 5 Abel ⊆ Grp
14 imass2 5963 . . . . 5 (Abel ⊆ Grp → (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp))
1513, 14ax-mp 5 . . . 4 (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp)
1615sseli 3967 . . 3 ((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel) → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp))
17 isnumbasgrplem2 39569 . . 3 ((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp) → 𝑆 ∈ dom card)
1816, 17syl 17 . 2 ((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel) → 𝑆 ∈ dom card)
1911, 18impbii 210 1 (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 207   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021   ∪ cun 3938   ⊆ wss 3940  ∅c0 4295  dom cdm 5554   “ cima 5557  Oncon0 6189  ‘cfv 6352  harchar 9009  cardccrd 9353  Basecbs 16473  Grpcgrp 18033  Abelcabl 18827 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-tpos 7883  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-seqom 8075  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-ec 8281  df-qs 8285  df-map 8398  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-har 9011  df-wdom 9012  df-dju 9319  df-card 9357  df-acn 9360  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-hash 13681  df-dvds 15598  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-0g 16705  df-prds 16711  df-pws 16713  df-imas 16771  df-qus 16772  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-mhm 17944  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-sbg 18038  df-mulg 18155  df-subg 18206  df-nsg 18207  df-eqg 18208  df-ghm 18286  df-gim 18329  df-gic 18330  df-cmn 18828  df-abl 18829  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-cring 19220  df-oppr 19293  df-dvdsr 19311  df-rnghom 19387  df-subrg 19453  df-lmod 19556  df-lss 19624  df-lsp 19664  df-sra 19864  df-rgmod 19865  df-lidl 19866  df-rsp 19867  df-2idl 19924  df-cnfld 20462  df-zring 20534  df-zrh 20567  df-zn 20570  df-dsmm 20792  df-frlm 20807 This theorem is referenced by:  isnumbasgrp  39572
 Copyright terms: Public domain W3C validator