Theorem isnumbasabl 41833

Description: A set is numerable iff it and its Hartogs number can be jointly given the structure of an Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnumbasabl	⊢ (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))

Proof of Theorem isnumbasabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harcl 9550	. . . . 5 ⊢ (har‘𝑆) ∈ On
2		onenon 9940	. . . . 5 ⊢ ((har‘𝑆) ∈ On → (har‘𝑆) ∈ dom card)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (har‘𝑆) ∈ dom card
4		unnum 10187	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ dom card ∧ (har‘𝑆) ∈ dom card) → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ dom card)
5	3, 4	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ dom card)
6		ssun2 4172	. . . 4 ⊢ (har‘𝑆) ⊆ (𝑆 ∪ (har‘𝑆))
7		harn0 41829	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (har‘𝑆) ≠ ∅)
8		ssn0 4399	. . . 4 ⊢ (((har‘𝑆) ⊆ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∧ (har‘𝑆) ≠ ∅) → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ≠ ∅)
9	6, 7, 8	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ≠ ∅)
10		isnumbasgrplem3 41832	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ dom card ∧ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ≠ ∅) → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))
11	5, 9, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))
12		ablgrp 19647	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Abel → 𝑥 ∈ Grp)
13	12	ssriv 3985	. . . . 5 ⊢ Abel ⊆ Grp
14		imass2 6098	. . . . 5 ⊢ (Abel ⊆ Grp → (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp)
16	15	sseli 3977	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel) → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp))
17		isnumbasgrplem2 41831	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp) → 𝑆 ∈ dom card)
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel) → 𝑆 ∈ dom card)
19	11, 18	impbii 208	1 ⊢ (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  dom cdm 5675   “ cima 5678  Oncon0 6361  ‘cfv 6540  harchar 9547  cardccrd 9926  Basecbs 17140  Grpcgrp 18815  Abelcabl 19643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-seqom 8444  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-har 9548  df-wdom 9556  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-hash 14287  df-dvds 16194  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-pws 17391  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-gim 19127  df-gic 19128  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-2idl 20849  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-zn 21047  df-dsmm 21278  df-frlm 21293

This theorem is referenced by:  isnumbasgrp  41834