Theorem isnumbasabl 43463

Description: A set is numerable iff it and its Hartogs number can be jointly given the structure of an Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnumbasabl	⊢ (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))

Proof of Theorem isnumbasabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harcl 9476	. . . . 5 ⊢ (har‘𝑆) ∈ On
2		onenon 9873	. . . . 5 ⊢ ((har‘𝑆) ∈ On → (har‘𝑆) ∈ dom card)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (har‘𝑆) ∈ dom card
4		unnum 10119	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ dom card ∧ (har‘𝑆) ∈ dom card) → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ dom card)
5	3, 4	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ dom card)
6		ssun2 4133	. . . 4 ⊢ (har‘𝑆) ⊆ (𝑆 ∪ (har‘𝑆))
7		harn0 43459	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (har‘𝑆) ≠ ∅)
8		ssn0 4358	. . . 4 ⊢ (((har‘𝑆) ⊆ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∧ (har‘𝑆) ≠ ∅) → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ≠ ∅)
9	6, 7, 8	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ≠ ∅)
10		isnumbasgrplem3 43462	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ dom card ∧ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ≠ ∅) → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))
11	5, 9, 10	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))
12		ablgrp 19726	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Abel → 𝑥 ∈ Grp)
13	12	ssriv 3939	. . . . 5 ⊢ Abel ⊆ Grp
14		imass2 6069	. . . . 5 ⊢ (Abel ⊆ Grp → (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp)
16	15	sseli 3931	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel) → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp))
17		isnumbasgrplem2 43461	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp) → 𝑆 ∈ dom card)
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel) → 𝑆 ∈ dom card)
19	11, 18	impbii 209	1 ⊢ (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  dom cdm 5632   “ cima 5635  Oncon0 6325  ‘cfv 6500  harchar 9473  cardccrd 9859  Basecbs 17148  Grpcgrp 18875  Abelcabl 19722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-seqom 8389  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-har 9474  df-wdom 9482  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-hash 14266  df-dvds 16192  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-prds 17379  df-pws 17381  df-imas 17441  df-qus 17442  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-nsg 19066  df-eqg 19067  df-ghm 19154  df-gim 19200  df-gic 19201  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-lidl 21175  df-rsp 21176  df-2idl 21217  df-cnfld 21322  df-zring 21414  df-zrh 21470  df-zn 21473  df-dsmm 21699  df-frlm 21714

This theorem is referenced by:  isnumbasgrp  43464