MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clssubg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clssubg 23612
Description: The closure of a subgroup in a topological group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clssubg ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
Proof of Theorem clssubg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgntr.h . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
2 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
31, 2tgptopon 23585 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
43adantr 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
5 topontop 22414 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
72subgss 19006 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
87adantl 482 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
9 toponuni 22415 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
104, 9syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
118, 10sseqtrd 4022 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
12 eqid 2732 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1312clsss3 22562 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† βˆͺ 𝐽)
146, 11, 13syl2anc 584 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† βˆͺ 𝐽)
1514, 10sseqtrrd 4023 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
1612sscls 22559 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑆 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
176, 11, 16syl2anc 584 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑆 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
18 eqid 2732 . . . . . 6 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
1918subg0cl 19013 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
2019adantl 482 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
2120ne0d 4335 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
22 ssn0 4400 . . 3 ((𝑆 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β‰  βˆ…)
2317, 21, 22syl2anc 584 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β‰  βˆ…)
24 df-ov 7411 . . . 4 (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
25 opelxpi 5713 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) Γ— ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
26 txcls 23107 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ))) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(𝑆 Γ— 𝑆)) = (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) Γ— ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
274, 4, 8, 8, 26syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(𝑆 Γ— 𝑆)) = (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) Γ— ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
28 txtopon 23094 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ))) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))))
294, 4, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))))
30 topontop 22414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ Top)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ Top)
32 cnvimass 6080 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆) βŠ† dom (-gβ€˜πΊ)
33 tgpgrp 23581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
35 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
362, 35grpsubf 18901 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp β†’ (-gβ€˜πΊ):((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))⟢(Baseβ€˜πΊ))
3734, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (-gβ€˜πΊ):((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))⟢(Baseβ€˜πΊ))
3832, 37fssdm 6737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
39 toponuni 22415 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽))
4029, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽))
4138, 40sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽))
4235subgsubcl 19016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
43423expb 1120 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
4443ralrimivva 3200 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
45 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) = ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
4645, 24eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) = (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦))
4746eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑆 ↔ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆))
4847ralxp 5841 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
4944, 48sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑆)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑆)
5137ffund 6721 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ Fun (-gβ€˜πΊ))
52 xpss12 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
538, 8, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
5437fdmd 6728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ dom (-gβ€˜πΊ) = ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
5553, 54sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† dom (-gβ€˜πΊ))
56 funimass5 7056 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun (-gβ€˜πΊ) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† dom (-gβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑆))
5751, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑆))
5850, 57mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆))
59 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)
6059clsss 22557 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ Top ∧ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ† ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆)))
6131, 41, 58, 60syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ† ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆)))
621, 35tgpsubcn 23593 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
6362adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
6412cncls2i 22773 . . . . . . . . . . 11 (((-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆)) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
6563, 11, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆)) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
6661, 65sstrd 3992 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
6727, 66eqsstrrd 4021 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) Γ— ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
6867sselda 3982 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) Γ— ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
6925, 68sylan2 593 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
7033ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
71 ffn 6717 . . . . . . 7 ((-gβ€˜πΊ):((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))⟢(Baseβ€˜πΊ) β†’ (-gβ€˜πΊ) Fn ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
72 elpreima 7059 . . . . . . 7 ((-gβ€˜πΊ) Fn ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))))
7370, 36, 71, 724syl 19 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))))
7469, 73mpbid 231 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
7574simprd 496 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
7624, 75eqeltrid 2837 . . 3 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
7776ralrimivva 3200 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆ€π‘¦ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
782, 35issubg4 19024 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆ€π‘¦ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))))
7934, 78syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆ€π‘¦ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))))
8015, 23, 77, 79mpbir3and 1342 1 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  TopOpenctopn 17366  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  -gcsg 18820  SubGrpcsubg 18999  Topctop 22394  TopOnctopon 22411  clsccl 22521   Cn ccn 22727   Γ—t ctx 23063  TopGrpctgp 23574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-plusf 18559  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-cn 22730  df-tx 23065  df-tmd 23575  df-tgp 23576
This theorem is referenced by:  clsnsg  23613  tgptsmscls  23653
  Copyright terms: Public domain W3C validator