MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clssubg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clssubg 23833
Description: The closure of a subgroup in a topological group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clssubg ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
Proof of Theorem clssubg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgntr.h . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
2 eqid 2730 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
31, 2tgptopon 23806 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
43adantr 479 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
5 topontop 22635 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
72subgss 19043 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
87adantl 480 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
9 toponuni 22636 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
104, 9syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
118, 10sseqtrd 4021 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
12 eqid 2730 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1312clsss3 22783 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† βˆͺ 𝐽)
146, 11, 13syl2anc 582 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† βˆͺ 𝐽)
1514, 10sseqtrrd 4022 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
1612sscls 22780 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑆 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
176, 11, 16syl2anc 582 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑆 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
18 eqid 2730 . . . . . 6 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
1918subg0cl 19050 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
2019adantl 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
2120ne0d 4334 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
22 ssn0 4399 . . 3 ((𝑆 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β‰  βˆ…)
2317, 21, 22syl2anc 582 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β‰  βˆ…)
24 df-ov 7414 . . . 4 (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
25 opelxpi 5712 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) Γ— ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
26 txcls 23328 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ))) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(𝑆 Γ— 𝑆)) = (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) Γ— ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
274, 4, 8, 8, 26syl22anc 835 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(𝑆 Γ— 𝑆)) = (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) Γ— ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
28 txtopon 23315 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ))) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))))
294, 4, 28syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))))
30 topontop 22635 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ Top)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ Top)
32 cnvimass 6079 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆) βŠ† dom (-gβ€˜πΊ)
33 tgpgrp 23802 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
3433adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
35 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
362, 35grpsubf 18938 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp β†’ (-gβ€˜πΊ):((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))⟢(Baseβ€˜πΊ))
3734, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (-gβ€˜πΊ):((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))⟢(Baseβ€˜πΊ))
3832, 37fssdm 6736 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
39 toponuni 22636 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽))
4029, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽))
4138, 40sseqtrd 4021 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽))
4235subgsubcl 19053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
43423expb 1118 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
4443ralrimivva 3198 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
45 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) = ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
4645, 24eqtr4di 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) = (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦))
4746eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑆 ↔ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆))
4847ralxp 5840 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
4944, 48sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑆)
5049adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑆)
5137ffund 6720 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ Fun (-gβ€˜πΊ))
52 xpss12 5690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
538, 8, 52syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
5437fdmd 6727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ dom (-gβ€˜πΊ) = ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
5553, 54sseqtrrd 4022 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† dom (-gβ€˜πΊ))
56 funimass5 7055 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun (-gβ€˜πΊ) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† dom (-gβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑆))
5751, 55, 56syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑆))
5850, 57mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆))
59 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)
6059clsss 22778 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ Top ∧ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ† ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆)))
6131, 41, 58, 60syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ† ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆)))
621, 35tgpsubcn 23814 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
6362adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
6412cncls2i 22994 . . . . . . . . . . 11 (((-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆)) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
6563, 11, 64syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆)) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
6661, 65sstrd 3991 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
6727, 66eqsstrrd 4020 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) Γ— ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
6867sselda 3981 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) Γ— ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
6925, 68sylan2 591 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
7033ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
71 ffn 6716 . . . . . . 7 ((-gβ€˜πΊ):((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))⟢(Baseβ€˜πΊ) β†’ (-gβ€˜πΊ) Fn ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
72 elpreima 7058 . . . . . . 7 ((-gβ€˜πΊ) Fn ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))))
7370, 36, 71, 724syl 19 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))))
7469, 73mpbid 231 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
7574simprd 494 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
7624, 75eqeltrid 2835 . . 3 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
7776ralrimivva 3198 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆ€π‘¦ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
782, 35issubg4 19061 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆ€π‘¦ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))))
7934, 78syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆ€π‘¦ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))))
8015, 23, 77, 79mpbir3and 1340 1 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  TopOpenctopn 17371  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  SubGrpcsubg 19036  Topctop 22615  TopOnctopon 22632  clsccl 22742   Cn ccn 22948   Γ—t ctx 23284  TopGrpctgp 23795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-topgen 17393  df-plusf 18564  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-cn 22951  df-tx 23286  df-tmd 23796  df-tgp 23797
This theorem is referenced by:  clsnsg  23834  tgptsmscls  23874
  Copyright terms: Public domain W3C validator