MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clssubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clssubg 23483
Description: The closure of a subgroup in a topological group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clssubg ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))

Proof of Theorem clssubg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgntr.h . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
2 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
31, 2tgptopon 23456 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
43adantr 482 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
5 topontop 22285 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
72subgss 18937 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
87adantl 483 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
9 toponuni 22286 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
104, 9syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
118, 10sseqtrd 3988 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
12 eqid 2733 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1312clsss3 22433 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† βˆͺ 𝐽)
146, 11, 13syl2anc 585 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† βˆͺ 𝐽)
1514, 10sseqtrrd 3989 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
1612sscls 22430 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑆 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
176, 11, 16syl2anc 585 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑆 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
18 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
1918subg0cl 18944 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
2019adantl 483 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
2120ne0d 4299 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
22 ssn0 4364 . . 3 ((𝑆 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β‰  βˆ…)
2317, 21, 22syl2anc 585 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β‰  βˆ…)
24 df-ov 7364 . . . 4 (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
25 opelxpi 5674 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) Γ— ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
26 txcls 22978 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ))) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(𝑆 Γ— 𝑆)) = (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) Γ— ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
274, 4, 8, 8, 26syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(𝑆 Γ— 𝑆)) = (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) Γ— ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
28 txtopon 22965 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ))) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))))
294, 4, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))))
30 topontop 22285 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ Top)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ Top)
32 cnvimass 6037 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆) βŠ† dom (-gβ€˜πΊ)
33 tgpgrp 23452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
3433adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
35 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
362, 35grpsubf 18834 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp β†’ (-gβ€˜πΊ):((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))⟢(Baseβ€˜πΊ))
3734, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (-gβ€˜πΊ):((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))⟢(Baseβ€˜πΊ))
3832, 37fssdm 6692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
39 toponuni 22286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽))
4029, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽))
4138, 40sseqtrd 3988 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽))
4235subgsubcl 18947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
43423expb 1121 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
4443ralrimivva 3194 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
45 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) = ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
4645, 24eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) = (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦))
4746eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑆 ↔ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆))
4847ralxp 5801 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
4944, 48sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑆)
5049adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑆)
5137ffund 6676 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ Fun (-gβ€˜πΊ))
52 xpss12 5652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
538, 8, 52syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
5437fdmd 6683 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ dom (-gβ€˜πΊ) = ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
5553, 54sseqtrrd 3989 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† dom (-gβ€˜πΊ))
56 funimass5 7009 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun (-gβ€˜πΊ) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† dom (-gβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑆))
5751, 55, 56syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((-gβ€˜πΊ)β€˜π‘§) ∈ 𝑆))
5850, 57mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆))
59 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)
6059clsss 22428 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ Top ∧ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ† ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆)))
6131, 41, 58, 60syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ† ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆)))
621, 35tgpsubcn 23464 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
6362adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
6412cncls2i 22644 . . . . . . . . . . 11 (((-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆)) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
6563, 11, 64syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ 𝑆)) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
6661, 65sstrd 3958 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜(𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
6727, 66eqsstrrd 3987 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) Γ— ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) βŠ† (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
6867sselda 3948 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) Γ— ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
6925, 68sylan2 594 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
7033ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
71 ffn 6672 . . . . . . 7 ((-gβ€˜πΊ):((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))⟢(Baseβ€˜πΊ) β†’ (-gβ€˜πΊ) Fn ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
72 elpreima 7012 . . . . . . 7 ((-gβ€˜πΊ) Fn ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))))
7370, 36, 71, 724syl 19 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))))
7469, 73mpbid 231 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
7574simprd 497 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
7624, 75eqeltrid 2838 . . 3 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
7776ralrimivva 3194 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆ€π‘¦ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
782, 35issubg4 18955 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆ€π‘¦ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))))
7934, 78syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)βˆ€π‘¦ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))))
8015, 23, 77, 79mpbir3and 1343 1 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  βŸ¨cop 4596  βˆͺ cuni 4869   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637   β€œ cima 5640  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  TopOpenctopn 17311  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  SubGrpcsubg 18930  Topctop 22265  TopOnctopon 22282  clsccl 22392   Cn ccn 22598   Γ—t ctx 22934  TopGrpctgp 23445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-plusf 18504  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-cn 22601  df-tx 22936  df-tmd 23446  df-tgp 23447
This theorem is referenced by:  clsnsg  23484  tgptsmscls  23524
  Copyright terms: Public domain W3C validator