MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkvtxiedg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wlkvtxiedg 29351
Description: The vertices of a walk are connected by indexed edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 4-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkvtxeledg.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
wlkvtxiedg (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))βˆƒπ‘’ ∈ ran 𝐼{(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† 𝑒)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐹   𝑃,π‘˜   𝑒,𝐹   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼,π‘˜   𝑃,𝑒
Proof of Theorem wlkvtxiedg
StepHypRef Expression
1 wlkvtxeledg.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
21wlkvtxeledg 29350 . 2 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
3 fvex 6894 . . . . . . . . 9 (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ V
43prnz 4773 . . . . . . . 8 {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} β‰  βˆ…
5 ssn0 4392 . . . . . . . 8 (({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} β‰  βˆ…) β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
64, 5mpan2 688 . . . . . . 7 ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
76adantl 481 . . . . . 6 (((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
8 fvn0fvelrn 6912 . . . . . 6 ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β‰  βˆ… β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ran 𝐼)
97, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ran 𝐼)
10 sseq2 4000 . . . . . 6 (𝑒 = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† 𝑒 ↔ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
1110adantl 481 . . . . 5 ((((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ∧ 𝑒 = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† 𝑒 ↔ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
12 simpr 484 . . . . 5 (((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
139, 11, 12rspcedvd 3606 . . . 4 (((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran 𝐼{(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† 𝑒)
1413ex 412 . . 3 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran 𝐼{(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† 𝑒))
1514ralimdva 3159 . 2 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))βˆƒπ‘’ ∈ ran 𝐼{(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† 𝑒))
162, 15mpd 15 1 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))βˆƒπ‘’ ∈ ran 𝐼{(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  {cpr 4622   class class class wbr 5138  ran crn 5667  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  ..^cfzo 13624  β™―chash 14287  iEdgciedg 28726  Walkscwlks 29322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-hash 14288  df-word 14462  df-wlks 29325
This theorem is referenced by:  wlkvtxedg  29370  wlkonl1iedg  29391
  Copyright terms: Public domain W3C validator