MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkvtxiedg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkvtxiedg 27979
Description: The vertices of a walk are connected by indexed edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 4-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkvtxeledg.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wlkvtxiedg (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑒,𝐹   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼,𝑘   𝑃,𝑒

Proof of Theorem wlkvtxiedg
StepHypRef Expression
1 wlkvtxeledg.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21wlkvtxeledg 27978 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
3 fvex 6780 . . . . . . . . 9 (𝑃𝑘) ∈ V
43prnz 4714 . . . . . . . 8 {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ≠ ∅
5 ssn0 4335 . . . . . . . 8 (({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ≠ ∅) → (𝐼‘(𝐹𝑘)) ≠ ∅)
64, 5mpan2 688 . . . . . . 7 ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) → (𝐼‘(𝐹𝑘)) ≠ ∅)
76adantl 482 . . . . . 6 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝐼‘(𝐹𝑘)) ≠ ∅)
8 fvn0fvelrn 7028 . . . . . 6 ((𝐼‘(𝐹𝑘)) ≠ ∅ → (𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ ran 𝐼)
97, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ ran 𝐼)
10 sseq2 3947 . . . . . 6 (𝑒 = (𝐼‘(𝐹𝑘)) → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
1110adantl 482 . . . . 5 ((((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ∧ 𝑒 = (𝐼‘(𝐹𝑘))) → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
12 simpr 485 . . . . 5 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
139, 11, 12rspcedvd 3563 . . . 4 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
1413ex 413 . . 3 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒))
1514ralimdva 3103 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒))
162, 15mpd 15 1 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  wss 3887  c0 4257  {cpr 4564   class class class wbr 5074  ran crn 5586  cfv 6427  (class class class)co 7268  0cc0 10859  1c1 10860   + caddc 10862  ..^cfzo 13370  chash 14032  iEdgciedg 27355  Walkscwlks 27951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-map 8605  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-hash 14033  df-word 14206  df-wlks 27954
This theorem is referenced by:  wlkvtxedg  27998  wlkonl1iedg  28020
  Copyright terms: Public domain W3C validator