Theorem subgint 18567

Description: The intersection of a nonempty collection of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgint	⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem subgint

Dummy variables 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intssuni 4881	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑆)
2	1	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑆)
3		ssel2 3895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4	3	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	5	subgss 18544	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
8	7	ralrimiva 3105	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑔 ∈ 𝑆 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
9		unissb 4853	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ↔ ∀𝑔 ∈ 𝑆 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
10	8, 9	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	2, 10	sstrd 3911	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
13	12	subg0cl 18551	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑔)
14	4, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑔)
15	14	ralrimiva 3105	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑔 ∈ 𝑆 (0g‘𝐺) ∈ 𝑔)
16		fvex 6730	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
17	16	elint2 4866	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑔 ∈ 𝑆 (0g‘𝐺) ∈ 𝑔)
18	15, 17	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (0g‘𝐺) ∈ ∩ 𝑆)
19	18	ne0d 4250	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ≠ ∅)
20	4	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑆)
22		elinti 4868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑔 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝑔))
23	22	imp 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑔)
24	21, 23	sylan 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑔)
25		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)
26		elinti 4868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑔 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝑔))
27	26	imp 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑔)
28	25, 27	sylan 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑔)
29		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
30	29	subgcl 18553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑔 ∧ 𝑦 ∈ 𝑔) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
31	20, 24, 28, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
32	31	ralrimiva 3105	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ∀𝑔 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
33		ovex 7246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ V
34	33	elint2 4866	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑔 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
35	32, 34	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
36	35	anassrs 471	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
37	36	ralrimiva 3105	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
38	4	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
39	23	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑔)
40		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
41	40	subginvcl 18552	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑔) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
42	38, 39, 41	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
43	42	ralrimiva 3105	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) → ∀𝑔 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
44		fvex 6730	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ V
45	44	elint2 4866	. . . . 5 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑔 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
46	43, 45	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ∩ 𝑆)
47	37, 46	jca 515	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ∩ 𝑆))
48	47	ralrimiva 3105	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆(∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ∩ 𝑆))
49		ssn0 4315	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (SubGrp‘𝐺) ≠ ∅)
50		n0 4261	. . . 4 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
51		subgrcl 18548	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
52	51	exlimiv 1938	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
53	50, 52	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ≠ ∅ → 𝐺 ∈ Grp)
54	5, 29, 40	issubg2 18558	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (∩ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ∩ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆(∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ∩ 𝑆))))
55	49, 53, 54	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (∩ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ∩ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆(∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ∩ 𝑆))))
56	11, 19, 48, 55	mpbir3and 1344	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089  ∃wex 1787   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237  ∪ cuni 4819  ∩ cint 4859  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +_gcplusg 16802  0_gc0g 16944  Grpcgrp 18365  inv_gcminusg 18366  SubGrpcsubg 18537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-subg 18540

This theorem is referenced by:  subrgint  19822  subdrgint  19847  primefld0cl  19850