MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgint Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgint 19070
Description: The intersection of a nonempty collection of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subgint ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem subgint
Dummy variables 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intssuni 4974 . . . 4 (𝑆 ≠ ∅ → 𝑆 𝑆)
21adantl 481 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 𝑆)
3 ssel2 3977 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
43adantlr 712 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 eqid 2731 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
65subgss 19047 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
74, 6syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
87ralrimiva 3145 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑔𝑆 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
9 unissb 4943 . . . 4 ( 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ↔ ∀𝑔𝑆 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
108, 9sylibr 233 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
112, 10sstrd 3992 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12 eqid 2731 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
1312subg0cl 19054 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑔)
144, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑔)
1514ralrimiva 3145 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑔𝑆 (0g𝐺) ∈ 𝑔)
16 fvex 6904 . . . . 5 (0g𝐺) ∈ V
1716elint2 4957 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑔𝑆 (0g𝐺) ∈ 𝑔)
1815, 17sylibr 233 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
1918ne0d 4335 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
204adantlr 712 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → 𝑥 𝑆)
22 elinti 4959 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑆 → (𝑔𝑆𝑥𝑔))
2322imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑆𝑔𝑆) → 𝑥𝑔)
2421, 23sylan 579 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑥𝑔)
25 simprr 770 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → 𝑦 𝑆)
26 elinti 4959 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑆 → (𝑔𝑆𝑦𝑔))
2726imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 𝑆𝑔𝑆) → 𝑦𝑔)
2825, 27sylan 579 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑦𝑔)
29 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3029subgcl 19056 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑔𝑦𝑔) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
3120, 24, 28, 30syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑔𝑆) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
3231ralrimiva 3145 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → ∀𝑔𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
33 ovex 7445 . . . . . . . 8 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ V
3433elint2 4957 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑔𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
3532, 34sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
3635anassrs 467 . . . . 5 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) ∧ 𝑦 𝑆) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
3736ralrimiva 3145 . . . 4 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) → ∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
384adantlr 712 . . . . . . 7 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3923adantll 711 . . . . . . 7 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑥𝑔)
40 eqid 2731 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4140subginvcl 19055 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑔) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
4238, 39, 41syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) ∧ 𝑔𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
4342ralrimiva 3145 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) → ∀𝑔𝑆 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
44 fvex 6904 . . . . . 6 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ V
4544elint2 4957 . . . . 5 (((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑔𝑆 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
4643, 45sylibr 233 . . . 4 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆)
4737, 46jca 511 . . 3 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) → (∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆))
4847ralrimiva 3145 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑥 𝑆(∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆))
49 ssn0 4400 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (SubGrp‘𝐺) ≠ ∅)
50 n0 4346 . . . 4 ((SubGrp‘𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
51 subgrcl 19051 . . . . 5 (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
5251exlimiv 1932 . . . 4 (∃𝑔 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
5350, 52sylbi 216 . . 3 ((SubGrp‘𝐺) ≠ ∅ → 𝐺 ∈ Grp)
545, 29, 40issubg2 19061 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ( 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ( 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 𝑆(∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆))))
5549, 53, 543syl 18 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ( 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ( 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 𝑆(∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆))))
5611, 19, 48, 55mpbir3and 1341 1 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086  wex 1780  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wss 3948  c0 4322   cuni 4908   cint 4950  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  0gc0g 17392  Grpcgrp 18858  invgcminusg 18859  SubGrpcsubg 19040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-subg 19043
This theorem is referenced by:  subrngint  20452  subrgint  20489  subdrgint  20566  primefld0cl  20569
  Copyright terms: Public domain W3C validator