Theorem subgint 19024

Description: The intersection of a nonempty collection of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgint	⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem subgint

Dummy variables 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intssuni 4973	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑆)
2	1	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑆)
3		ssel2 3976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4	3	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	5	subgss 19001	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
8	7	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑔 ∈ 𝑆 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
9		unissb 4942	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ↔ ∀𝑔 ∈ 𝑆 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
10	8, 9	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	2, 10	sstrd 3991	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
13	12	subg0cl 19008	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑔)
14	4, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑔)
15	14	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑔 ∈ 𝑆 (0g‘𝐺) ∈ 𝑔)
16		fvex 6901	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
17	16	elint2 4956	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑔 ∈ 𝑆 (0g‘𝐺) ∈ 𝑔)
18	15, 17	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (0g‘𝐺) ∈ ∩ 𝑆)
19	18	ne0d 4334	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ≠ ∅)
20	4	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑆)
22		elinti 4958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑔 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝑔))
23	22	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑔)
24	21, 23	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑔)
25		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)
26		elinti 4958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑔 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝑔))
27	26	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑔)
28	25, 27	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑔)
29		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
30	29	subgcl 19010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑔 ∧ 𝑦 ∈ 𝑔) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
31	20, 24, 28, 30	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
32	31	ralrimiva 3146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ∀𝑔 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
33		ovex 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ V
34	33	elint2 4956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑔 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
35	32, 34	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
36	35	anassrs 468	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
37	36	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
38	4	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
39	23	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑔)
40		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
41	40	subginvcl 19009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑔) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
42	38, 39, 41	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
43	42	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) → ∀𝑔 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
44		fvex 6901	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ V
45	44	elint2 4956	. . . . 5 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑔 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
46	43, 45	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ∩ 𝑆)
47	37, 46	jca 512	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ∩ 𝑆))
48	47	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆(∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ∩ 𝑆))
49		ssn0 4399	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (SubGrp‘𝐺) ≠ ∅)
50		n0 4345	. . . 4 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
51		subgrcl 19005	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
52	51	exlimiv 1933	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
53	50, 52	sylbi 216	. . 3 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ≠ ∅ → 𝐺 ∈ Grp)
54	5, 29, 40	issubg2 19015	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (∩ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ∩ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆(∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ∩ 𝑆))))
55	49, 53, 54	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (∩ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ∩ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆(∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ∩ 𝑆))))
56	11, 19, 48, 55	mpbir3and 1342	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ∪ cuni 4907  ∩ cint 4949  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  0_gc0g 17381  Grpcgrp 18815  inv_gcminusg 18816  SubGrpcsubg 18994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997

This theorem is referenced by:  subrgint  20378  subdrgint  20411  primefld0cl  20414  subrngint  46723