MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgint Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgint 19181
Description: The intersection of a nonempty collection of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subgint ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem subgint
Dummy variables 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intssuni 4975 . . . 4 (𝑆 ≠ ∅ → 𝑆 𝑆)
21adantl 481 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 𝑆)
3 ssel2 3990 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
43adantlr 715 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
65subgss 19158 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
74, 6syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
87ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑔𝑆 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
9 unissb 4944 . . . 4 ( 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ↔ ∀𝑔𝑆 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
108, 9sylibr 234 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
112, 10sstrd 4006 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12 eqid 2735 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
1312subg0cl 19165 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑔)
144, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑔)
1514ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑔𝑆 (0g𝐺) ∈ 𝑔)
16 fvex 6920 . . . . 5 (0g𝐺) ∈ V
1716elint2 4958 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑔𝑆 (0g𝐺) ∈ 𝑔)
1815, 17sylibr 234 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
1918ne0d 4348 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
204adantlr 715 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → 𝑥 𝑆)
22 elinti 4960 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑆 → (𝑔𝑆𝑥𝑔))
2322imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑆𝑔𝑆) → 𝑥𝑔)
2421, 23sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑥𝑔)
25 simprr 773 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → 𝑦 𝑆)
26 elinti 4960 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑆 → (𝑔𝑆𝑦𝑔))
2726imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 𝑆𝑔𝑆) → 𝑦𝑔)
2825, 27sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑦𝑔)
29 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3029subgcl 19167 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑔𝑦𝑔) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
3120, 24, 28, 30syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑔𝑆) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
3231ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → ∀𝑔𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
33 ovex 7464 . . . . . . . 8 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ V
3433elint2 4958 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑔𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
3532, 34sylibr 234 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
3635anassrs 467 . . . . 5 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) ∧ 𝑦 𝑆) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
3736ralrimiva 3144 . . . 4 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) → ∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
384adantlr 715 . . . . . . 7 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3923adantll 714 . . . . . . 7 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑥𝑔)
40 eqid 2735 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4140subginvcl 19166 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑔) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
4238, 39, 41syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) ∧ 𝑔𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
4342ralrimiva 3144 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) → ∀𝑔𝑆 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
44 fvex 6920 . . . . . 6 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ V
4544elint2 4958 . . . . 5 (((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑔𝑆 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
4643, 45sylibr 234 . . . 4 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆)
4737, 46jca 511 . . 3 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) → (∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆))
4847ralrimiva 3144 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑥 𝑆(∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆))
49 ssn0 4410 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (SubGrp‘𝐺) ≠ ∅)
50 n0 4359 . . . 4 ((SubGrp‘𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
51 subgrcl 19162 . . . . 5 (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
5251exlimiv 1928 . . . 4 (∃𝑔 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
5350, 52sylbi 217 . . 3 ((SubGrp‘𝐺) ≠ ∅ → 𝐺 ∈ Grp)
545, 29, 40issubg2 19172 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ( 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ( 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 𝑆(∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆))))
5549, 53, 543syl 18 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ( 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ( 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 𝑆(∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆))))
5611, 19, 48, 55mpbir3and 1341 1 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wss 3963  c0 4339   cuni 4912   cint 4951  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  SubGrpcsubg 19151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154
This theorem is referenced by:  subrngint  20577  subrgint  20612  subdrgint  20821  primefld0cl  20824
  Copyright terms: Public domain W3C validator