MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgint Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgint 19168
Description: The intersection of a nonempty collection of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subgint ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem subgint
Dummy variables 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intssuni 4970 . . . 4 (𝑆 ≠ ∅ → 𝑆 𝑆)
21adantl 481 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 𝑆)
3 ssel2 3978 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
43adantlr 715 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
65subgss 19145 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
74, 6syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
87ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑔𝑆 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
9 unissb 4939 . . . 4 ( 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ↔ ∀𝑔𝑆 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
108, 9sylibr 234 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
112, 10sstrd 3994 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
1312subg0cl 19152 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑔)
144, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑔)
1514ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑔𝑆 (0g𝐺) ∈ 𝑔)
16 fvex 6919 . . . . 5 (0g𝐺) ∈ V
1716elint2 4953 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑔𝑆 (0g𝐺) ∈ 𝑔)
1815, 17sylibr 234 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
1918ne0d 4342 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
204adantlr 715 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → 𝑥 𝑆)
22 elinti 4955 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑆 → (𝑔𝑆𝑥𝑔))
2322imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑆𝑔𝑆) → 𝑥𝑔)
2421, 23sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑥𝑔)
25 simprr 773 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → 𝑦 𝑆)
26 elinti 4955 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑆 → (𝑔𝑆𝑦𝑔))
2726imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 𝑆𝑔𝑆) → 𝑦𝑔)
2825, 27sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑦𝑔)
29 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3029subgcl 19154 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑔𝑦𝑔) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
3120, 24, 28, 30syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑔𝑆) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
3231ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → ∀𝑔𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
33 ovex 7464 . . . . . . . 8 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ V
3433elint2 4953 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑔𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
3532, 34sylibr 234 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
3635anassrs 467 . . . . 5 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) ∧ 𝑦 𝑆) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
3736ralrimiva 3146 . . . 4 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) → ∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
384adantlr 715 . . . . . . 7 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3923adantll 714 . . . . . . 7 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑥𝑔)
40 eqid 2737 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4140subginvcl 19153 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑔) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
4238, 39, 41syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) ∧ 𝑔𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
4342ralrimiva 3146 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) → ∀𝑔𝑆 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
44 fvex 6919 . . . . . 6 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ V
4544elint2 4953 . . . . 5 (((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑔𝑆 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
4643, 45sylibr 234 . . . 4 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆)
4737, 46jca 511 . . 3 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) → (∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆))
4847ralrimiva 3146 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑥 𝑆(∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆))
49 ssn0 4404 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (SubGrp‘𝐺) ≠ ∅)
50 n0 4353 . . . 4 ((SubGrp‘𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
51 subgrcl 19149 . . . . 5 (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
5251exlimiv 1930 . . . 4 (∃𝑔 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
5350, 52sylbi 217 . . 3 ((SubGrp‘𝐺) ≠ ∅ → 𝐺 ∈ Grp)
545, 29, 40issubg2 19159 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ( 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ( 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 𝑆(∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆))))
5549, 53, 543syl 18 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ( 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ( 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 𝑆(∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆))))
5611, 19, 48, 55mpbir3and 1343 1 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wss 3951  c0 4333   cuni 4907   cint 4946  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141
This theorem is referenced by:  subrngint  20560  subrgint  20595  subdrgint  20804  primefld0cl  20807
  Copyright terms: Public domain W3C validator