Theorem subgint 19077

Description: The intersection of a nonempty collection of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgint	⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem subgint

Dummy variables 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intssuni 4967	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑆)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑆)
3		ssel2 3972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4	3	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	5	subgss 19054	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
8	7	ralrimiva 3140	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑔 ∈ 𝑆 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
9		unissb 4936	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ↔ ∀𝑔 ∈ 𝑆 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
10	8, 9	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	2, 10	sstrd 3987	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
13	12	subg0cl 19061	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑔)
14	4, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑔)
15	14	ralrimiva 3140	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑔 ∈ 𝑆 (0g‘𝐺) ∈ 𝑔)
16		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
17	16	elint2 4950	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑔 ∈ 𝑆 (0g‘𝐺) ∈ 𝑔)
18	15, 17	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (0g‘𝐺) ∈ ∩ 𝑆)
19	18	ne0d 4330	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ≠ ∅)
20	4	adantlr 712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21		simprl 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑆)
22		elinti 4952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑔 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝑔))
23	22	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑔)
24	21, 23	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑔)
25		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)
26		elinti 4952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑔 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝑔))
27	26	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑔)
28	25, 27	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑔)
29		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
30	29	subgcl 19063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑔 ∧ 𝑦 ∈ 𝑔) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
31	20, 24, 28, 30	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
32	31	ralrimiva 3140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ∀𝑔 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
33		ovex 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ V
34	33	elint2 4950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑔 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
35	32, 34	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
36	35	anassrs 467	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
37	36	ralrimiva 3140	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
38	4	adantlr 712	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
39	23	adantll 711	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑔)
40		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
41	40	subginvcl 19062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑔) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
42	38, 39, 41	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
43	42	ralrimiva 3140	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) → ∀𝑔 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
44		fvex 6898	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ V
45	44	elint2 4950	. . . . 5 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑔 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
46	43, 45	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ∩ 𝑆)
47	37, 46	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ∩ 𝑆))
48	47	ralrimiva 3140	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆(∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ∩ 𝑆))
49		ssn0 4395	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (SubGrp‘𝐺) ≠ ∅)
50		n0 4341	. . . 4 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
51		subgrcl 19058	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
52	51	exlimiv 1925	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
53	50, 52	sylbi 216	. . 3 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ≠ ∅ → 𝐺 ∈ Grp)
54	5, 29, 40	issubg2 19068	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (∩ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ∩ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆(∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ∩ 𝑆))))
55	49, 53, 54	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (∩ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ∩ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆(∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ∩ 𝑆))))
56	11, 19, 48, 55	mpbir3and 1339	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  ∪ cuni 4902  ∩ cint 4943  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206  0_gc0g 17394  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864  SubGrpcsubg 19047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050

This theorem is referenced by:  subrngint  20460  subrgint  20497  subdrgint  20654  primefld0cl  20657