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Theorem dvlip 25845

Description: A function with derivative bounded by 𝑀 is 𝑀-Lipschitz continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvlip.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dvlip.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dvlip.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
dvlip.d	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvlip.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
dvlip.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)

**Assertion**
Ref	Expression
dvlip	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝜑,𝑥 𝑥,𝐹 𝑥,𝑀 Allowed substitution hints: 𝑋(𝑥) 𝑌(𝑥)

Proof of Theorem dvlip Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑌))
2	1	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) = ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌)))
3	2	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))))
4		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − 𝑌))
5	4	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (abs‘(𝑏 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑌)))
6	5	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌))))
7	3, 6	breq12d 5161	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌)))))
8	7	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎)))) ↔ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌))))))
9		fveq2 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑋))
10	9	fvoveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) = (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))))
11		fvoveq1 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (abs‘(𝑏 − 𝑌)) = (abs‘(𝑋 − 𝑌)))
12	11	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌))) = (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌))))
13	10, 12	breq12d 5161	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌)))))
14	13	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌)))) ↔ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌))))))
15		fveq2 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑏))
16		fveq2 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑎))
17	15, 16	oveqan12d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))
18	17	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) = (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
19		oveq12 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑏 − 𝑎))
20	19	fveq2d 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → (abs‘(𝑦 − 𝑥)) = (abs‘(𝑏 − 𝑎)))
21	20	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) = (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))))
22	18, 21	breq12d 5161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎)))))
23	22	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎)))))
24		fveq2 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑎))
25		fveq2 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑏))
26	24, 25	oveqan12d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)))
27	26	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) = (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))))
28		oveq12 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑎 − 𝑏))
29	28	fveq2d 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → (abs‘(𝑦 − 𝑥)) = (abs‘(𝑎 − 𝑏)))
30	29	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) = (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏))))
31	27, 30	breq12d 5161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏)))))
32	31	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑎) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏)))))
33		dvlip.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
34		dvlip.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
35		iccssre 13413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
36	33, 34, 35	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
37		dvlip.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
38		cncff 24732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
40		ffvelcdm 7083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
41		ffvelcdm 7083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
42	40, 41	anim12dan 618	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ))
43	39, 42	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ))
44	43	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
45	43	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
46	44, 45	abssubd 15407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))))
47		ax-resscn 11173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
48	36, 47	sstrdi 3994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
49	48	sselda 3982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑏 ∈ ℂ)
50	49	adantrl 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑏 ∈ ℂ)
51	48	sselda 3982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑎 ∈ ℂ)
52	51	adantrr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑎 ∈ ℂ)
53	50, 52	abssubd 15407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑏 − 𝑎)) = (abs‘(𝑎 − 𝑏)))
54	53	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏))))
55	46, 54	breq12d 5161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏)))))
56	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
57		simpr2 1194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))
58	56, 57	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
59		simpr1 1193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵))
60	56, 59	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
61	58, 60	subeq0ad 11588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)))
62	61	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) = 0)
63	62	abs00bd 15245	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = 0)
64	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
65	64, 59	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
66	65	rexrd 11271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ^*)
67	64, 57	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
68	67	rexrd 11271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ^*)
69		ioon0 13357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
70	66, 68, 69	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
71		dvlip.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
72	71	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 𝑀 ∈ ℝ)
73	67, 65	resubcld 11649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ)
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ)
75	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ)
76	75	rexrd 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
77	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ)
78		elicc2 13396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝐵)))
79	75, 77, 78	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝐵)))
80	59, 79	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝐵))
81	80	simp2d 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐴 ≤ 𝑎)
82		iooss1 13366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑎) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝑏))
83	76, 81, 82	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝑏))
84	77	rexrd 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
85		elicc2 13396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐵)))
86	75, 77, 85	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐵)))
87	57, 86	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐵))
88	87	simp3d 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ≤ 𝐵)
89		iooss2 13367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
90	84, 88, 89	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐴(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
91	83, 90	sstrd 3992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
92		ssn0 4400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
93	91, 92	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
94		n0 4346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
95		0red 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
96		dvf 25755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
97		dvlip.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
98	97	feq2d 6703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
99	96, 98	mpbii 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
100	99	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
101	100	abscld 15390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
102	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑀 ∈ ℝ)
103	100	absge0d 15398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
104		dvlip.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
105	95, 101, 102, 103, 104	letrd 11378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝑀)
106	105	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 𝑀))
107	106	exlimdv 1935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 𝑀))
108	107	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝑀)
109	94, 108	sylan2b 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
110	109	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
111	93, 110	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
112		simpr3 1195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ≤ 𝑏)
113	67, 65	subge0d 11811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (0 ≤ (𝑏 − 𝑎) ↔ 𝑎 ≤ 𝑏))
114	112, 113	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑏 − 𝑎))
115	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ (𝑏 − 𝑎))
116	72, 74, 111, 115	mulge0d 11798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
117	116	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
118	70, 117	sylbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 < 𝑏 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
119	67	recnd 11249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℂ)
120	65	recnd 11249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℂ)
121	119, 120	subeq0ad 11588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑏 − 𝑎) = 0 ↔ 𝑏 = 𝑎))
122		equcom 2020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝑏)
123	121, 122	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑏 − 𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
124		0re 11223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
125	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑀 ∈ ℝ)
126	125	recnd 11249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑀 ∈ ℂ)
127	126	mul01d 11420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑀 · 0) = 0)
128	127	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 0 = (𝑀 · 0))
129		eqle 11323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 = (𝑀 · 0)) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
130	124, 128, 129	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
131		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 − 𝑎) = 0 → (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)) = (𝑀 · 0))
132	131	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 − 𝑎) = 0 → (0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)) ↔ 0 ≤ (𝑀 · 0)))
133	130, 132	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑏 − 𝑎) = 0 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
134	123, 133	sylbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 = 𝑏 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
135	65, 67	leloed 11364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏)))
136	112, 135	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏))
137	118, 134, 136	mpjaod 857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
138	137	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
139	63, 138	eqbrtrd 5170	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
140	58, 60	subcld 11578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
141	140	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
142	141	abscld 15390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℝ)
143	142	recnd 11249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
144	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ)
145	144	recnd 11249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℂ)
146	136	ord 861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (¬ 𝑎 < 𝑏 → 𝑎 = 𝑏))
147		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
148	147	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎))
149	146, 148	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (¬ 𝑎 < 𝑏 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)))
150	149	necon1ad 2956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎) → 𝑎 < 𝑏))
151	150	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝑎 < 𝑏)
152	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℝ)
153	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝑏 ∈ ℝ)
154	152, 153	posdifd 11808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏 − 𝑎)))
155	151, 154	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 0 < (𝑏 − 𝑎))
156	155	gt0ne0d 11785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑏 − 𝑎) ≠ 0)
157	143, 145, 156	divrec2d 12001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) = ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
158		iccss2 13402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
159	59, 57, 158	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
160	159	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
161	160	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
162	39	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
163	162	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
164	161, 163	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
165	140	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
166	61	necon3bid 2984	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)))
167	166	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0)
168	167	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0)
169	164, 165, 168	divcld 11997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
170	162, 160	feqresmpt 6961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (𝐹‘𝑦)))
171		eqidd 2732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
172		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
173	164, 170, 171, 172	fmptco 7129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
174		ref 15066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
176	175	feqmptd 6960	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℜ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑥)))
177		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
178	169, 173, 176, 177	fmptco 7129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ ∘ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
179	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
180		rescncf 24736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ)))
181	159, 179, 180	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
182	181	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
183		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
184	183	divccncf 24745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
185	141, 167, 184	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
186	182, 185	cncfco 24746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
187		recncf 24741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
188	187	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
189	186, 188	cncfco 24746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ ∘ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℝ))
190	178, 189	eqeltrrd 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℝ))
191	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℝ ⊆ ℂ)
192		iccssre 13413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ)
193	152, 153, 192	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ)
194	169	recld 15148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
195	194	recnd 11249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℂ)
196		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
197	196	tgioo2 24638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
198		iccntr 24656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
199	65, 67, 198	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
200	199	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
201	191, 193, 195, 197, 196, 200	dvmptntr 25822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))))
202		ioossicc 13417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎[,]𝑏)
203	202	sseli 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏))
204	203, 169	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
205		ovexd 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ V)
206		reelprrecn 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
207	206	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
208	203, 164	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
209	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
210	209	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
211	99	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
212	211	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ)
213	210, 212	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ)
214	36	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
215		ioossre 13392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ
216	215	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ)
217	196, 197	dvres 25759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))))
218	191, 162, 214, 216, 217	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))))
219		retop 24597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
220		iooretop 24601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))
221		isopn3i 22905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
222	219, 220, 221	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏)) = (𝑎(,)𝑏)
223	222	reseq2i 5978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))
224	218, 223	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)))
225	202, 160	sstrid 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
226	162, 225	feqresmpt 6961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹‘𝑦)))
227	226	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹‘𝑦))))
228	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
229	228, 91	fssresd 6758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)):(𝑎(,)𝑏)⟶ℂ)
230	229	feqmptd 6960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)))
231	230	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)))
232		fvres 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
233	232	mpteq2ia 5251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
234	231, 233	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
235	224, 227, 234	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
236	207, 208, 213, 235, 141, 167	dvmptdivc 25816	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
237	204, 205, 236	dvmptre 25820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
238	201, 237	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
239	238	dmeqd 5905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → dom (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
240		dmmptg 6241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V → dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑎(,)𝑏))
241		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V
242	241	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V)
243	240, 242	mprg 3066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑎(,)𝑏)
244	239, 243	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → dom (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = (𝑎(,)𝑏))
245	152, 153, 151, 190, 244	mvth 25844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))
246	238	fveq1d 6893	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑥))
247		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
248	247	fvoveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
249		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
250		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V
251	248, 249, 250	fvmpt 6998	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑥) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
252	246, 251	sylan9eq 2791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
253		ubicc2 13449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
254	66, 68, 112, 253	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
255	254	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
256	15	fvoveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
257		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
258		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V
259	256, 257, 258	fvmpt 6998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) = (ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
260	255, 259	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) = (ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
261		lbicc2 13448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
262	66, 68, 112, 261	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
263	262	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
264	24	fvoveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
265		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V
266	264, 257, 265	fvmpt 6998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎) = (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
267	263, 266	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎) = (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
268	260, 267	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) = ((ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
269	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
270	269, 141, 167	divcld 11997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
271	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
272	271, 141, 167	divcld 11997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
273	270, 272	resubd 15170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = ((ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
274	269, 271, 141, 167	divsubdird 12036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = (((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
275	141, 167	dividd 11995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = 1)
276	274, 275	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = 1)
277	276	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (ℜ‘1))
278		re1 15108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℜ‘1) = 1
279	277, 278	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = 1)
280	273, 279	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = 1)
281	280	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = 1)
282	268, 281	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) = 1)
283	282	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) = (1 / (𝑏 − 𝑎)))
284	252, 283	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) ↔ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎))))
285	284	rexbidva 3175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎))))
286	245, 285	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)))
287	209	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
288	211	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
289	287, 288	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
290	140	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
291	167	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0)
292	289, 290, 291	divcld 11997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
293	292	recld 15148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
294	142	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℝ)
295	293, 294	remulcld 11251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
296	289	abscld 15390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
297	125	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑀 ∈ ℝ)
298	292	abscld 15390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
299	141	absge0d 15398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
300	299	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
301	292	releabsd 15405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
302	293, 298, 294, 300, 301	lemul1ad 12160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
303	292, 290	absmuld 15408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) · ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
304	289, 290, 291	divcan1d 11998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) · ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
305	304	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) · ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
306	303, 305	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
307	302, 306	breqtrd 5174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
308	104	ad4ant14 749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
309	287, 308	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
310	295, 296, 297, 307, 309	letrd 11378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀)
311		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
312	311	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)) → (((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀))
313	310, 312	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)) → ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀))
314	313	rexlimdva 3154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)) → ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀))
315	286, 314	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀)
316	157, 315	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) ≤ 𝑀)
317	71	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝑀 ∈ ℝ)
318		ledivmul2 12100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑏 − 𝑎))) → (((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
319	142, 317, 144, 155, 318	syl112anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
320	316, 319	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
321	139, 320	pm2.61dane 3028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
322	65, 67, 112	abssubge0d 15385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (abs‘(𝑏 − 𝑎)) = (𝑏 − 𝑎))
323	322	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
324	321, 323	breqtrrd 5176	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))))
325	23, 32, 36, 55, 324	wlogle 11754	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))))
326	325	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎)))))
327	8, 14, 326	vtocl2ga 3567	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌)))))
328	327	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌)))))
329	328	impcom 407	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∨ wo 844 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∃wex 1780 ∈ wcel 2105 ≠ wne 2939 ∃wrex 3069 Vcvv 3473 ⊆ wss 3948 ∅c0 4322 {cpr 4630 class class class wbr 5148 ↦ cmpt 5231 dom cdm 5676 ran crn 5677 ↾ cres 5678 ∘ ccom 5680 ⟶wf 6539 ‘cfv 6543 (class class class)co 7412 ℂcc 11114 ℝcr 11115 0cc0 11116 1c1 11117 · cmul 11121 ℝ^*cxr 11254 < clt 11255 ≤ cle 11256 − cmin 11451 / cdiv 11878 (,)cioo 13331 [,]cicc 13334 ℜcre 15051 abscabs 15188 TopOpenctopn 17374 topGenctg 17390 ℂ_fldccnfld 21232 Topctop 22714 intcnt 22840 –cn→ccncf 24715 D cdv 25711

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7729 ax-cnex 11172 ax-resscn 11173 ax-1cn 11174 ax-icn 11175 ax-addcl 11176 ax-addrcl 11177 ax-mulcl 11178 ax-mulrcl 11179 ax-mulcom 11180 ax-addass 11181 ax-mulass 11182 ax-distr 11183 ax-i2m1 11184 ax-1ne0 11185 ax-1rid 11186 ax-rnegex 11187 ax-rrecex 11188 ax-cnre 11189 ax-pre-lttri 11190 ax-pre-lttrn 11191 ax-pre-ltadd 11192 ax-pre-mulgt0 11193 ax-pre-sup 11194 ax-addf 11195

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-tp 4633 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-iin 5000 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-of 7674 df-om 7860 df-1st 7979 df-2nd 7980 df-supp 8152 df-frecs 8272 df-wrecs 8303 df-recs 8377 df-rdg 8416 df-1o 8472 df-2o 8473 df-er 8709 df-map 8828 df-pm 8829 df-ixp 8898 df-en 8946 df-dom 8947 df-sdom 8948 df-fin 8949 df-fsupp 9368 df-fi 9412 df-sup 9443 df-inf 9444 df-oi 9511 df-card 9940 df-pnf 11257 df-mnf 11258 df-xr 11259 df-ltxr 11260 df-le 11261 df-sub 11453 df-neg 11454 df-div 11879 df-nn 12220 df-2 12282 df-3 12283 df-4 12284 df-5 12285 df-6 12286 df-7 12287 df-8 12288 df-9 12289 df-n0 12480 df-z 12566 df-dec 12685 df-uz 12830 df-q 12940 df-rp 12982 df-xneg 13099 df-xadd 13100 df-xmul 13101 df-ioo 13335 df-ico 13337 df-icc 13338 df-fz 13492 df-fzo 13635 df-seq 13974 df-exp 14035 df-hash 14298 df-cj 15053 df-re 15054 df-im 15055 df-sqrt 15189 df-abs 15190 df-struct 17087 df-sets 17104 df-slot 17122 df-ndx 17134 df-base 17152 df-ress 17181 df-plusg 17217 df-mulr 17218 df-starv 17219 df-sca 17220 df-vsca 17221 df-ip 17222 df-tset 17223 df-ple 17224 df-ds 17226 df-unif 17227 df-hom 17228 df-cco 17229 df-rest 17375 df-topn 17376 df-0g 17394 df-gsum 17395 df-topgen 17396 df-pt 17397 df-prds 17400 df-xrs 17455 df-qtop 17460 df-imas 17461 df-xps 17463 df-mre 17537 df-mrc 17538 df-acs 17540 df-mgm 18571 df-sgrp 18650 df-mnd 18666 df-submnd 18712 df-mulg 18994 df-cntz 19229 df-cmn 19698 df-psmet 21224 df-xmet 21225 df-met 21226 df-bl 21227 df-mopn 21228 df-fbas 21229 df-fg 21230 df-cnfld 21233 df-top 22715 df-topon 22732 df-topsp 22754 df-bases 22768 df-cld 22842 df-ntr 22843 df-cls 22844 df-nei 22921 df-lp 22959 df-perf 22960 df-cn 23050 df-cnp 23051 df-haus 23138 df-cmp 23210 df-tx 23385 df-hmeo 23578 df-fil 23669 df-fm 23761 df-flim 23762 df-flf 23763 df-xms 24145 df-ms 24146 df-tms 24147 df-cncf 24717 df-limc 25714 df-dv 25715

This theorem is referenced by: dvlipcn 25846 dvlip2 25847 dveq0 25852 dvfsumabs 25876 pige3ALT 26368 lgamgulmlem2 26874

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