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Theorem dvlip 25898

Description: A function with derivative bounded by 𝑀 is 𝑀-Lipschitz continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvlip.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dvlip.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dvlip.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
dvlip.d	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvlip.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
dvlip.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)

**Assertion**
Ref	Expression
dvlip	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝜑,𝑥 𝑥,𝐹 𝑥,𝑀 Allowed substitution hints: 𝑋(𝑥) 𝑌(𝑥)

Proof of Theorem dvlip Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑌))
2	1	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) = ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌)))
3	2	fveq2d 6862	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))))
4		oveq2 7395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − 𝑌))
5	4	fveq2d 6862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (abs‘(𝑏 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑌)))
6	5	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌))))
7	3, 6	breq12d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌)))))
8	7	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎)))) ↔ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌))))))
9		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑋))
10	9	fvoveq1d 7409	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) = (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))))
11		fvoveq1 7410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (abs‘(𝑏 − 𝑌)) = (abs‘(𝑋 − 𝑌)))
12	11	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌))) = (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌))))
13	10, 12	breq12d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌)))))
14	13	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌)))) ↔ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌))))))
15		fveq2 6858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑏))
16		fveq2 6858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑎))
17	15, 16	oveqan12d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))
18	17	fveq2d 6862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) = (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
19		oveq12 7396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑏 − 𝑎))
20	19	fveq2d 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → (abs‘(𝑦 − 𝑥)) = (abs‘(𝑏 − 𝑎)))
21	20	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) = (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))))
22	18, 21	breq12d 5120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎)))))
23	22	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎)))))
24		fveq2 6858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑎))
25		fveq2 6858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑏))
26	24, 25	oveqan12d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)))
27	26	fveq2d 6862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) = (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))))
28		oveq12 7396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑎 − 𝑏))
29	28	fveq2d 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → (abs‘(𝑦 − 𝑥)) = (abs‘(𝑎 − 𝑏)))
30	29	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) = (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏))))
31	27, 30	breq12d 5120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏)))))
32	31	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑎) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏)))))
33		dvlip.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
34		dvlip.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
35		iccssre 13390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
36	33, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
37		dvlip.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
38		cncff 24786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
40		ffvelcdm 7053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
41		ffvelcdm 7053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
42	40, 41	anim12dan 619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ))
43	39, 42	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ))
44	43	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
45	43	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
46	44, 45	abssubd 15422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))))
47		ax-resscn 11125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
48	36, 47	sstrdi 3959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
49	48	sselda 3946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑏 ∈ ℂ)
50	49	adantrl 716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑏 ∈ ℂ)
51	48	sselda 3946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑎 ∈ ℂ)
52	51	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑎 ∈ ℂ)
53	50, 52	abssubd 15422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑏 − 𝑎)) = (abs‘(𝑎 − 𝑏)))
54	53	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏))))
55	46, 54	breq12d 5120	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏)))))
56	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
57		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))
58	56, 57	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
59		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵))
60	56, 59	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
61	58, 60	subeq0ad 11543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)))
62	61	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) = 0)
63	62	abs00bd 15257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = 0)
64	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
65	64, 59	sseldd 3947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
66	65	rexrd 11224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ^*)
67	64, 57	sseldd 3947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
68	67	rexrd 11224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ^*)
69		ioon0 13332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
70	66, 68, 69	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
71		dvlip.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
72	71	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 𝑀 ∈ ℝ)
73	67, 65	resubcld 11606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ)
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ)
75	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ)
76	75	rexrd 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
77	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ)
78		elicc2 13372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝐵)))
79	75, 77, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝐵)))
80	59, 79	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝐵))
81	80	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐴 ≤ 𝑎)
82		iooss1 13341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑎) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝑏))
83	76, 81, 82	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝑏))
84	77	rexrd 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
85		elicc2 13372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐵)))
86	75, 77, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐵)))
87	57, 86	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐵))
88	87	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ≤ 𝐵)
89		iooss2 13342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
90	84, 88, 89	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐴(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
91	83, 90	sstrd 3957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
92		ssn0 4367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
93	91, 92	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
94		n0 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
95		0red 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
96		dvf 25808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
97		dvlip.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
98	97	feq2d 6672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
99	96, 98	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
100	99	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
101	100	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
102	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑀 ∈ ℝ)
103	100	absge0d 15413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
104		dvlip.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
105	95, 101, 102, 103, 104	letrd 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝑀)
106	105	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 𝑀))
107	106	exlimdv 1933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 𝑀))
108	107	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝑀)
109	94, 108	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
110	109	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
111	93, 110	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
112		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ≤ 𝑏)
113	67, 65	subge0d 11768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (0 ≤ (𝑏 − 𝑎) ↔ 𝑎 ≤ 𝑏))
114	112, 113	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑏 − 𝑎))
115	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ (𝑏 − 𝑎))
116	72, 74, 111, 115	mulge0d 11755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
117	116	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
118	70, 117	sylbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 < 𝑏 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
119	67	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℂ)
120	65	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℂ)
121	119, 120	subeq0ad 11543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑏 − 𝑎) = 0 ↔ 𝑏 = 𝑎))
122		equcom 2018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝑏)
123	121, 122	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑏 − 𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
124		0re 11176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
125	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑀 ∈ ℝ)
126	125	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑀 ∈ ℂ)
127	126	mul01d 11373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑀 · 0) = 0)
128	127	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 0 = (𝑀 · 0))
129		eqle 11276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 = (𝑀 · 0)) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
130	124, 128, 129	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
131		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 − 𝑎) = 0 → (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)) = (𝑀 · 0))
132	131	breq2d 5119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 − 𝑎) = 0 → (0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)) ↔ 0 ≤ (𝑀 · 0)))
133	130, 132	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑏 − 𝑎) = 0 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
134	123, 133	sylbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 = 𝑏 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
135	65, 67	leloed 11317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏)))
136	112, 135	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏))
137	118, 134, 136	mpjaod 860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
138	137	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
139	63, 138	eqbrtrd 5129	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
140	58, 60	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
141	140	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
142	141	abscld 15405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℝ)
143	142	recnd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
144	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ)
145	144	recnd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℂ)
146	136	ord 864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (¬ 𝑎 < 𝑏 → 𝑎 = 𝑏))
147		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
148	147	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎))
149	146, 148	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (¬ 𝑎 < 𝑏 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)))
150	149	necon1ad 2942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎) → 𝑎 < 𝑏))
151	150	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝑎 < 𝑏)
152	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℝ)
153	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝑏 ∈ ℝ)
154	152, 153	posdifd 11765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏 − 𝑎)))
155	151, 154	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 0 < (𝑏 − 𝑎))
156	155	gt0ne0d 11742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑏 − 𝑎) ≠ 0)
157	143, 145, 156	divrec2d 11962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) = ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
158		iccss2 13378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
159	59, 57, 158	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
160	159	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
161	160	sselda 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
162	39	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
163	162	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
164	161, 163	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
165	140	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
166	61	necon3bid 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)))
167	166	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0)
168	167	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0)
169	164, 165, 168	divcld 11958	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
170	162, 160	feqresmpt 6930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (𝐹‘𝑦)))
171		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
172		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
173	164, 170, 171, 172	fmptco 7101	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
174		ref 15078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
176	175	feqmptd 6929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℜ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑥)))
177		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
178	169, 173, 176, 177	fmptco 7101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ ∘ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
179	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
180		rescncf 24790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ)))
181	159, 179, 180	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
182	181	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
183		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
184	183	divccncf 24799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
185	141, 167, 184	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
186	182, 185	cncfco 24800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
187		recncf 24795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
188	187	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
189	186, 188	cncfco 24800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ ∘ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℝ))
190	178, 189	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℝ))
191	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℝ ⊆ ℂ)
192		iccssre 13390	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ)
193	152, 153, 192	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ)
194	169	recld 15160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
195	194	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℂ)
196		tgioo4 24693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
197		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
198		iccntr 24710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
199	65, 67, 198	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
200	199	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
201	191, 193, 195, 196, 197, 200	dvmptntr 25875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))))
202		ioossicc 13394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎[,]𝑏)
203	202	sseli 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏))
204	203, 169	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
205		ovexd 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ V)
206		reelprrecn 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
207	206	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
208	203, 164	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
209	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
210	209	sselda 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
211	99	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
212	211	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ)
213	210, 212	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ)
214	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
215		ioossre 13368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ
216	215	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ)
217	197, 196	dvres 25812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))))
218	191, 162, 214, 216, 217	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))))
219		retop 24649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
220		iooretop 24653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))
221		isopn3i 22969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
222	219, 220, 221	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏)) = (𝑎(,)𝑏)
223	222	reseq2i 5947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))
224	218, 223	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)))
225	202, 160	sstrid 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
226	162, 225	feqresmpt 6930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹‘𝑦)))
227	226	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹‘𝑦))))
228	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
229	228, 91	fssresd 6727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)):(𝑎(,)𝑏)⟶ℂ)
230	229	feqmptd 6929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)))
231	230	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)))
232		fvres 6877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
233	232	mpteq2ia 5202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
234	231, 233	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
235	224, 227, 234	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
236	207, 208, 213, 235, 141, 167	dvmptdivc 25869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
237	204, 205, 236	dvmptre 25873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
238	201, 237	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
239	238	dmeqd 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → dom (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
240		dmmptg 6215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V → dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑎(,)𝑏))
241		fvex 6871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V
242	241	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V)
243	240, 242	mprg 3050	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑎(,)𝑏)
244	239, 243	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → dom (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = (𝑎(,)𝑏))
245	152, 153, 151, 190, 244	mvth 25897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))
246	238	fveq1d 6860	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑥))
247		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
248	247	fvoveq1d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
249		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
250		fvex 6871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V
251	248, 249, 250	fvmpt 6968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑥) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
252	246, 251	sylan9eq 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
253		ubicc2 13426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
254	66, 68, 112, 253	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
255	254	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
256	15	fvoveq1d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
257		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
258		fvex 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V
259	256, 257, 258	fvmpt 6968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) = (ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
260	255, 259	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) = (ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
261		lbicc2 13425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
262	66, 68, 112, 261	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
263	262	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
264	24	fvoveq1d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
265		fvex 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V
266	264, 257, 265	fvmpt 6968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎) = (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
267	263, 266	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎) = (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
268	260, 267	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) = ((ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
269	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
270	269, 141, 167	divcld 11958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
271	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
272	271, 141, 167	divcld 11958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
273	270, 272	resubd 15182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = ((ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
274	269, 271, 141, 167	divsubdird 11997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = (((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
275	141, 167	dividd 11956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = 1)
276	274, 275	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = 1)
277	276	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (ℜ‘1))
278		re1 15120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℜ‘1) = 1
279	277, 278	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = 1)
280	273, 279	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = 1)
281	280	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = 1)
282	268, 281	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) = 1)
283	282	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) = (1 / (𝑏 − 𝑎)))
284	252, 283	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) ↔ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎))))
285	284	rexbidva 3155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎))))
286	245, 285	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)))
287	209	sselda 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
288	211	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
289	287, 288	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
290	140	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
291	167	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0)
292	289, 290, 291	divcld 11958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
293	292	recld 15160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
294	142	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℝ)
295	293, 294	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
296	289	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
297	125	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑀 ∈ ℝ)
298	292	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
299	141	absge0d 15413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
300	299	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
301	292	releabsd 15420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
302	293, 298, 294, 300, 301	lemul1ad 12122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
303	292, 290	absmuld 15423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) · ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
304	289, 290, 291	divcan1d 11959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) · ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
305	304	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) · ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
306	303, 305	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
307	302, 306	breqtrd 5133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
308	104	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
309	287, 308	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
310	295, 296, 297, 307, 309	letrd 11331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀)
311		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
312	311	breq1d 5117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)) → (((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀))
313	310, 312	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)) → ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀))
314	313	rexlimdva 3134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)) → ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀))
315	286, 314	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀)
316	157, 315	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) ≤ 𝑀)
317	71	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝑀 ∈ ℝ)
318		ledivmul2 12062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑏 − 𝑎))) → (((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
319	142, 317, 144, 155, 318	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
320	316, 319	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
321	139, 320	pm2.61dane 3012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
322	65, 67, 112	abssubge0d 15400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (abs‘(𝑏 − 𝑎)) = (𝑏 − 𝑎))
323	322	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
324	321, 323	breqtrrd 5135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))))
325	23, 32, 36, 55, 324	wlogle 11711	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))))
326	325	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎)))))
327	8, 14, 326	vtocl2ga 3544	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌)))))
328	327	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌)))))
329	328	impcom 407	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∃wex 1779 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∃wrex 3053 Vcvv 3447 ⊆ wss 3914 ∅c0 4296 {cpr 4591 class class class wbr 5107 ↦ cmpt 5188 dom cdm 5638 ran crn 5639 ↾ cres 5640 ∘ ccom 5642 ⟶wf 6507 ‘cfv 6511 (class class class)co 7387 ℂcc 11066 ℝcr 11067 0cc0 11068 1c1 11069 · cmul 11073 ℝ^*cxr 11207 < clt 11208 ≤ cle 11209 − cmin 11405 / cdiv 11835 (,)cioo 13306 [,]cicc 13309 ℜcre 15063 abscabs 15200 TopOpenctopn 17384 topGenctg 17400 ℂ_fldccnfld 21264 Topctop 22780 intcnt 22904 –cn→ccncf 24769 D cdv 25764

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5234 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145 ax-pre-sup 11146 ax-addf 11147

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-tp 4594 df-op 4596 df-uni 4872 df-int 4911 df-iun 4957 df-iin 4958 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-se 5592 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-isom 6520 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-of 7653 df-om 7843 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-supp 8140 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-1o 8434 df-2o 8435 df-er 8671 df-map 8801 df-pm 8802 df-ixp 8871 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-fin 8922 df-fsupp 9313 df-fi 9362 df-sup 9393 df-inf 9394 df-oi 9463 df-card 9892 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-3 12250 df-4 12251 df-5 12252 df-6 12253 df-7 12254 df-8 12255 df-9 12256 df-n0 12443 df-z 12530 df-dec 12650 df-uz 12794 df-q 12908 df-rp 12952 df-xneg 13072 df-xadd 13073 df-xmul 13074 df-ioo 13310 df-ico 13312 df-icc 13313 df-fz 13469 df-fzo 13616 df-seq 13967 df-exp 14027 df-hash 14296 df-cj 15065 df-re 15066 df-im 15067 df-sqrt 15201 df-abs 15202 df-struct 17117 df-sets 17134 df-slot 17152 df-ndx 17164 df-base 17180 df-ress 17201 df-plusg 17233 df-mulr 17234 df-starv 17235 df-sca 17236 df-vsca 17237 df-ip 17238 df-tset 17239 df-ple 17240 df-ds 17242 df-unif 17243 df-hom 17244 df-cco 17245 df-rest 17385 df-topn 17386 df-0g 17404 df-gsum 17405 df-topgen 17406 df-pt 17407 df-prds 17410 df-xrs 17465 df-qtop 17470 df-imas 17471 df-xps 17473 df-mre 17547 df-mrc 17548 df-acs 17550 df-mgm 18567 df-sgrp 18646 df-mnd 18662 df-submnd 18711 df-mulg 19000 df-cntz 19249 df-cmn 19712 df-psmet 21256 df-xmet 21257 df-met 21258 df-bl 21259 df-mopn 21260 df-fbas 21261 df-fg 21262 df-cnfld 21265 df-top 22781 df-topon 22798 df-topsp 22820 df-bases 22833 df-cld 22906 df-ntr 22907 df-cls 22908 df-nei 22985 df-lp 23023 df-perf 23024 df-cn 23114 df-cnp 23115 df-haus 23202 df-cmp 23274 df-tx 23449 df-hmeo 23642 df-fil 23733 df-fm 23825 df-flim 23826 df-flf 23827 df-xms 24208 df-ms 24209 df-tms 24210 df-cncf 24771 df-limc 25767 df-dv 25768

This theorem is referenced by: dvlipcn 25899 dvlip2 25900 dveq0 25905 dvfsumabs 25929 pige3ALT 26429 lgamgulmlem2 26940

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