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Theorem dvlip 26181

Description: A function with derivative bounded by 𝑀 is 𝑀-Lipschitz continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvlip.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dvlip.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dvlip.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
dvlip.d	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvlip.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
dvlip.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)

**Assertion**
Ref	Expression
dvlip	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝜑,𝑥 𝑥,𝐹 𝑥,𝑀 Allowed substitution hints: 𝑋(𝑥) 𝑌(𝑥)

Proof of Theorem dvlip Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑌))
2	1	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) = ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌)))
3	2	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))))
4		oveq2 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − 𝑌))
5	4	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (abs‘(𝑏 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑌)))
6	5	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌))))
7	3, 6	breq12d 5124	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌)))))
8	7	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎)))) ↔ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌))))))
9		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑋))
10	9	fvoveq1d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) = (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))))
11		fvoveq1 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (abs‘(𝑏 − 𝑌)) = (abs‘(𝑋 − 𝑌)))
12	11	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌))) = (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌))))
13	10, 12	breq12d 5124	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌)))))
14	13	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌)))) ↔ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌))))))
15		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑏))
16		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑎))
17	15, 16	oveqan12d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))
18	17	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) = (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
19		oveq12 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑏 − 𝑎))
20	19	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → (abs‘(𝑦 − 𝑥)) = (abs‘(𝑏 − 𝑎)))
21	20	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) = (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))))
22	18, 21	breq12d 5124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎)))))
23	22	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎)))))
24		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑎))
25		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑏))
26	24, 25	oveqan12d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)))
27	26	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) = (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))))
28		oveq12 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑎 − 𝑏))
29	28	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → (abs‘(𝑦 − 𝑥)) = (abs‘(𝑎 − 𝑏)))
30	29	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) = (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏))))
31	27, 30	breq12d 5124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏)))))
32	31	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑎) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏)))))
33		dvlip.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
34		dvlip.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
35		iccssre 13467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
36	33, 34, 35	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
37		dvlip.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
38		cncff 25081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
39	37, 38	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
40		ffvelcdm 7080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
41		ffvelcdm 7080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
42	40, 41	anim12dan 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ))
43	39, 42	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ))
44	43	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
45	43	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
46	44, 45	abssubd 15526	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))))
47		ax-resscn 11168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
48	36, 47	sstrdi 3950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
49	48	sselda 3938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑏 ∈ ℂ)
50	49	adantrl 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑏 ∈ ℂ)
51	48	sselda 3938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑎 ∈ ℂ)
52	51	adantrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑎 ∈ ℂ)
53	50, 52	abssubd 15526	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑏 − 𝑎)) = (abs‘(𝑎 − 𝑏)))
54	53	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏))))
55	46, 54	breq12d 5124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏)))))
56	39	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
57		simpr2 1214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))
58	56, 57	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
59		simpr1 1213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵))
60	56, 59	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
61	58, 60	subeq0ad 11590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)))
62	61	biimpar 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) = 0)
63	62	abs00bd 15361	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = 0)
64	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
65	64, 59	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
66	65	rexrd 11270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ^*)
67	64, 57	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
68	67	rexrd 11270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ^*)
69		ioon0 13409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
70	66, 68, 69	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
71		dvlip.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
72	71	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 𝑀 ∈ ℝ)
73	67, 65	resubcld 11653	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ)
74	73	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ)
75	33	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ)
76	75	rexrd 11270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
77	34	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ)
78		elicc2 13449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝐵)))
79	75, 77, 78	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝐵)))
80	59, 79	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝐵))
81	80	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐴 ≤ 𝑎)
82		iooss1 13418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑎) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝑏))
83	76, 81, 82	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝑏))
84	77	rexrd 11270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
85		elicc2 13449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐵)))
86	75, 77, 85	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐵)))
87	57, 86	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐵))
88	87	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ≤ 𝐵)
89		iooss2 13419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
90	84, 88, 89	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐴(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
91	83, 90	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
92		ssn0 4362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
93	91, 92	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
94		n0 4307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
95		0red 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
96		dvf 26095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
97		dvlip.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
98	97	feq2d 6693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
99	96, 98	mpbii 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
100	99	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
101	100	abscld 15509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
102	71	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑀 ∈ ℝ)
103	100	absge0d 15517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
104		dvlip.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
105	95, 101, 102, 103, 104	letrd 11378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝑀)
106	105	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 𝑀))
107	106	exlimdv 1966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 𝑀))
108	107	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝑀)
109	94, 108	sylan2b 606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
110	109	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
111	93, 110	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
112		simpr3 1215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ≤ 𝑏)
113	67, 65	subge0d 11815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (0 ≤ (𝑏 − 𝑎) ↔ 𝑎 ≤ 𝑏))
114	112, 113	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑏 − 𝑎))
115	114	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ (𝑏 − 𝑎))
116	72, 74, 111, 115	mulge0d 11802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
117	116	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
118	70, 117	sylbird 263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 < 𝑏 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
119	67	recnd 11248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℂ)
120	65	recnd 11248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℂ)
121	119, 120	subeq0ad 11590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑏 − 𝑎) = 0 ↔ 𝑏 = 𝑎))
122		equcom 2051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝑏)
123	121, 122	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑏 − 𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
124		0re 11221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
125	71	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑀 ∈ ℝ)
126	125	recnd 11248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑀 ∈ ℂ)
127	126	mul01d 11420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑀 · 0) = 0)
128	127	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 0 = (𝑀 · 0))
129		eqle 11323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 = (𝑀 · 0)) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
130	124, 128, 129	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
131		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 − 𝑎) = 0 → (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)) = (𝑀 · 0))
132	131	breq2d 5123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 − 𝑎) = 0 → (0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)) ↔ 0 ≤ (𝑀 · 0)))
133	130, 132	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑏 − 𝑎) = 0 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
134	123, 133	sylbird 263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 = 𝑏 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
135	65, 67	leloed 11364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏)))
136	112, 135	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏))
137	118, 134, 136	mpjaod 874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
138	137	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
139	63, 138	eqbrtrd 5135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
140	58, 60	subcld 11580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
141	140	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
142	141	abscld 15509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℝ)
143	142	recnd 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
144	73	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ)
145	144	recnd 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℂ)
146	136	ord 878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (¬ 𝑎 < 𝑏 → 𝑎 = 𝑏))
147		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
148	147	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎))
149	146, 148	syl6 36	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (¬ 𝑎 < 𝑏 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)))
150	149	necon1ad 2977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎) → 𝑎 < 𝑏))
151	150	imp 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝑎 < 𝑏)
152	65	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℝ)
153	67	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝑏 ∈ ℝ)
154	152, 153	posdifd 11812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏 − 𝑎)))
155	151, 154	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 0 < (𝑏 − 𝑎))
156	155	gt0ne0d 11789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑏 − 𝑎) ≠ 0)
157	143, 145, 156	divrec2d 12006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) = ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
158		iccss2 13455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
159	59, 57, 158	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
160	159	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
161	160	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
162	39	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
163	162	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
164	161, 163	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
165	140	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
166	61	necon3bid 3004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)))
167	166	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0)
168	167	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0)
169	164, 165, 168	divcld 12002	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
170	162, 160	feqresmpt 6954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (𝐹‘𝑦)))
171		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
172		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
173	164, 170, 171, 172	fmptco 7129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
174		ref 15182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
176	175	feqmptd 6953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℜ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑥)))
177		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
178	169, 173, 176, 177	fmptco 7129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ ∘ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
179	37	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
180		rescncf 25085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ)))
181	159, 179, 180	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
182	181	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
183		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
184	183	divccncf 25094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
185	141, 167, 184	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
186	182, 185	cncfco 25095	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
187		recncf 25090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
188	187	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
189	186, 188	cncfco 25095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ ∘ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℝ))
190	178, 189	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℝ))
191	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℝ ⊆ ℂ)
192		iccssre 13467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ)
193	152, 153, 192	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ)
194	169	recld 15264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
195	194	recnd 11248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℂ)
196		tgioo4 24991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
197		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
198		iccntr 25008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
199	65, 67, 198	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
200	199	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
201	191, 193, 195, 196, 197, 200	dvmptntr 26159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))))
202		ioossicc 13471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎[,]𝑏)
203	202	sseli 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏))
204	203, 169	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
205		ovexd 7451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ V)
206		reelprrecn 11203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
207	206	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
208	203, 164	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
209	91	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
210	209	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
211	99	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
212	211	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ)
213	210, 212	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ)
214	36	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
215		ioossre 13445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ
216	215	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ)
217	197, 196	dvres 26099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))))
218	191, 162, 214, 216, 217	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))))
219		retop 24947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
220		iooretop 24951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))
221		isopn3i 23268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
222	219, 220, 221	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏)) = (𝑎(,)𝑏)
223	222	reseq2i 5977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))
224	218, 223	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)))
225	202, 160	sstrid 3949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
226	162, 225	feqresmpt 6954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹‘𝑦)))
227	226	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹‘𝑦))))
228	99	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
229	228, 91	fssresd 6749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)):(𝑎(,)𝑏)⟶ℂ)
230	229	feqmptd 6953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)))
231	230	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)))
232		fvres 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
233	232	mpteq2ia 5208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
234	231, 233	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
235	224, 227, 234	3eqtr3d 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
236	207, 208, 213, 235, 141, 167	dvmptdivc 26153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
237	204, 205, 236	dvmptre 26157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
238	201, 237	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
239	238	dmeqd 5897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → dom (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
240		dmmptg 6245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V → dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑎(,)𝑏))
241		fvex 6898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V
242	241	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V)
243	240, 242	mprg 3087	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑎(,)𝑏)
244	239, 243	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → dom (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = (𝑎(,)𝑏))
245	152, 153, 151, 190, 244	mvth 26180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))
246	238	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑥))
247		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
248	247	fvoveq1d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
249		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
250		fvex 6898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V
251	248, 249, 250	fvmpt 6993	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑥) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
252	246, 251	sylan9eq 2820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
253		ubicc2 13503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
254	66, 68, 112, 253	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
255	254	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
256	15	fvoveq1d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
257		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
258		fvex 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V
259	256, 257, 258	fvmpt 6993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) = (ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
260	255, 259	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) = (ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
261		lbicc2 13502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
262	66, 68, 112, 261	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
263	262	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
264	24	fvoveq1d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
265		fvex 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V
266	264, 257, 265	fvmpt 6993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎) = (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
267	263, 266	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎) = (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
268	260, 267	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) = ((ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
269	58	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
270	269, 141, 167	divcld 12002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
271	60	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
272	271, 141, 167	divcld 12002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
273	270, 272	resubd 15286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = ((ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
274	269, 271, 141, 167	divsubdird 12041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = (((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
275	141, 167	dividd 12000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = 1)
276	274, 275	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = 1)
277	276	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (ℜ‘1))
278		re1 15224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℜ‘1) = 1
279	277, 278	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = 1)
280	273, 279	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = 1)
281	280	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = 1)
282	268, 281	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) = 1)
283	282	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) = (1 / (𝑏 − 𝑎)))
284	252, 283	eqeq12d 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) ↔ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎))))
285	284	rexbidva 3189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎))))
286	245, 285	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)))
287	209	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
288	211	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
289	287, 288	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
290	140	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
291	167	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0)
292	289, 290, 291	divcld 12002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
293	292	recld 15264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
294	142	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℝ)
295	293, 294	remulcld 11250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
296	289	abscld 15509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
297	125	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑀 ∈ ℝ)
298	292	abscld 15509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
299	141	absge0d 15517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
300	299	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
301	292	releabsd 15524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
302	293, 298, 294, 300, 301	lemul1ad 12165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
303	292, 290	absmuld 15527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) · ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
304	289, 290, 291	divcan1d 12003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) · ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
305	304	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) · ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
306	303, 305	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
307	302, 306	breqtrd 5139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
308	104	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
309	287, 308	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
310	295, 296, 297, 307, 309	letrd 11378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀)
311		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
312	311	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)) → (((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀))
313	310, 312	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)) → ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀))
314	313	rexlimdva 3168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)) → ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀))
315	286, 314	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀)
316	157, 315	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) ≤ 𝑀)
317	71	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝑀 ∈ ℝ)
318		ledivmul2 12105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑏 − 𝑎))) → (((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
319	142, 317, 144, 155, 318	syl112anc 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
320	316, 319	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
321	139, 320	pm2.61dane 3047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
322	65, 67, 112	abssubge0d 15504	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (abs‘(𝑏 − 𝑎)) = (𝑏 − 𝑎))
323	322	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
324	321, 323	breqtrrd 5141	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))))
325	23, 32, 36, 55, 324	wlogle 11758	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))))
326	325	expcom 419	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎)))))
327	8, 14, 326	vtocl2ga 3544	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌)))))
328	327	ancoms 464	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌)))))
329	328	impcom 413	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∃wex 1812 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2960 ∃wrex 3091 Vcvv 3457 ⊆ wss 3906 ∅c0 4286 {cpr 4593 class class class wbr 5111 ↦ cmpt 5194 dom cdm 5663 ran crn 5664 ↾ cres 5665 ∘ ccom 5667 ⟶wf 6536 ‘cfv 6540 (class class class)co 7416 ℂcc 11109 ℝcr 11110 0cc0 11111 1c1 11112 · cmul 11116 ℝ^*cxr 11253 < clt 11254 ≤ cle 11255 − cmin 11452 / cdiv 11882 (,)cioo 13383 [,]cicc 13386 ℜcre 15167 abscabs 15304 TopOpenctopn 17491 topGenctg 17507 ℂ_fldccnfld 21551 Topctop 23079 intcnt 23203 –cn→ccncf 25064 D cdv 26051

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-rep 5240 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7738 ax-cnex 11167 ax-resscn 11168 ax-1cn 11169 ax-icn 11170 ax-addcl 11171 ax-addrcl 11172 ax-mulcl 11173 ax-mulrcl 11174 ax-mulcom 11175 ax-addass 11176 ax-mulass 11177 ax-distr 11178 ax-i2m1 11179 ax-1ne0 11180 ax-1rid 11181 ax-rnegex 11182 ax-rrecex 11183 ax-cnre 11184 ax-pre-lttri 11185 ax-pre-lttrn 11186 ax-pre-ltadd 11187 ax-pre-mulgt0 11188 ax-pre-sup 11189 ax-addf 11190

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-tp 4596 df-op 4598 df-uni 4875 df-int 4915 df-iun 4960 df-iin 4961 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-se 5617 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7373 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-of 7680 df-om 7865 df-1st 7988 df-2nd 7989 df-supp 8159 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8360 df-rdg 8399 df-1o 8455 df-2o 8456 df-er 8696 df-map 8828 df-pm 8829 df-ixp 8898 df-en 8946 df-dom 8947 df-sdom 8948 df-fin 8949 df-fsupp 9325 df-fi 9374 df-sup 9405 df-inf 9406 df-oi 9475 df-card 9937 df-pnf 11256 df-mnf 11257 df-xr 11258 df-ltxr 11259 df-le 11260 df-sub 11454 df-neg 11455 df-div 11883 df-nn 12245 df-2 12314 df-3 12315 df-4 12316 df-5 12317 df-6 12318 df-7 12319 df-8 12320 df-9 12321 df-n0 12516 df-z 12603 df-dec 12723 df-uz 12874 df-q 12984 df-rp 13028 df-xneg 13148 df-xadd 13149 df-xmul 13150 df-ioo 13387 df-ico 13389 df-icc 13390 df-fz 13547 df-fzo 13695 df-seq 14051 df-exp 14111 df-hash 14380 df-cj 15169 df-re 15170 df-im 15171 df-sqrt 15305 df-abs 15306 df-struct 17224 df-sets 17241 df-slot 17259 df-ndx 17271 df-base 17287 df-ress 17308 df-plusg 17340 df-mulr 17341 df-starv 17342 df-sca 17343 df-vsca 17344 df-ip 17345 df-tset 17346 df-ple 17347 df-ds 17349 df-unif 17350 df-hom 17351 df-cco 17352 df-rest 17492 df-topn 17493 df-0g 17511 df-gsum 17512 df-topgen 17513 df-pt 17514 df-prds 17517 df-xrs 17573 df-qtop 17578 df-imas 17579 df-xps 17581 df-mre 17655 df-mrc 17656 df-acs 17658 df-mgm 18715 df-sgrp 18798 df-mnd 18814 df-submnd 18865 df-mulg 19157 df-cntz 19410 df-cmn 19875 df-psmet 21543 df-xmet 21544 df-met 21545 df-bl 21546 df-mopn 21547 df-fbas 21548 df-fg 21549 df-cnfld 21552 df-top 23080 df-topon 23097 df-topsp 23119 df-bases 23132 df-cld 23205 df-ntr 23206 df-cls 23207 df-nei 23284 df-lp 23322 df-perf 23323 df-cn 23413 df-cnp 23414 df-haus 23501 df-cmp 23573 df-tx 23748 df-hmeo 23941 df-fil 24032 df-fm 24124 df-flim 24125 df-flf 24126 df-xms 24506 df-ms 24507 df-tms 24508 df-cncf 25066 df-limc 26054 df-dv 26055

This theorem is used by: dvlipcn 26182 dvlip2 26183 dveq0 26188 dvfsumabs 26211 pige3ALT 26714 lgamgulmlem2 27223

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