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Theorem dvlip 26046
Description: A function with derivative bounded by 𝑀 is 𝑀-Lipschitz continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlip.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvlip.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvlip.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
dvlip.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvlip.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
dvlip.l ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
dvlip ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem dvlip
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑌 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑌))
21oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑌 → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) = ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌)))
32fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑌 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))))
4 oveq2 7438 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑌 → (𝑏𝑎) = (𝑏𝑌))
54fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑌 → (abs‘(𝑏𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑌)))
65oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑌 → (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) = (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌))))
73, 6breq12d 5160 . . . . 5 (𝑎 = 𝑌 → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌)))))
87imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = 𝑌 → ((𝜑 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎)))) ↔ (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌))))))
9 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑋))
109fvoveq1d 7452 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) = (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))))
11 fvoveq1 7453 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (abs‘(𝑏𝑌)) = (abs‘(𝑋𝑌)))
1211oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌))) = (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌))))
1310, 12breq12d 5160 . . . . 5 (𝑏 = 𝑋 → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌))) ↔ (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌)))))
1413imbi2d 340 . . . 4 (𝑏 = 𝑋 → ((𝜑 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌)))) ↔ (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌))))))
15 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑏))
16 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
1715, 16oveqan12d 7449 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))
1817fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
19 oveq12 7439 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → (𝑦𝑥) = (𝑏𝑎))
2019fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → (abs‘(𝑦𝑥)) = (abs‘(𝑏𝑎)))
2120oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) = (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))))
2218, 21breq12d 5160 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎)))))
2322ancoms 458 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎)))))
24 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑎))
25 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑏))
2624, 25oveqan12d 7449 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏)))
2726fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))))
28 oveq12 7439 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → (𝑦𝑥) = (𝑎𝑏))
2928fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → (abs‘(𝑦𝑥)) = (abs‘(𝑎𝑏)))
3029oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) = (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏))))
3127, 30breq12d 5160 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏)))))
3231ancoms 458 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑎) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏)))))
33 dvlip.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
34 dvlip.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
35 iccssre 13465 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
3633, 34, 35syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
37 dvlip.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
38 cncff 24932 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
40 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
41 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
4240, 41anim12dan 619 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹𝑎) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑏) ∈ ℂ))
4339, 42sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹𝑎) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑏) ∈ ℂ))
4443simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
4543simpld 494 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
4644, 45abssubd 15488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))))
47 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
4836, 47sstrdi 4007 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
4948sselda 3994 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑏 ∈ ℂ)
5049adantrl 716 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑏 ∈ ℂ)
5148sselda 3994 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑎 ∈ ℂ)
5251adantrr 717 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑎 ∈ ℂ)
5350, 52abssubd 15488 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑏𝑎)) = (abs‘(𝑎𝑏)))
5453oveq2d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) = (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏))))
5546, 54breq12d 5160 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏)))))
5639adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
57 simpr2 1194 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5856, 57ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
59 simpr1 1193 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6056, 59ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
6158, 60subeq0ad 11627 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) = 0 ↔ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)))
6261biimpar 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) = 0)
6362abs00bd 15326 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = 0)
6436adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6564, 59sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
6665rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
6764, 57sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
6867rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
69 ioon0 13409 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
7066, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
71 dvlip.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7271ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 𝑀 ∈ ℝ)
7367, 65resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
7533adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7675rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7734adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ)
78 elicc2 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑎𝑎𝐵)))
7975, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑎𝑎𝐵)))
8059, 79mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑎𝑎𝐵))
8180simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐴𝑎)
82 iooss1 13418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑎) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝑏))
8376, 81, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝑏))
8477rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
85 elicc2 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑏𝑏𝐵)))
8675, 77, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑏𝑏𝐵)))
8757, 86mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑏𝑏𝐵))
8887simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏𝐵)
89 iooss2 13419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑏𝐵) → (𝐴(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
9084, 88, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐴(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
9183, 90sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
92 ssn0 4409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
9391, 92sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
94 n0 4358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
95 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
96 dvf 25956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
97 dvlip.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
9897feq2d 6722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
9996, 98mpbii 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
10099ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
101100abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
10271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑀 ∈ ℝ)
103100absge0d 15479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
104 dvlip.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
10595, 101, 102, 103, 104letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝑀)
106105ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 𝑀))
107106exlimdv 1930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 𝑀))
108107imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝑀)
10994, 108sylan2b 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
110109adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
11193, 110syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
112 simpr3 1195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑏)
11367, 65subge0d 11850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (0 ≤ (𝑏𝑎) ↔ 𝑎𝑏))
114112, 113mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 0 ≤ (𝑏𝑎))
115114adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ (𝑏𝑎))
11672, 74, 111, 115mulge0d 11837 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
117116ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
11870, 117sylbird 260 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 < 𝑏 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
11967recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ ℂ)
12065recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ ℂ)
121119, 120subeq0ad 11627 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑏𝑎) = 0 ↔ 𝑏 = 𝑎))
122 equcom 2014 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑎𝑎 = 𝑏)
123121, 122bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑏𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
124 0re 11260 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
12571adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑀 ∈ ℝ)
126125recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑀 ∈ ℂ)
127126mul01d 11457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑀 · 0) = 0)
128127eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 0 = (𝑀 · 0))
129 eqle 11360 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 = (𝑀 · 0)) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
130124, 128, 129sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
131 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑎) = 0 → (𝑀 · (𝑏𝑎)) = (𝑀 · 0))
132131breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑎) = 0 → (0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)) ↔ 0 ≤ (𝑀 · 0)))
133130, 132syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑏𝑎) = 0 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
134123, 133sylbird 260 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 = 𝑏 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
13565, 67leloed 11401 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏)))
136112, 135mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏))
137118, 134, 136mpjaod 860 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
138137adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
13963, 138eqbrtrd 5169 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
14058, 60subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
141140adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
142141abscld 15471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℝ)
143142recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
14473adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
145144recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑏𝑎) ∈ ℂ)
146136ord 864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (¬ 𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏))
147 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
148147eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎))
149146, 148syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (¬ 𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)))
150149necon1ad 2954 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎) → 𝑎 < 𝑏))
151150imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝑎 < 𝑏)
15265adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝑎 ∈ ℝ)
15367adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝑏 ∈ ℝ)
154152, 153posdifd 11847 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏𝑎)))
155151, 154mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 0 < (𝑏𝑎))
156155gt0ne0d 11824 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑏𝑎) ≠ 0)
157143, 145, 156divrec2d 12044 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) / (𝑏𝑎)) = ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
158 iccss2 13454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
15959, 57, 158syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
161160sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16239ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
163162ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
164161, 163syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
165140ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
16661necon3bid 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)))
167166biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0)
168167adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0)
169164, 165, 168divcld 12040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
170162, 160feqresmpt 6977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (𝐹𝑦)))
171 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
172 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
173164, 170, 171, 172fmptco 7148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
174 ref 15147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℜ:ℂ⟶ℝ
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
176175feqmptd 6976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℜ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑥)))
177 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
178169, 173, 176, 177fmptco 7148 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ ∘ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
17937adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
180 rescncf 24936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ)))
181159, 179, 180sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
182181adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
183 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
184183divccncf 24945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
185141, 167, 184syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
186182, 185cncfco 24946 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
187 recncf 24941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
188187a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
189186, 188cncfco 24946 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ ∘ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℝ))
190178, 189eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℝ))
19147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℝ ⊆ ℂ)
192 iccssre 13465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ)
193152, 153, 192syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ)
194169recld 15229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
195194recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℂ)
196 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
197196tgioo2 24838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
198 iccntr 24856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
19965, 67, 198syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
200199adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
201191, 193, 195, 197, 196, 200dvmptntr 26023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))))
202 ioossicc 13469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎[,]𝑏)
203202sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏))
204203, 169sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
205 ovexd 7465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ V)
206 reelprrecn 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
207206a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
208203, 164sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
20991adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
210209sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
21199ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
212211ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ)
213210, 212syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ)
21436ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
215 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ
216215a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ)
217196, 197dvres 25960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))))
218191, 162, 214, 216, 217syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))))
219 retop 24797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
220 iooretop 24801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))
221 isopn3i 23105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
222219, 220, 221mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏)) = (𝑎(,)𝑏)
223222reseq2i 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))
224218, 223eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)))
225202, 160sstrid 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
226162, 225feqresmpt 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹𝑦)))
227226oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹𝑦))))
22899adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
229228, 91fssresd 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)):(𝑎(,)𝑏)⟶ℂ)
230229feqmptd 6976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)))
231230adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)))
232 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
233232mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
234231, 233eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
235224, 227, 2343eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
236207, 208, 213, 235, 141, 167dvmptdivc 26017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
237204, 205, 236dvmptre 26021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
238201, 237eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
239238dmeqd 5918 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → dom (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
240 dmmptg 6263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V → dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑎(,)𝑏))
241 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V
242241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V)
243240, 242mprg 3064 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑎(,)𝑏)
244239, 243eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → dom (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = (𝑎(,)𝑏))
245152, 153, 151, 190, 244mvth 26045 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))
246238fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑥))
247 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
248247fvoveq1d 7452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
249 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
250 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V
251248, 249, 250fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑥) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
252246, 251sylan9eq 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
253 ubicc2 13501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝑎𝑏) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
25466, 68, 112, 253syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
255254ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
25615fvoveq1d 7452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑏 → (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
257 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
258 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V
259256, 257, 258fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) = (ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
260255, 259syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) = (ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
261 lbicc2 13500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝑎𝑏) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
26266, 68, 112, 261syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
263262ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
26424fvoveq1d 7452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑎 → (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
265 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V
266264, 257, 265fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎) = (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
267263, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎) = (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
268260, 267oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) = ((ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
26958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
270269, 141, 167divcld 12040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
27160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
272271, 141, 167divcld 12040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
273270, 272resubd 15251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = ((ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
274269, 271, 141, 167divsubdird 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = (((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
275141, 167dividd 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = 1)
276274, 275eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = 1)
277276fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (ℜ‘1))
278 re1 15189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℜ‘1) = 1
279277, 278eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = 1)
280273, 279eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = 1)
281280adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = 1)
282268, 281eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) = 1)
283282oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏𝑎)) = (1 / (𝑏𝑎)))
284252, 283eqeq12d 2750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏𝑎)) ↔ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎))))
285284rexbidva 3174 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏𝑎)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎))))
286245, 285mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)))
287209sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
288211ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
289287, 288syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
290140ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
291167adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0)
292289, 290, 291divcld 12040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
293292recld 15229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
294142adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℝ)
295293, 294remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
296289abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
297125ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑀 ∈ ℝ)
298292abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
299141absge0d 15479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
300299adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
301292releabsd 15486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
302293, 298, 294, 300, 301lemul1ad 12204 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
303292, 290absmuld 15489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) · ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
304289, 290, 291divcan1d 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) · ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
305304fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) · ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
306303, 305eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
307302, 306breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
308104ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
309287, 308syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
310295, 296, 297, 307, 309letrd 11415 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀)
311 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
312311breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)) → (((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀))
313310, 312syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)) → ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀))
314313rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)) → ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀))
315286, 314mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀)
316157, 315eqbrtrd 5169 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) / (𝑏𝑎)) ≤ 𝑀)
31771ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝑀 ∈ ℝ)
318 ledivmul2 12144 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑏𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑏𝑎))) → (((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) / (𝑏𝑎)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
319142, 317, 144, 155, 318syl112anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) / (𝑏𝑎)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
320316, 319mpbid 232 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
321139, 320pm2.61dane 3026 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
32265, 67, 112abssubge0d 15466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (abs‘(𝑏𝑎)) = (𝑏𝑎))
323322oveq2d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) = (𝑀 · (𝑏𝑎)))
324321, 323breqtrrd 5175 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))))
32523, 32, 36, 55, 324wlogle 11793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))))
326325expcom 413 . . . 4 ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎)))))
3278, 14, 326vtocl2ga 3577 . . 3 ((𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌)))))
328327ancoms 458 . 2 ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌)))))
329328impcom 407 1 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  Vcvv 3477  wss 3962  c0 4338  {cpr 4632   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  ccom 5692  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  cre 15132  abscabs 15269  TopOpenctopn 17467  topGenctg 17483  fldccnfld 21381  Topctop 22914  intcnt 23040  cnccncf 24915   D cdv 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916
This theorem is referenced by:  dvlipcn  26047  dvlip2  26048  dveq0  26053  dvfsumabs  26077  pige3ALT  26576  lgamgulmlem2  27087
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