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Theorem dvlip 25874

Description: A function with derivative bounded by 𝑀 is 𝑀-Lipschitz continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvlip.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dvlip.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dvlip.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
dvlip.d	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvlip.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
dvlip.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)

**Assertion**
Ref	Expression
dvlip	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝜑,𝑥 𝑥,𝐹 𝑥,𝑀 Allowed substitution hints: 𝑋(𝑥) 𝑌(𝑥)

Proof of Theorem dvlip Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑌))
2	1	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) = ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌)))
3	2	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))))
4		oveq2 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − 𝑌))
5	4	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (abs‘(𝑏 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑌)))
6	5	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌))))
7	3, 6	breq12d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌)))))
8	7	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎)))) ↔ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌))))))
9		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑋))
10	9	fvoveq1d 7391	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) = (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))))
11		fvoveq1 7392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (abs‘(𝑏 − 𝑌)) = (abs‘(𝑋 − 𝑌)))
12	11	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌))) = (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌))))
13	10, 12	breq12d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌)))))
14	13	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑌)))) ↔ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌))))))
15		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑏))
16		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑎))
17	15, 16	oveqan12d 7388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))
18	17	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) = (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
19		oveq12 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑏 − 𝑎))
20	19	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → (abs‘(𝑦 − 𝑥)) = (abs‘(𝑏 − 𝑎)))
21	20	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) = (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))))
22	18, 21	breq12d 5115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑥 = 𝑎) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎)))))
23	22	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎)))))
24		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑎))
25		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑏))
26	24, 25	oveqan12d 7388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)))
27	26	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) = (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))))
28		oveq12 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑎 − 𝑏))
29	28	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → (abs‘(𝑦 − 𝑥)) = (abs‘(𝑎 − 𝑏)))
30	29	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) = (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏))))
31	27, 30	breq12d 5115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑥 = 𝑏) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏)))))
32	31	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑎) → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏)))))
33		dvlip.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
34		dvlip.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
35		iccssre 13366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
36	33, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
37		dvlip.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
38		cncff 24762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
40		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
41		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
42	40, 41	anim12dan 619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ))
43	39, 42	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ))
44	43	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
45	43	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
46	44, 45	abssubd 15398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))))
47		ax-resscn 11101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
48	36, 47	sstrdi 3956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
49	48	sselda 3943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑏 ∈ ℂ)
50	49	adantrl 716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑏 ∈ ℂ)
51	48	sselda 3943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑎 ∈ ℂ)
52	51	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑎 ∈ ℂ)
53	50, 52	abssubd 15398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑏 − 𝑎)) = (abs‘(𝑎 − 𝑏)))
54	53	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏))))
55	46, 54	breq12d 5115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎 − 𝑏)))))
56	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
57		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))
58	56, 57	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
59		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵))
60	56, 59	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
61	58, 60	subeq0ad 11519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)))
62	61	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) = 0)
63	62	abs00bd 15233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = 0)
64	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
65	64, 59	sseldd 3944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
66	65	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ^*)
67	64, 57	sseldd 3944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
68	67	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ^*)
69		ioon0 13308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
70	66, 68, 69	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
71		dvlip.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
72	71	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 𝑀 ∈ ℝ)
73	67, 65	resubcld 11582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ)
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ)
75	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ)
76	75	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
77	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ)
78		elicc2 13348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝐵)))
79	75, 77, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝐵)))
80	59, 79	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝐵))
81	80	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐴 ≤ 𝑎)
82		iooss1 13317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑎) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝑏))
83	76, 81, 82	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝑏))
84	77	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
85		elicc2 13348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐵)))
86	75, 77, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐵)))
87	57, 86	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐵))
88	87	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ≤ 𝐵)
89		iooss2 13318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
90	84, 88, 89	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐴(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
91	83, 90	sstrd 3954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
92		ssn0 4363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
93	91, 92	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
94		n0 4312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
95		0red 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
96		dvf 25784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
97		dvlip.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
98	97	feq2d 6654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
99	96, 98	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
100	99	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
101	100	abscld 15381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
102	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑀 ∈ ℝ)
103	100	absge0d 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
104		dvlip.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
105	95, 101, 102, 103, 104	letrd 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝑀)
106	105	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 𝑀))
107	106	exlimdv 1933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 𝑀))
108	107	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝑀)
109	94, 108	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
110	109	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
111	93, 110	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
112		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ≤ 𝑏)
113	67, 65	subge0d 11744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (0 ≤ (𝑏 − 𝑎) ↔ 𝑎 ≤ 𝑏))
114	112, 113	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑏 − 𝑎))
115	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ (𝑏 − 𝑎))
116	72, 74, 111, 115	mulge0d 11731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
117	116	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
118	70, 117	sylbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 < 𝑏 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
119	67	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℂ)
120	65	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℂ)
121	119, 120	subeq0ad 11519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑏 − 𝑎) = 0 ↔ 𝑏 = 𝑎))
122		equcom 2018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑎 ↔ 𝑎 = 𝑏)
123	121, 122	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑏 − 𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
124		0re 11152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
125	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑀 ∈ ℝ)
126	125	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑀 ∈ ℂ)
127	126	mul01d 11349	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑀 · 0) = 0)
128	127	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 0 = (𝑀 · 0))
129		eqle 11252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 = (𝑀 · 0)) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
130	124, 128, 129	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
131		oveq2 7377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 − 𝑎) = 0 → (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)) = (𝑀 · 0))
132	131	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 − 𝑎) = 0 → (0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)) ↔ 0 ≤ (𝑀 · 0)))
133	130, 132	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝑏 − 𝑎) = 0 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
134	123, 133	sylbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 = 𝑏 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
135	65, 67	leloed 11293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏)))
136	112, 135	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏))
137	118, 134, 136	mpjaod 860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
138	137	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
139	63, 138	eqbrtrd 5124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
140	58, 60	subcld 11509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
141	140	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
142	141	abscld 15381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℝ)
143	142	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
144	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ)
145	144	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℂ)
146	136	ord 864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (¬ 𝑎 < 𝑏 → 𝑎 = 𝑏))
147		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
148	147	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎))
149	146, 148	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (¬ 𝑎 < 𝑏 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)))
150	149	necon1ad 2942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎) → 𝑎 < 𝑏))
151	150	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝑎 < 𝑏)
152	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℝ)
153	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝑏 ∈ ℝ)
154	152, 153	posdifd 11741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏 − 𝑎)))
155	151, 154	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 0 < (𝑏 − 𝑎))
156	155	gt0ne0d 11718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑏 − 𝑎) ≠ 0)
157	143, 145, 156	divrec2d 11938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) = ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
158		iccss2 13354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
159	59, 57, 158	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
160	159	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
161	160	sselda 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
162	39	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
163	162	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
164	161, 163	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
165	140	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
166	61	necon3bid 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)))
167	166	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0)
168	167	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0)
169	164, 165, 168	divcld 11934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
170	162, 160	feqresmpt 6912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (𝐹‘𝑦)))
171		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
172		oveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
173	164, 170, 171, 172	fmptco 7083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
174		ref 15054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
176	175	feqmptd 6911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℜ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑥)))
177		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
178	169, 173, 176, 177	fmptco 7083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ ∘ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
179	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
180		rescncf 24766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ)))
181	159, 179, 180	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
182	181	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
183		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
184	183	divccncf 24775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
185	141, 167, 184	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
186	182, 185	cncfco 24776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
187		recncf 24771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
188	187	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
189	186, 188	cncfco 24776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ ∘ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℝ))
190	178, 189	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℝ))
191	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℝ ⊆ ℂ)
192		iccssre 13366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ)
193	152, 153, 192	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ)
194	169	recld 15136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
195	194	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℂ)
196		tgioo4 24669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
197		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
198		iccntr 24686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
199	65, 67, 198	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
200	199	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
201	191, 193, 195, 196, 197, 200	dvmptntr 25851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))))
202		ioossicc 13370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎[,]𝑏)
203	202	sseli 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏))
204	203, 169	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
205		ovexd 7404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ V)
206		reelprrecn 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
207	206	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
208	203, 164	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
209	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
210	209	sselda 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
211	99	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
212	211	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ)
213	210, 212	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ)
214	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
215		ioossre 13344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ
216	215	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ)
217	197, 196	dvres 25788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))))
218	191, 162, 214, 216, 217	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))))
219		retop 24625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
220		iooretop 24629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))
221		isopn3i 22945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
222	219, 220, 221	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏)) = (𝑎(,)𝑏)
223	222	reseq2i 5936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))
224	218, 223	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)))
225	202, 160	sstrid 3955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
226	162, 225	feqresmpt 6912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹‘𝑦)))
227	226	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹‘𝑦))))
228	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
229	228, 91	fssresd 6709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)):(𝑎(,)𝑏)⟶ℂ)
230	229	feqmptd 6911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)))
231	230	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)))
232		fvres 6859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
233	232	mpteq2ia 5197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
234	231, 233	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
235	224, 227, 234	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
236	207, 208, 213, 235, 141, 167	dvmptdivc 25845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
237	204, 205, 236	dvmptre 25849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
238	201, 237	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
239	238	dmeqd 5859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → dom (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
240		dmmptg 6203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V → dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑎(,)𝑏))
241		fvex 6853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V
242	241	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V)
243	240, 242	mprg 3050	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑎(,)𝑏)
244	239, 243	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → dom (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))) = (𝑎(,)𝑏))
245	152, 153, 151, 190, 244	mvth 25873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))
246	238	fveq1d 6842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑥))
247		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
248	247	fvoveq1d 7391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
249		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
250		fvex 6853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V
251	248, 249, 250	fvmpt 6950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑥) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
252	246, 251	sylan9eq 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
253		ubicc2 13402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
254	66, 68, 112, 253	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
255	254	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
256	15	fvoveq1d 7391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
257		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
258		fvex 6853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V
259	256, 257, 258	fvmpt 6950	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) = (ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
260	255, 259	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) = (ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
261		lbicc2 13401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
262	66, 68, 112, 261	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
263	262	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
264	24	fvoveq1d 7391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
265		fvex 6853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ V
266	264, 257, 265	fvmpt 6950	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎) = (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
267	263, 266	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎) = (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
268	260, 267	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) = ((ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
269	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
270	269, 141, 167	divcld 11934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
271	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
272	271, 141, 167	divcld 11934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
273	270, 272	resubd 15158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = ((ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))
274	269, 271, 141, 167	divsubdird 11973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = (((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
275	141, 167	dividd 11932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = 1)
276	274, 275	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = 1)
277	276	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = (ℜ‘1))
278		re1 15096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℜ‘1) = 1
279	277, 278	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) − ((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = 1)
280	273, 279	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = 1)
281	280	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘((𝐹‘𝑏) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹‘𝑎) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))) = 1)
282	268, 281	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) = 1)
283	282	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) = (1 / (𝑏 − 𝑎)))
284	252, 283	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) ↔ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎))))
285	284	rexbidva 3155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑦) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎))))
286	245, 285	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)))
287	209	sselda 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
288	211	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
289	287, 288	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
290	140	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
291	167	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)) ≠ 0)
292	289, 290, 291	divcld 11934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℂ)
293	292	recld 15136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
294	142	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℝ)
295	293, 294	remulcld 11180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
296	289	abscld 15381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
297	125	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑀 ∈ ℝ)
298	292	abscld 15381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
299	141	absge0d 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
300	299	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))))
301	292	releabsd 15396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
302	293, 298, 294, 300, 301	lemul1ad 12098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
303	292, 290	absmuld 15399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) · ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
304	289, 290, 291	divcan1d 11935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) · ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
305	304	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) · ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
306	303, 305	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
307	302, 306	breqtrd 5128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
308	104	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
309	287, 308	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
310	295, 296, 297, 307, 309	letrd 11307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀)
311		oveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))))
312	311	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)) → (((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀))
313	310, 312	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)) → ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀))
314	313	rexlimdva 3134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) = (1 / (𝑏 − 𝑎)) → ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀))
315	286, 314	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((1 / (𝑏 − 𝑎)) · (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎)))) ≤ 𝑀)
316	157, 315	eqbrtrd 5124	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → ((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) ≤ 𝑀)
317	71	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → 𝑀 ∈ ℝ)
318		ledivmul2 12038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑏 − 𝑎))) → (((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
319	142, 317, 144, 155, 318	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (((abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎))))
320	316, 319	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑎)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
321	139, 320	pm2.61dane 3012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
322	65, 67, 112	abssubge0d 15376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (abs‘(𝑏 − 𝑎)) = (𝑏 − 𝑎))
323	322	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑀 · (𝑏 − 𝑎)))
324	321, 323	breqtrrd 5130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))))
325	23, 32, 36, 55, 324	wlogle 11687	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎))))
326	325	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑏) − (𝐹‘𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏 − 𝑎)))))
327	8, 14, 326	vtocl2ga 3541	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌)))))
328	327	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌)))))
329	328	impcom 407	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋 − 𝑌))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∃wex 1779 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∃wrex 3053 Vcvv 3444 ⊆ wss 3911 ∅c0 4292 {cpr 4587 class class class wbr 5102 ↦ cmpt 5183 dom cdm 5631 ran crn 5632 ↾ cres 5633 ∘ ccom 5635 ⟶wf 6495 ‘cfv 6499 (class class class)co 7369 ℂcc 11042 ℝcr 11043 0cc0 11044 1c1 11045 · cmul 11049 ℝ^*cxr 11183 < clt 11184 ≤ cle 11185 − cmin 11381 / cdiv 11811 (,)cioo 13282 [,]cicc 13285 ℜcre 15039 abscabs 15176 TopOpenctopn 17360 topGenctg 17376 ℂ_fldccnfld 21240 Topctop 22756 intcnt 22880 –cn→ccncf 24745 D cdv 25740

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5229 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5315 ax-pr 5382 ax-un 7691 ax-cnex 11100 ax-resscn 11101 ax-1cn 11102 ax-icn 11103 ax-addcl 11104 ax-addrcl 11105 ax-mulcl 11106 ax-mulrcl 11107 ax-mulcom 11108 ax-addass 11109 ax-mulass 11110 ax-distr 11111 ax-i2m1 11112 ax-1ne0 11113 ax-1rid 11114 ax-rnegex 11115 ax-rrecex 11116 ax-cnre 11117 ax-pre-lttri 11118 ax-pre-lttrn 11119 ax-pre-ltadd 11120 ax-pre-mulgt0 11121 ax-pre-sup 11122 ax-addf 11123

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3403 df-v 3446 df-sbc 3751 df-csb 3860 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3931 df-nul 4293 df-if 4485 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-tp 4590 df-op 4592 df-uni 4868 df-int 4907 df-iun 4953 df-iin 4954 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6262 df-ord 6323 df-on 6324 df-lim 6325 df-suc 6326 df-iota 6452 df-fun 6501 df-fn 6502 df-f 6503 df-f1 6504 df-fo 6505 df-f1o 6506 df-fv 6507 df-isom 6508 df-riota 7326 df-ov 7372 df-oprab 7373 df-mpo 7374 df-of 7633 df-om 7823 df-1st 7947 df-2nd 7948 df-supp 8117 df-frecs 8237 df-wrecs 8268 df-recs 8317 df-rdg 8355 df-1o 8411 df-2o 8412 df-er 8648 df-map 8778 df-pm 8779 df-ixp 8848 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-fsupp 9289 df-fi 9338 df-sup 9369 df-inf 9370 df-oi 9439 df-card 9868 df-pnf 11186 df-mnf 11187 df-xr 11188 df-ltxr 11189 df-le 11190 df-sub 11383 df-neg 11384 df-div 11812 df-nn 12163 df-2 12225 df-3 12226 df-4 12227 df-5 12228 df-6 12229 df-7 12230 df-8 12231 df-9 12232 df-n0 12419 df-z 12506 df-dec 12626 df-uz 12770 df-q 12884 df-rp 12928 df-xneg 13048 df-xadd 13049 df-xmul 13050 df-ioo 13286 df-ico 13288 df-icc 13289 df-fz 13445 df-fzo 13592 df-seq 13943 df-exp 14003 df-hash 14272 df-cj 15041 df-re 15042 df-im 15043 df-sqrt 15177 df-abs 15178 df-struct 17093 df-sets 17110 df-slot 17128 df-ndx 17140 df-base 17156 df-ress 17177 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-starv 17211 df-sca 17212 df-vsca 17213 df-ip 17214 df-tset 17215 df-ple 17216 df-ds 17218 df-unif 17219 df-hom 17220 df-cco 17221 df-rest 17361 df-topn 17362 df-0g 17380 df-gsum 17381 df-topgen 17382 df-pt 17383 df-prds 17386 df-xrs 17441 df-qtop 17446 df-imas 17447 df-xps 17449 df-mre 17523 df-mrc 17524 df-acs 17526 df-mgm 18543 df-sgrp 18622 df-mnd 18638 df-submnd 18687 df-mulg 18976 df-cntz 19225 df-cmn 19688 df-psmet 21232 df-xmet 21233 df-met 21234 df-bl 21235 df-mopn 21236 df-fbas 21237 df-fg 21238 df-cnfld 21241 df-top 22757 df-topon 22774 df-topsp 22796 df-bases 22809 df-cld 22882 df-ntr 22883 df-cls 22884 df-nei 22961 df-lp 22999 df-perf 23000 df-cn 23090 df-cnp 23091 df-haus 23178 df-cmp 23250 df-tx 23425 df-hmeo 23618 df-fil 23709 df-fm 23801 df-flim 23802 df-flf 23803 df-xms 24184 df-ms 24185 df-tms 24186 df-cncf 24747 df-limc 25743 df-dv 25744

This theorem is referenced by: dvlipcn 25875 dvlip2 25876 dveq0 25881 dvfsumabs 25905 pige3ALT 26405 lgamgulmlem2 26916

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