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Theorem dvlip 25357
Description: A function with derivative bounded by 𝑀 is 𝑀-Lipschitz continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlip.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvlip.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvlip.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
dvlip.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvlip.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
dvlip.l ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
dvlip ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem dvlip
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑌 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑌))
21oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑌 → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) = ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌)))
32fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑌 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))))
4 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑌 → (𝑏𝑎) = (𝑏𝑌))
54fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑌 → (abs‘(𝑏𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑌)))
65oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑌 → (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) = (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌))))
73, 6breq12d 5118 . . . . 5 (𝑎 = 𝑌 → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌)))))
87imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = 𝑌 → ((𝜑 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎)))) ↔ (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌))))))
9 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑋))
109fvoveq1d 7379 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) = (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))))
11 fvoveq1 7380 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (abs‘(𝑏𝑌)) = (abs‘(𝑋𝑌)))
1211oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌))) = (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌))))
1310, 12breq12d 5118 . . . . 5 (𝑏 = 𝑋 → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌))) ↔ (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌)))))
1413imbi2d 340 . . . 4 (𝑏 = 𝑋 → ((𝜑 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌)))) ↔ (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌))))))
15 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑏))
16 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
1715, 16oveqan12d 7376 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))
1817fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
19 oveq12 7366 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → (𝑦𝑥) = (𝑏𝑎))
2019fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → (abs‘(𝑦𝑥)) = (abs‘(𝑏𝑎)))
2120oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) = (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))))
2218, 21breq12d 5118 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎)))))
2322ancoms 459 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎)))))
24 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑎))
25 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑏))
2624, 25oveqan12d 7376 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏)))
2726fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))))
28 oveq12 7366 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → (𝑦𝑥) = (𝑎𝑏))
2928fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → (abs‘(𝑦𝑥)) = (abs‘(𝑎𝑏)))
3029oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) = (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏))))
3127, 30breq12d 5118 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏)))))
3231ancoms 459 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑎) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏)))))
33 dvlip.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
34 dvlip.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
35 iccssre 13346 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
3633, 34, 35syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
37 dvlip.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
38 cncff 24256 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
40 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
41 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
4240, 41anim12dan 619 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹𝑎) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑏) ∈ ℂ))
4339, 42sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹𝑎) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑏) ∈ ℂ))
4443simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
4543simpld 495 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
4644, 45abssubd 15338 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))))
47 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
4836, 47sstrdi 3956 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
4948sselda 3944 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑏 ∈ ℂ)
5049adantrl 714 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑏 ∈ ℂ)
5148sselda 3944 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑎 ∈ ℂ)
5251adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑎 ∈ ℂ)
5350, 52abssubd 15338 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑏𝑎)) = (abs‘(𝑎𝑏)))
5453oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) = (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏))))
5546, 54breq12d 5118 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏)))))
5639adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
57 simpr2 1195 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5856, 57ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
59 simpr1 1194 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6056, 59ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
6158, 60subeq0ad 11522 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) = 0 ↔ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)))
6261biimpar 478 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) = 0)
6362abs00bd 15176 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = 0)
6436adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6564, 59sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
6665rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
6764, 57sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
6867rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
69 ioon0 13290 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
7066, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
71 dvlip.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7271ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 𝑀 ∈ ℝ)
7367, 65resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
7473adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
7533adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7675rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7734adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ)
78 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑎𝑎𝐵)))
7975, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑎𝑎𝐵)))
8059, 79mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑎𝑎𝐵))
8180simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐴𝑎)
82 iooss1 13299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑎) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝑏))
8376, 81, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝑏))
8477rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
85 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑏𝑏𝐵)))
8675, 77, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑏𝑏𝐵)))
8757, 86mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑏𝑏𝐵))
8887simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏𝐵)
89 iooss2 13300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑏𝐵) → (𝐴(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
9084, 88, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐴(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
9183, 90sstrd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
92 ssn0 4360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
9391, 92sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
94 n0 4306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
95 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
96 dvf 25271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
97 dvlip.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
9897feq2d 6654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
9996, 98mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
10099ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
101100abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
10271adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑀 ∈ ℝ)
103100absge0d 15329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
104 dvlip.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
10595, 101, 102, 103, 104letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝑀)
106105ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 𝑀))
107106exlimdv 1936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 𝑀))
108107imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝑀)
10994, 108sylan2b 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
110109adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
11193, 110syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
112 simpr3 1196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑏)
11367, 65subge0d 11745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (0 ≤ (𝑏𝑎) ↔ 𝑎𝑏))
114112, 113mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 0 ≤ (𝑏𝑎))
115114adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ (𝑏𝑎))
11672, 74, 111, 115mulge0d 11732 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
117116ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
11870, 117sylbird 259 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 < 𝑏 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
11967recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ ℂ)
12065recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ ℂ)
121119, 120subeq0ad 11522 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑏𝑎) = 0 ↔ 𝑏 = 𝑎))
122 equcom 2021 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑎𝑎 = 𝑏)
123121, 122bitrdi 286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑏𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
124 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
12571adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑀 ∈ ℝ)
126125recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑀 ∈ ℂ)
127126mul01d 11354 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑀 · 0) = 0)
128127eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 0 = (𝑀 · 0))
129 eqle 11257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 = (𝑀 · 0)) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
130124, 128, 129sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
131 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑎) = 0 → (𝑀 · (𝑏𝑎)) = (𝑀 · 0))
132131breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑎) = 0 → (0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)) ↔ 0 ≤ (𝑀 · 0)))
133130, 132syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑏𝑎) = 0 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
134123, 133sylbird 259 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 = 𝑏 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
13565, 67leloed 11298 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏)))
136112, 135mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏))
137118, 134, 136mpjaod 858 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
138137adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
13963, 138eqbrtrd 5127 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
14058, 60subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
141140adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
142141abscld 15321 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℝ)
143142recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
14473adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
145144recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑏𝑎) ∈ ℂ)
146136ord 862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (¬ 𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏))
147 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
148147eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎))
149146, 148syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (¬ 𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)))
150149necon1ad 2960 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎) → 𝑎 < 𝑏))
151150imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝑎 < 𝑏)
15265adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝑎 ∈ ℝ)
15367adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝑏 ∈ ℝ)
154152, 153posdifd 11742 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏𝑎)))
155151, 154mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 0 < (𝑏𝑎))
156155gt0ne0d 11719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑏𝑎) ≠ 0)
157143, 145, 156divrec2d 11935 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) / (𝑏𝑎)) = ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
158 iccss2 13335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
15959, 57, 158syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
160159adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
161160sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16239ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
163162ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
164161, 163syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
165140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
16661necon3bid 2988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)))
167166biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0)
168167adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0)
169164, 165, 168divcld 11931 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
170162, 160feqresmpt 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (𝐹𝑦)))
171 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
172 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
173164, 170, 171, 172fmptco 7075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
174 ref 14997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℜ:ℂ⟶ℝ
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
176175feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℜ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑥)))
177 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
178169, 173, 176, 177fmptco 7075 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ ∘ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
17937adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
180 rescncf 24260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ)))
181159, 179, 180sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
182181adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
183 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
184183divccncf 24269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
185141, 167, 184syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
186182, 185cncfco 24270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
187 recncf 24265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
188187a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
189186, 188cncfco 24270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ ∘ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℝ))
190178, 189eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℝ))
19147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℝ ⊆ ℂ)
192 iccssre 13346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ)
193152, 153, 192syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ)
194169recld 15079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
195194recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℂ)
196 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
197196tgioo2 24166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
198 iccntr 24184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
19965, 67, 198syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
200199adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
201191, 193, 195, 197, 196, 200dvmptntr 25335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))))
202 ioossicc 13350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎[,]𝑏)
203202sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏))
204203, 169sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
205 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ V)
206 reelprrecn 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
207206a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
208203, 164sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
20991adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
210209sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
21199ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
212211ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ)
213210, 212syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ)
21436ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
215 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ
216215a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ)
217196, 197dvres 25275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))))
218191, 162, 214, 216, 217syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))))
219 retop 24125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
220 iooretop 24129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))
221 isopn3i 22433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
222219, 220, 221mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏)) = (𝑎(,)𝑏)
223222reseq2i 5934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))
224218, 223eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)))
225202, 160sstrid 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
226162, 225feqresmpt 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹𝑦)))
227226oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹𝑦))))
22899adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
229228, 91fssresd 6709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)):(𝑎(,)𝑏)⟶ℂ)
230229feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)))
231230adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)))
232 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
233232mpteq2ia 5208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
234231, 233eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
235224, 227, 2343eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
236207, 208, 213, 235, 141, 167dvmptdivc 25329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
237204, 205, 236dvmptre 25333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
238201, 237eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
239238dmeqd 5861 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → dom (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
240 dmmptg 6194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V → dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑎(,)𝑏))
241 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V
242241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V)
243240, 242mprg 3070 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑎(,)𝑏)
244239, 243eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → dom (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = (𝑎(,)𝑏))
245152, 153, 151, 190, 244mvth 25356 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))
246238fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑥))
247 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
248247fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
249 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
250 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V
251248, 249, 250fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑥) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
252246, 251sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
253 ubicc2 13382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝑎𝑏) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
25466, 68, 112, 253syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
255254ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
25615fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑏 → (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
257 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
258 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V
259256, 257, 258fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) = (ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
260255, 259syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) = (ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
261 lbicc2 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝑎𝑏) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
26266, 68, 112, 261syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
263262ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
26424fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑎 → (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
265 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V
266264, 257, 265fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎) = (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
267263, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎) = (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
268260, 267oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) = ((ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
26958adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
270269, 141, 167divcld 11931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
27160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
272271, 141, 167divcld 11931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
273270, 272resubd 15101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = ((ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
274269, 271, 141, 167divsubdird 11970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = (((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
275141, 167dividd 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = 1)
276274, 275eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = 1)
277276fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (ℜ‘1))
278 re1 15039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℜ‘1) = 1
279277, 278eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = 1)
280273, 279eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = 1)
281280adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = 1)
282268, 281eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) = 1)
283282oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏𝑎)) = (1 / (𝑏𝑎)))
284252, 283eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏𝑎)) ↔ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎))))
285284rexbidva 3173 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏𝑎)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎))))
286245, 285mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)))
287209sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
288211ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
289287, 288syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
290140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
291167adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0)
292289, 290, 291divcld 11931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
293292recld 15079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
294142adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℝ)
295293, 294remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
296289abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
297125ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑀 ∈ ℝ)
298292abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
299141absge0d 15329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
300299adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
301292releabsd 15336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
302293, 298, 294, 300, 301lemul1ad 12094 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
303292, 290absmuld 15339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) · ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
304289, 290, 291divcan1d 11932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) · ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
305304fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) · ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
306303, 305eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
307302, 306breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
308104ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
309287, 308syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
310295, 296, 297, 307, 309letrd 11312 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀)
311 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
312311breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)) → (((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀))
313310, 312syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)) → ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀))
314313rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)) → ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀))
315286, 314mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀)
316157, 315eqbrtrd 5127 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) / (𝑏𝑎)) ≤ 𝑀)
31771ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝑀 ∈ ℝ)
318 ledivmul2 12034 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑏𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑏𝑎))) → (((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) / (𝑏𝑎)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
319142, 317, 144, 155, 318syl112anc 1374 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) / (𝑏𝑎)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
320316, 319mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
321139, 320pm2.61dane 3032 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
32265, 67, 112abssubge0d 15316 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (abs‘(𝑏𝑎)) = (𝑏𝑎))
323322oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) = (𝑀 · (𝑏𝑎)))
324321, 323breqtrrd 5133 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))))
32523, 32, 36, 55, 324wlogle 11688 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))))
326325expcom 414 . . . 4 ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎)))))
3278, 14, 326vtocl2ga 3535 . . 3 ((𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌)))))
328327ancoms 459 . 2 ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌)))))
329328impcom 408 1 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  cre 14982  abscabs 15119  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  Topctop 22242  intcnt 22368  cnccncf 24239   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  dvlipcn  25358  dvlip2  25359  dveq0  25364  dvfsumabs  25387  pige3ALT  25876  lgamgulmlem2  26379
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