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Theorem dvlip 24061
Description: A function with derivative bounded by 𝑀 is 𝑀-Lipschitz continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlip.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvlip.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvlip.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
dvlip.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvlip.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
dvlip.l ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
dvlip ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem dvlip
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6379 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑌 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑌))
21oveq2d 6862 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑌 → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) = ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌)))
32fveq2d 6383 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑌 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))))
4 oveq2 6854 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑌 → (𝑏𝑎) = (𝑏𝑌))
54fveq2d 6383 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑌 → (abs‘(𝑏𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑌)))
65oveq2d 6862 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑌 → (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) = (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌))))
73, 6breq12d 4824 . . . . 5 (𝑎 = 𝑌 → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌)))))
87imbi2d 331 . . . 4 (𝑎 = 𝑌 → ((𝜑 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎)))) ↔ (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌))))))
9 fveq2 6379 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑋))
109fvoveq1d 6868 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) = (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))))
11 fvoveq1 6869 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (abs‘(𝑏𝑌)) = (abs‘(𝑋𝑌)))
1211oveq2d 6862 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌))) = (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌))))
1310, 12breq12d 4824 . . . . 5 (𝑏 = 𝑋 → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌))) ↔ (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌)))))
1413imbi2d 331 . . . 4 (𝑏 = 𝑋 → ((𝜑 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌)))) ↔ (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌))))))
15 fveq2 6379 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑏))
16 fveq2 6379 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
1715, 16oveqan12d 6865 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))
1817fveq2d 6383 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
19 oveq12 6855 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → (𝑦𝑥) = (𝑏𝑎))
2019fveq2d 6383 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → (abs‘(𝑦𝑥)) = (abs‘(𝑏𝑎)))
2120oveq2d 6862 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) = (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))))
2218, 21breq12d 4824 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎)))))
2322ancoms 450 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎)))))
24 fveq2 6379 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑎))
25 fveq2 6379 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑏))
2624, 25oveqan12d 6865 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏)))
2726fveq2d 6383 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))))
28 oveq12 6855 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → (𝑦𝑥) = (𝑎𝑏))
2928fveq2d 6383 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → (abs‘(𝑦𝑥)) = (abs‘(𝑎𝑏)))
3029oveq2d 6862 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) = (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏))))
3127, 30breq12d 4824 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏)))))
3231ancoms 450 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑎) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏)))))
33 dvlip.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
34 dvlip.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
35 iccssre 12462 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
3633, 34, 35syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
37 dvlip.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
38 cncff 22989 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
40 ffvelrn 6551 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
41 ffvelrn 6551 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
4240, 41anim12dan 612 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹𝑎) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑏) ∈ ℂ))
4339, 42sylan 575 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹𝑎) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑏) ∈ ℂ))
4443simprd 489 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
4543simpld 488 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
4644, 45abssubd 14491 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))))
47 ax-resscn 10250 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
4836, 47syl6ss 3775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
4948sselda 3763 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑏 ∈ ℂ)
5049adantrl 707 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑏 ∈ ℂ)
5148sselda 3763 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑎 ∈ ℂ)
5251adantrr 708 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑎 ∈ ℂ)
5350, 52abssubd 14491 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑏𝑎)) = (abs‘(𝑎𝑏)))
5453oveq2d 6862 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) = (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏))))
5546, 54breq12d 4824 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏)))))
5639adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
57 simpr2 1250 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5856, 57ffvelrnd 6554 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
59 simpr1 1248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6056, 59ffvelrnd 6554 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
6158, 60subeq0ad 10660 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) = 0 ↔ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)))
6261biimpar 469 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) = 0)
6362abs00bd 14330 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = 0)
6436adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6564, 59sseldd 3764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
6665rexrd 10347 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
6764, 57sseldd 3764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
6867rexrd 10347 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
69 ioon0 12408 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
7066, 68, 69syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
71 dvlip.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7271ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 𝑀 ∈ ℝ)
7367, 65resubcld 10716 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
7473adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
7533adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7675rexrd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7734adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ)
78 elicc2 12445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑎𝑎𝐵)))
7975, 77, 78syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑎𝑎𝐵)))
8059, 79mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑎𝑎𝐵))
8180simp2d 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐴𝑎)
82 iooss1 12417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑎) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝑏))
8376, 81, 82syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝑏))
8477rexrd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
85 elicc2 12445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑏𝑏𝐵)))
8675, 77, 85syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑏𝑏𝐵)))
8757, 86mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑏𝑏𝐵))
8887simp3d 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏𝐵)
89 iooss2 12418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑏𝐵) → (𝐴(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
9084, 88, 89syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐴(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
9183, 90sstrd 3773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
92 ssn0 4140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
9391, 92sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
94 n0 4097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
95 0red 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
96 dvf 23976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
97 dvlip.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
9897feq2d 6211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
9996, 98mpbii 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
10099ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
101100abscld 14474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
10271adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑀 ∈ ℝ)
103100absge0d 14482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
104 dvlip.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
10595, 101, 102, 103, 104letrd 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝑀)
106105ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 𝑀))
107106exlimdv 2028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 𝑀))
108107imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝑀)
10994, 108sylan2b 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
110109adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
11193, 110syldan 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
112 simpr3 1252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑏)
11367, 65subge0d 10875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (0 ≤ (𝑏𝑎) ↔ 𝑎𝑏))
114112, 113mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 0 ≤ (𝑏𝑎))
115114adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ (𝑏𝑎))
11672, 74, 111, 115mulge0d 10862 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
117116ex 401 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
11870, 117sylbird 251 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 < 𝑏 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
11967recnd 10326 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ ℂ)
12065recnd 10326 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ ℂ)
121119, 120subeq0ad 10660 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑏𝑎) = 0 ↔ 𝑏 = 𝑎))
122 equcom 2115 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑎𝑎 = 𝑏)
123121, 122syl6bb 278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑏𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
124 0re 10299 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
12571adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑀 ∈ ℝ)
126125recnd 10326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑀 ∈ ℂ)
127126mul01d 10493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑀 · 0) = 0)
128127eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 0 = (𝑀 · 0))
129 eqle 10397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 = (𝑀 · 0)) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
130124, 128, 129sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
131 oveq2 6854 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑎) = 0 → (𝑀 · (𝑏𝑎)) = (𝑀 · 0))
132131breq2d 4823 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑎) = 0 → (0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)) ↔ 0 ≤ (𝑀 · 0)))
133130, 132syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑏𝑎) = 0 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
134123, 133sylbird 251 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 = 𝑏 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
13565, 67leloed 10438 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏)))
136112, 135mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏))
137118, 134, 136mpjaod 886 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
138137adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
13963, 138eqbrtrd 4833 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
14058, 60subcld 10650 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
141140adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
142141abscld 14474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℝ)
143142recnd 10326 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
14473adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
145144recnd 10326 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑏𝑎) ∈ ℂ)
146136ord 890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (¬ 𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏))
147 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
148147eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎))
149146, 148syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (¬ 𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)))
150149necon1ad 2954 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎) → 𝑎 < 𝑏))
151150imp 395 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝑎 < 𝑏)
15265adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝑎 ∈ ℝ)
15367adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝑏 ∈ ℝ)
154152, 153posdifd 10872 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏𝑎)))
155151, 154mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 0 < (𝑏𝑎))
156155gt0ne0d 10850 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑏𝑎) ≠ 0)
157143, 145, 156divrec2d 11063 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) / (𝑏𝑎)) = ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
158 iccss2 12451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
15959, 57, 158syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
160159adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
161160sselda 3763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16239ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
163162ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
164161, 163syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
165140ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
16661necon3bid 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)))
167166biimpar 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0)
168167adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0)
169164, 165, 168divcld 11059 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
170162, 160feqresmpt 6443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (𝐹𝑦)))
171 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
172 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
173164, 170, 171, 172fmptco 6591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
174 ref 14151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℜ:ℂ⟶ℝ
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
176175feqmptd 6442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℜ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑥)))
177 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
178169, 173, 176, 177fmptco 6591 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ ∘ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
17937adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
180 rescncf 22993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ)))
181159, 179, 180sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
182181adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
183 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
184183divccncf 23002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
185141, 167, 184syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
186182, 185cncfco 23003 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
187 recncf 22998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
188187a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
189186, 188cncfco 23003 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ ∘ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℝ))
190178, 189eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℝ))
19147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℝ ⊆ ℂ)
192 iccssre 12462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ)
193152, 153, 192syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ)
194169recld 14233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
195194recnd 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℂ)
196 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
197196tgioo2 22899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
198 iccntr 22917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
19965, 67, 198syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
200199adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
201191, 193, 195, 197, 196, 200dvmptntr 24039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))))
202 ioossicc 12466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎[,]𝑏)
203202sseli 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏))
204203, 169sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
205 ovexd 6880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ V)
206 reelprrecn 10285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
207206a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
208203, 164sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
20991adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
210209sselda 3763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
21199ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
212211ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ)
213210, 212syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ)
21436ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
215 ioossre 12442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ
216215a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ)
217196, 197dvres 23980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))))
218191, 162, 214, 216, 217syl22anc 867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))))
219 retop 22858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
220 iooretop 22862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))
221 isopn3i 21180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
222219, 220, 221mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏)) = (𝑎(,)𝑏)
223222reseq2i 5564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))
224218, 223syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)))
225202, 160syl5ss 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
226162, 225feqresmpt 6443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹𝑦)))
227226oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹𝑦))))
22899adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
229228, 91fssresd 6255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)):(𝑎(,)𝑏)⟶ℂ)
230229feqmptd 6442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)))
231230adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)))
232 fvres 6398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
233232mpteq2ia 4901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
234231, 233syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
235224, 227, 2343eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
236207, 208, 213, 235, 141, 167dvmptdivc 24033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
237204, 205, 236dvmptre 24037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
238201, 237eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
239238dmeqd 5496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → dom (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
240 dmmptg 5820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V → dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑎(,)𝑏))
241 fvex 6392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V
242241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V)
243240, 242mprg 3073 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑎(,)𝑏)
244239, 243syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → dom (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = (𝑎(,)𝑏))
245152, 153, 151, 190, 244mvth 24060 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))
246238fveq1d 6381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑥))
247 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
248247fvoveq1d 6868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
249 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
250 fvex 6392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V
251248, 249, 250fvmpt 6475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑥) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
252246, 251sylan9eq 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
253 ubicc2 12498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝑎𝑏) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
25466, 68, 112, 253syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
255254ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
25615fvoveq1d 6868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑏 → (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
257 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
258 fvex 6392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V
259256, 257, 258fvmpt 6475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) = (ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
260255, 259syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) = (ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
261 lbicc2 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝑎𝑏) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
26266, 68, 112, 261syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
263262ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
26424fvoveq1d 6868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑎 → (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
265 fvex 6392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V
266264, 257, 265fvmpt 6475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎) = (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
267263, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎) = (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
268260, 267oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) = ((ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
26958adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
270269, 141, 167divcld 11059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
27160adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
272271, 141, 167divcld 11059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
273270, 272resubd 14255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = ((ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
274269, 271, 141, 167divsubdird 11098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = (((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
275141, 167dividd 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = 1)
276274, 275eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = 1)
277276fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (ℜ‘1))
278 re1 14193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℜ‘1) = 1
279277, 278syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = 1)
280273, 279eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = 1)
281280adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = 1)
282268, 281eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) = 1)
283282oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏𝑎)) = (1 / (𝑏𝑎)))
284252, 283eqeq12d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏𝑎)) ↔ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎))))
285284rexbidva 3196 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏𝑎)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎))))
286245, 285mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)))
287209sselda 3763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
288211ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
289287, 288syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
290140ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
291167adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0)
292289, 290, 291divcld 11059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
293292recld 14233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
294142adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℝ)
295293, 294remulcld 10328 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
296289abscld 14474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
297125ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑀 ∈ ℝ)
298292abscld 14474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
299141absge0d 14482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
300299adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
301292releabsd 14489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
302293, 298, 294, 300, 301lemul1ad 11221 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
303292, 290absmuld 14492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) · ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
304289, 290, 291divcan1d 11060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) · ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
305304fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) · ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
306303, 305eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
307302, 306breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
308104adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
309308adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
310287, 309syldan 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
311295, 296, 297, 307, 310letrd 10452 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀)
312 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
313312breq1d 4821 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)) → (((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀))
314311, 313syl5ibcom 236 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)) → ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀))
315314rexlimdva 3178 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)) → ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀))
316286, 315mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀)
317157, 316eqbrtrd 4833 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) / (𝑏𝑎)) ≤ 𝑀)
31871ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝑀 ∈ ℝ)
319 ledivmul2 11160 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑏𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑏𝑎))) → (((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) / (𝑏𝑎)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
320142, 318, 144, 155, 319syl112anc 1493 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) / (𝑏𝑎)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
321317, 320mpbid 223 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
322139, 321pm2.61dane 3024 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
32365, 67, 112abssubge0d 14469 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (abs‘(𝑏𝑎)) = (𝑏𝑎))
324323oveq2d 6862 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) = (𝑀 · (𝑏𝑎)))
325322, 324breqtrrd 4839 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))))
32623, 32, 36, 55, 325wlogle 10819 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))))
327326expcom 402 . . . 4 ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎)))))
3288, 14, 327vtocl2ga 3427 . . 3 ((𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌)))))
329328ancoms 450 . 2 ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌)))))
330329impcom 396 1 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  Vcvv 3350  wss 3734  c0 4081  {cpr 4338   class class class wbr 4811  cmpt 4890  dom cdm 5279  ran crn 5280  cres 5281  ccom 5283  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  cc 10191  cr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   · cmul 10198  *cxr 10331   < clt 10332  cle 10333  cmin 10524   / cdiv 10942  (,)cioo 12382  [,]cicc 12385  cre 14136  abscabs 14273  TopOpenctopn 16362  topGenctg 16378  fldccnfld 20033  Topctop 20991  intcnt 21115  cnccncf 22972   D cdv 23932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12386  df-ico 12388  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-seq 13014  df-exp 13073  df-hash 13327  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-starv 16243  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-ip 16246  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-unif 16251  df-hom 16252  df-cco 16253  df-rest 16363  df-topn 16364  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-topgen 16384  df-pt 16385  df-prds 16388  df-xrs 16442  df-qtop 16447  df-imas 16448  df-xps 16450  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-submnd 17616  df-mulg 17822  df-cntz 18027  df-cmn 18475  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-fbas 20030  df-fg 20031  df-cnfld 20034  df-top 20992  df-topon 21009  df-topsp 21031  df-bases 21044  df-cld 21117  df-ntr 21118  df-cls 21119  df-nei 21196  df-lp 21234  df-perf 21235  df-cn 21325  df-cnp 21326  df-haus 21413  df-cmp 21484  df-tx 21659  df-hmeo 21852  df-fil 21943  df-fm 22035  df-flim 22036  df-flf 22037  df-xms 22418  df-ms 22419  df-tms 22420  df-cncf 22974  df-limc 23935  df-dv 23936
This theorem is referenced by:  dvlipcn  24062  dvlip2  24063  dveq0  24068  dvfsumabs  24091  pige3  24575  lgamgulmlem2  25061
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