Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfacbasgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfacbasgrp 39570
Description: A choice equivalent in abstract algebra: All nonempty sets admit a group structure. From http://mathoverflow.net/a/12988. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfacbasgrp (CHOICE ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))

Proof of Theorem dfacbasgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac10 9555 . 2 (CHOICE ↔ dom card = V)
2 basfn 16495 . . . . . . . . . 10 Base Fn V
3 ssv 3994 . . . . . . . . . 10 Grp ⊆ V
4 fvelimab 6733 . . . . . . . . . 10 ((Base Fn V ∧ Grp ⊆ V) → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ ∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥))
52, 3, 4mp2an 688 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ ∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥)
6 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
76grpbn0 18064 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Grp → (Base‘𝑦) ≠ ∅)
8 neeq1 3082 . . . . . . . . . . 11 ((Base‘𝑦) = 𝑥 → ((Base‘𝑦) ≠ ∅ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
97, 8syl5ibcom 246 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Grp → ((Base‘𝑦) = 𝑥𝑥 ≠ ∅))
109rexlimiv 3284 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥𝑥 ≠ ∅)
115, 10sylbi 218 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (Base “ Grp) → 𝑥 ≠ ∅)
1211adantl 482 . . . . . . 7 ((dom card = V ∧ 𝑥 ∈ (Base “ Grp)) → 𝑥 ≠ ∅)
13 vex 3502 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
1412, 13jctil 520 . . . . . 6 ((dom card = V ∧ 𝑥 ∈ (Base “ Grp)) → (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅))
15 ablgrp 18833 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ Abel → 𝑥 ∈ Grp)
1615ssriv 3974 . . . . . . . 8 Abel ⊆ Grp
17 imass2 5962 . . . . . . . 8 (Abel ⊆ Grp → (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp)
19 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ V)
20 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → dom card = V)
2119, 20eleqtrrd 2920 . . . . . . . 8 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ dom card)
22 simprr 769 . . . . . . . 8 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ≠ ∅)
23 isnumbasgrplem3 39567 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ dom card ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (Base “ Abel))
2421, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . 7 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Base “ Abel))
2518, 24sseldi 3968 . . . . . 6 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Base “ Grp))
2614, 25impbida 797 . . . . 5 (dom card = V → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)))
27 eldifsn 4717 . . . . 5 (𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅))
2826, 27syl6bbr 290 . . . 4 (dom card = V → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ 𝑥 ∈ (V ∖ {∅})))
2928eqrdv 2822 . . 3 (dom card = V → (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
30 fvex 6679 . . . . . . . . . 10 (har‘𝑥) ∈ V
3113, 30unex 7461 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ V
32 ssun2 4152 . . . . . . . . . 10 (har‘𝑥) ⊆ (𝑥 ∪ (har‘𝑥))
33 harn0 39564 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ V → (har‘𝑥) ≠ ∅)
3413, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (har‘𝑥) ≠ ∅
35 ssn0 4357 . . . . . . . . . 10 (((har‘𝑥) ⊆ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∧ (har‘𝑥) ≠ ∅) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅)
3632, 34, 35mp2an 688 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅
37 eldifsn 4717 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅}) ↔ ((𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ V ∧ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅))
3831, 36, 37mpbir2an 707 . . . . . . . 8 (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅})
3938a1i 11 . . . . . . 7 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅}))
40 id 22 . . . . . . 7 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
4139, 40eleqtrrd 2920 . . . . . 6 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (Base “ Grp))
42 isnumbasgrp 39569 . . . . . 6 (𝑥 ∈ dom card ↔ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (Base “ Grp))
4341, 42sylibr 235 . . . . 5 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ dom card)
4413a1i 11 . . . . 5 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ V)
4543, 442thd 266 . . . 4 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∈ dom card ↔ 𝑥 ∈ V))
4645eqrdv 2822 . . 3 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → dom card = V)
4729, 46impbii 210 . 2 (dom card = V ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
481, 47bitri 276 1 (CHOICE ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2106  wne 3020  wrex 3143  Vcvv 3499  cdif 3936  cun 3937  wss 3939  c0 4294  {csn 4563  dom cdm 5553  cima 5556   Fn wfn 6346  cfv 6351  harchar 9012  cardccrd 9356  CHOICEwac 9533  Basecbs 16475  Grpcgrp 18035  Abelcabl 18829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-seqom 8078  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8282  df-ec 8284  df-qs 8288  df-map 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-har 9014  df-wdom 9015  df-dju 9322  df-card 9360  df-acn 9363  df-ac 9534  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-hash 13684  df-dvds 15600  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-prds 16713  df-pws 16715  df-imas 16773  df-qus 16774  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17946  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-mulg 18157  df-subg 18208  df-nsg 18209  df-eqg 18210  df-ghm 18288  df-gim 18331  df-gic 18332  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-cring 19222  df-oppr 19295  df-dvdsr 19313  df-rnghom 19389  df-subrg 19455  df-lmod 19558  df-lss 19626  df-lsp 19666  df-sra 19866  df-rgmod 19867  df-lidl 19868  df-rsp 19869  df-2idl 19926  df-cnfld 20462  df-zring 20534  df-zrh 20567  df-zn 20570  df-dsmm 20792  df-frlm 20807
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator