Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfacbasgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfacbasgrp 40933
Description: A choice equivalent in abstract algebra: All nonempty sets admit a group structure. From http://mathoverflow.net/a/12988. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfacbasgrp (CHOICE ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))

Proof of Theorem dfacbasgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac10 9893 . 2 (CHOICE ↔ dom card = V)
2 basfn 16916 . . . . . . . . . 10 Base Fn V
3 ssv 3945 . . . . . . . . . 10 Grp ⊆ V
4 fvelimab 6841 . . . . . . . . . 10 ((Base Fn V ∧ Grp ⊆ V) → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ ∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥))
52, 3, 4mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ ∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥)
6 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
76grpbn0 18608 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Grp → (Base‘𝑦) ≠ ∅)
8 neeq1 3006 . . . . . . . . . . 11 ((Base‘𝑦) = 𝑥 → ((Base‘𝑦) ≠ ∅ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
97, 8syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Grp → ((Base‘𝑦) = 𝑥𝑥 ≠ ∅))
109rexlimiv 3209 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥𝑥 ≠ ∅)
115, 10sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (Base “ Grp) → 𝑥 ≠ ∅)
1211adantl 482 . . . . . . 7 ((dom card = V ∧ 𝑥 ∈ (Base “ Grp)) → 𝑥 ≠ ∅)
13 vex 3436 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
1412, 13jctil 520 . . . . . 6 ((dom card = V ∧ 𝑥 ∈ (Base “ Grp)) → (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅))
15 ablgrp 19391 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ Abel → 𝑥 ∈ Grp)
1615ssriv 3925 . . . . . . . 8 Abel ⊆ Grp
17 imass2 6010 . . . . . . . 8 (Abel ⊆ Grp → (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp)
19 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ V)
20 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → dom card = V)
2119, 20eleqtrrd 2842 . . . . . . . 8 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ dom card)
22 simprr 770 . . . . . . . 8 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ≠ ∅)
23 isnumbasgrplem3 40930 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ dom card ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (Base “ Abel))
2421, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . 7 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Base “ Abel))
2518, 24sselid 3919 . . . . . 6 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Base “ Grp))
2614, 25impbida 798 . . . . 5 (dom card = V → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)))
27 eldifsn 4720 . . . . 5 (𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅))
2826, 27bitr4di 289 . . . 4 (dom card = V → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ 𝑥 ∈ (V ∖ {∅})))
2928eqrdv 2736 . . 3 (dom card = V → (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
30 fvex 6787 . . . . . . . . . 10 (har‘𝑥) ∈ V
3113, 30unex 7596 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ V
32 ssun2 4107 . . . . . . . . . 10 (har‘𝑥) ⊆ (𝑥 ∪ (har‘𝑥))
33 harn0 40927 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ V → (har‘𝑥) ≠ ∅)
3413, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (har‘𝑥) ≠ ∅
35 ssn0 4334 . . . . . . . . . 10 (((har‘𝑥) ⊆ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∧ (har‘𝑥) ≠ ∅) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅)
3632, 34, 35mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅
37 eldifsn 4720 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅}) ↔ ((𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ V ∧ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅))
3831, 36, 37mpbir2an 708 . . . . . . . 8 (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅})
3938a1i 11 . . . . . . 7 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅}))
40 id 22 . . . . . . 7 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
4139, 40eleqtrrd 2842 . . . . . 6 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (Base “ Grp))
42 isnumbasgrp 40932 . . . . . 6 (𝑥 ∈ dom card ↔ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (Base “ Grp))
4341, 42sylibr 233 . . . . 5 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ dom card)
4413a1i 11 . . . . 5 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ V)
4543, 442thd 264 . . . 4 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∈ dom card ↔ 𝑥 ∈ V))
4645eqrdv 2736 . . 3 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → dom card = V)
4729, 46impbii 208 . 2 (dom card = V ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
481, 47bitri 274 1 (CHOICE ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  Vcvv 3432  cdif 3884  cun 3885  wss 3887  c0 4256  {csn 4561  dom cdm 5589  cima 5592   Fn wfn 6428  cfv 6433  harchar 9315  cardccrd 9693  CHOICEwac 9871  Basecbs 16912  Grpcgrp 18577  Abelcabl 19387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-seqom 8279  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-har 9316  df-wdom 9324  df-dju 9659  df-card 9697  df-acn 9700  df-ac 9872  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-hash 14045  df-dvds 15964  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-imas 17219  df-qus 17220  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-nsg 18753  df-eqg 18754  df-ghm 18832  df-gim 18875  df-gic 18876  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-rnghom 19959  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-lidl 20436  df-rsp 20437  df-2idl 20503  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-zrh 20705  df-zn 20708  df-dsmm 20939  df-frlm 20954
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator