Theorem dfacbasgrp 43553

Description: A choice equivalent in abstract algebra: All nonempty sets admit a group structure. From http://mathoverflow.net/a/12988. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfacbasgrp	⊢ (CHOICE ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))

Proof of Theorem dfacbasgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac10 10051	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
2		basfn 17174	. . . . . . . . . 10 ⊢ Base Fn V
3		ssv 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ Grp ⊆ V
4		fvelimab 6899	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base Fn V ∧ Grp ⊆ V) → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ ∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥))
5	2, 3, 4	mp2an 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ ∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥)
6		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
7	6	grpbn0 18933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Grp → (Base‘𝑦) ≠ ∅)
8		neeq1 2996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Base‘𝑦) = 𝑥 → ((Base‘𝑦) ≠ ∅ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
9	7, 8	syl5ibcom 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Grp → ((Base‘𝑦) = 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅))
10	9	rexlimiv 3133	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅)
11	5, 10	sylbi 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base “ Grp) → 𝑥 ≠ ∅)
12	11	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((dom card = V ∧ 𝑥 ∈ (Base “ Grp)) → 𝑥 ≠ ∅)
13		vex 3435	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
14	12, 13	jctil 524	. . . . . 6 ⊢ ((dom card = V ∧ 𝑥 ∈ (Base “ Grp)) → (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅))
15		ablgrp 19751	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Abel → 𝑥 ∈ Grp)
16	15	ssriv 3919	. . . . . . . 8 ⊢ Abel ⊆ Grp
17		imass2 6054	. . . . . . . 8 ⊢ (Abel ⊆ Grp → (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp)
19		simprl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ V)
20		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → dom card = V)
21	19, 20	eleqtrrd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ dom card)
22		simprr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ≠ ∅)
23		isnumbasgrplem3 43550	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ dom card ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (Base “ Abel))
24	21, 22, 23	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Base “ Abel))
25	18, 24	sselid 3913	. . . . . 6 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Base “ Grp))
26	14, 25	impbida 806	. . . . 5 ⊢ (dom card = V → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)))
27		eldifsn 4719	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅))
28	26, 27	bitr4di 290	. . . 4 ⊢ (dom card = V → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ 𝑥 ∈ (V ∖ {∅})))
29	28	eqrdv 2737	. . 3 ⊢ (dom card = V → (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
30		fvex 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (har‘𝑥) ∈ V
31	13, 30	unex 7687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ V
32		ssun2 4108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (har‘𝑥) ⊆ (𝑥 ∪ (har‘𝑥))
33		harn0 43547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ V → (har‘𝑥) ≠ ∅)
34	13, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (har‘𝑥) ≠ ∅
35		ssn0 4332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((har‘𝑥) ⊆ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∧ (har‘𝑥) ≠ ∅) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅)
36	32, 34, 35	mp2an 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅
37		eldifsn 4719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅}) ↔ ((𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ V ∧ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅))
38	31, 36, 37	mpbir2an 717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅})
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅}))
40		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
41	39, 40	eleqtrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (Base “ Grp))
42		isnumbasgrp 43552	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom card ↔ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (Base “ Grp))
43	41, 42	sylibr 235	. . . . 5 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ dom card)
44	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ V)
45	43, 44	2thd 266	. . . 4 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∈ dom card ↔ 𝑥 ∈ V))
46	45	eqrdv 2737	. . 3 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → dom card = V)
47	29, 46	impbii 210	. 2 ⊢ (dom card = V ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
48	1, 47	bitri 276	1 ⊢ (CHOICE ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  {csn 4555  dom cdm 5618   “ cima 5621   Fn wfn 6480  ‘cfv 6485  harchar 9461  cardccrd 9850  CHOICEwac 10028  Basecbs 17170  Grpcgrp 18900  Abelcabl 19747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-seqom 8377  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-har 9462  df-wdom 9470  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-hash 14284  df-dvds 16213  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-prds 17401  df-pws 17403  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-nsg 19091  df-eqg 19092  df-ghm 19179  df-gim 19225  df-gic 19226  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-rhm 20443  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-lidl 21201  df-rsp 21202  df-2idl 21243  df-cnfld 21348  df-zring 21422  df-zrh 21478  df-zn 21481  df-dsmm 21707  df-frlm 21722

This theorem is referenced by: (None)