Theorem dfacbasgrp 43084

Description: A choice equivalent in abstract algebra: All nonempty sets admit a group structure. From http://mathoverflow.net/a/12988. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfacbasgrp	⊢ (CHOICE ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))

Proof of Theorem dfacbasgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac10 10051	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
2		basfn 17142	. . . . . . . . . 10 ⊢ Base Fn V
3		ssv 3962	. . . . . . . . . 10 ⊢ Grp ⊆ V
4		fvelimab 6899	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base Fn V ∧ Grp ⊆ V) → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ ∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥))
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ ∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥)
6		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
7	6	grpbn0 18863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Grp → (Base‘𝑦) ≠ ∅)
8		neeq1 2987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Base‘𝑦) = 𝑥 → ((Base‘𝑦) ≠ ∅ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
9	7, 8	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Grp → ((Base‘𝑦) = 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅))
10	9	rexlimiv 3123	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅)
11	5, 10	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base “ Grp) → 𝑥 ≠ ∅)
12	11	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((dom card = V ∧ 𝑥 ∈ (Base “ Grp)) → 𝑥 ≠ ∅)
13		vex 3442	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
14	12, 13	jctil 519	. . . . . 6 ⊢ ((dom card = V ∧ 𝑥 ∈ (Base “ Grp)) → (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅))
15		ablgrp 19682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Abel → 𝑥 ∈ Grp)
16	15	ssriv 3941	. . . . . . . 8 ⊢ Abel ⊆ Grp
17		imass2 6057	. . . . . . . 8 ⊢ (Abel ⊆ Grp → (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp)
19		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ V)
20		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → dom card = V)
21	19, 20	eleqtrrd 2831	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ dom card)
22		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ≠ ∅)
23		isnumbasgrplem3 43081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ dom card ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (Base “ Abel))
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Base “ Abel))
25	18, 24	sselid 3935	. . . . . 6 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Base “ Grp))
26	14, 25	impbida 800	. . . . 5 ⊢ (dom card = V → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)))
27		eldifsn 4740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅))
28	26, 27	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (dom card = V → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ 𝑥 ∈ (V ∖ {∅})))
29	28	eqrdv 2727	. . 3 ⊢ (dom card = V → (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
30		fvex 6839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (har‘𝑥) ∈ V
31	13, 30	unex 7684	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ V
32		ssun2 4132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (har‘𝑥) ⊆ (𝑥 ∪ (har‘𝑥))
33		harn0 43078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ V → (har‘𝑥) ≠ ∅)
34	13, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (har‘𝑥) ≠ ∅
35		ssn0 4357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((har‘𝑥) ⊆ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∧ (har‘𝑥) ≠ ∅) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅)
36	32, 34, 35	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅
37		eldifsn 4740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅}) ↔ ((𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ V ∧ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅))
38	31, 36, 37	mpbir2an 711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅})
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅}))
40		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
41	39, 40	eleqtrrd 2831	. . . . . 6 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (Base “ Grp))
42		isnumbasgrp 43083	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom card ↔ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (Base “ Grp))
43	41, 42	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ dom card)
44	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ V)
45	43, 44	2thd 265	. . . 4 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∈ dom card ↔ 𝑥 ∈ V))
46	45	eqrdv 2727	. . 3 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → dom card = V)
47	29, 46	impbii 209	. 2 ⊢ (dom card = V ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
48	1, 47	bitri 275	1 ⊢ (CHOICE ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  Vcvv 3438   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4579  dom cdm 5623   “ cima 5626   Fn wfn 6481  ‘cfv 6486  harchar 9467  cardccrd 9850  CHOICEwac 10028  Basecbs 17138  Grpcgrp 18830  Abelcabl 19678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-seqom 8377  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-ec 8634  df-qs 8638  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-har 9468  df-wdom 9476  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-hash 14256  df-dvds 16182  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-prds 17369  df-pws 17371  df-imas 17430  df-qus 17431  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-nsg 19021  df-eqg 19022  df-ghm 19110  df-gim 19156  df-gic 19157  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-rhm 20375  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-lidl 21133  df-rsp 21134  df-2idl 21175  df-cnfld 21280  df-zring 21372  df-zrh 21428  df-zn 21431  df-dsmm 21657  df-frlm 21672

This theorem is referenced by: (None)