Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfacbasgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfacbasgrp 42433
Description: A choice equivalent in abstract algebra: All nonempty sets admit a group structure. From http://mathoverflow.net/a/12988. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfacbasgrp (CHOICE ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))

Proof of Theorem dfacbasgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac10 10134 . 2 (CHOICE ↔ dom card = V)
2 basfn 17157 . . . . . . . . . 10 Base Fn V
3 ssv 4001 . . . . . . . . . 10 Grp ⊆ V
4 fvelimab 6958 . . . . . . . . . 10 ((Base Fn V ∧ Grp ⊆ V) → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ ∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥))
52, 3, 4mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ ∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥)
6 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
76grpbn0 18896 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Grp → (Base‘𝑦) ≠ ∅)
8 neeq1 2997 . . . . . . . . . . 11 ((Base‘𝑦) = 𝑥 → ((Base‘𝑦) ≠ ∅ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
97, 8syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Grp → ((Base‘𝑦) = 𝑥𝑥 ≠ ∅))
109rexlimiv 3142 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥𝑥 ≠ ∅)
115, 10sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (Base “ Grp) → 𝑥 ≠ ∅)
1211adantl 481 . . . . . . 7 ((dom card = V ∧ 𝑥 ∈ (Base “ Grp)) → 𝑥 ≠ ∅)
13 vex 3472 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
1412, 13jctil 519 . . . . . 6 ((dom card = V ∧ 𝑥 ∈ (Base “ Grp)) → (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅))
15 ablgrp 19705 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ Abel → 𝑥 ∈ Grp)
1615ssriv 3981 . . . . . . . 8 Abel ⊆ Grp
17 imass2 6095 . . . . . . . 8 (Abel ⊆ Grp → (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp)
19 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ V)
20 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → dom card = V)
2119, 20eleqtrrd 2830 . . . . . . . 8 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ dom card)
22 simprr 770 . . . . . . . 8 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ≠ ∅)
23 isnumbasgrplem3 42430 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ dom card ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (Base “ Abel))
2421, 22, 23syl2anc 583 . . . . . . 7 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Base “ Abel))
2518, 24sselid 3975 . . . . . 6 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Base “ Grp))
2614, 25impbida 798 . . . . 5 (dom card = V → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)))
27 eldifsn 4785 . . . . 5 (𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅))
2826, 27bitr4di 289 . . . 4 (dom card = V → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ 𝑥 ∈ (V ∖ {∅})))
2928eqrdv 2724 . . 3 (dom card = V → (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
30 fvex 6898 . . . . . . . . . 10 (har‘𝑥) ∈ V
3113, 30unex 7730 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ V
32 ssun2 4168 . . . . . . . . . 10 (har‘𝑥) ⊆ (𝑥 ∪ (har‘𝑥))
33 harn0 42427 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ V → (har‘𝑥) ≠ ∅)
3413, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (har‘𝑥) ≠ ∅
35 ssn0 4395 . . . . . . . . . 10 (((har‘𝑥) ⊆ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∧ (har‘𝑥) ≠ ∅) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅)
3632, 34, 35mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅
37 eldifsn 4785 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅}) ↔ ((𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ V ∧ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅))
3831, 36, 37mpbir2an 708 . . . . . . . 8 (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅})
3938a1i 11 . . . . . . 7 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅}))
40 id 22 . . . . . . 7 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
4139, 40eleqtrrd 2830 . . . . . 6 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (Base “ Grp))
42 isnumbasgrp 42432 . . . . . 6 (𝑥 ∈ dom card ↔ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (Base “ Grp))
4341, 42sylibr 233 . . . . 5 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ dom card)
4413a1i 11 . . . . 5 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ V)
4543, 442thd 265 . . . 4 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∈ dom card ↔ 𝑥 ∈ V))
4645eqrdv 2724 . . 3 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → dom card = V)
4729, 46impbii 208 . 2 (dom card = V ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
481, 47bitri 275 1 (CHOICE ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wrex 3064  Vcvv 3468  cdif 3940  cun 3941  wss 3943  c0 4317  {csn 4623  dom cdm 5669  cima 5672   Fn wfn 6532  cfv 6537  harchar 9553  cardccrd 9932  CHOICEwac 10112  Basecbs 17153  Grpcgrp 18863  Abelcabl 19701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-seqom 8449  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-har 9554  df-wdom 9562  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-hash 14296  df-dvds 16205  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-pws 17404  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-gic 19185  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-2idl 21107  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-zn 21393  df-dsmm 21627  df-frlm 21642
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator