Theorem dfacbasgrp 43720

Description: A choice equivalent in abstract algebra: All nonempty sets admit a group structure. From http://mathoverflow.net/a/12988. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfacbasgrp	⊢ (CHOICE ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))

Proof of Theorem dfacbasgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac10 10117	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
2		basfn 17269	. . . . . . . . . 10 ⊢ Base Fn V
3		ssv 3969	. . . . . . . . . 10 ⊢ Grp ⊆ V
4		fvelimab 6951	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base Fn V ∧ Grp ⊆ V) → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ ∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥))
5	2, 3, 4	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ ∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥)
6		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
7	6	grpbn0 19029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Grp → (Base‘𝑦) ≠ ∅)
8		neeq1 3026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Base‘𝑦) = 𝑥 → ((Base‘𝑦) ≠ ∅ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
9	7, 8	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Grp → ((Base‘𝑦) = 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅))
10	9	rexlimiv 3165	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅)
11	5, 10	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base “ Grp) → 𝑥 ≠ ∅)
12	11	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((dom card = V ∧ 𝑥 ∈ (Base “ Grp)) → 𝑥 ≠ ∅)
13		vex 3467	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
14	12, 13	jctil 528	. . . . . 6 ⊢ ((dom card = V ∧ 𝑥 ∈ (Base “ Grp)) → (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅))
15		ablgrp 19851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Abel → 𝑥 ∈ Grp)
16	15	ssriv 3949	. . . . . . . 8 ⊢ Abel ⊆ Grp
17		imass2 6102	. . . . . . . 8 ⊢ (Abel ⊆ Grp → (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp)
19		simprl 782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ V)
20		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → dom card = V)
21	19, 20	eleqtrrd 2872	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ dom card)
22		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ≠ ∅)
23		isnumbasgrplem3 43717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ dom card ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (Base “ Abel))
24	21, 22, 23	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Base “ Abel))
25	18, 24	sselid 3943	. . . . . 6 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Base “ Grp))
26	14, 25	impbida 812	. . . . 5 ⊢ (dom card = V → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)))
27		eldifsn 4755	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅))
28	26, 27	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (dom card = V → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ 𝑥 ∈ (V ∖ {∅})))
29	28	eqrdv 2767	. . 3 ⊢ (dom card = V → (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
30		fvex 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (har‘𝑥) ∈ V
31	13, 30	unex 7739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ V
32		ssun2 4140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (har‘𝑥) ⊆ (𝑥 ∪ (har‘𝑥))
33		harn0 43714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ V → (har‘𝑥) ≠ ∅)
34	13, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (har‘𝑥) ≠ ∅
35		ssn0 4367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((har‘𝑥) ⊆ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∧ (har‘𝑥) ≠ ∅) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅)
36	32, 34, 35	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅
37		eldifsn 4755	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅}) ↔ ((𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ V ∧ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅))
38	31, 36, 37	mpbir2an 723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅})
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅}))
40		id 23	. . . . . . 7 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
41	39, 40	eleqtrrd 2872	. . . . . 6 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (Base “ Grp))
42		isnumbasgrp 43719	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom card ↔ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (Base “ Grp))
43	41, 42	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ dom card)
44	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ V)
45	43, 44	2thd 268	. . . 4 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∈ dom card ↔ 𝑥 ∈ V))
46	45	eqrdv 2767	. . 3 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → dom card = V)
47	29, 46	impbii 212	. 2 ⊢ (dom card = V ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
48	1, 47	bitri 278	1 ⊢ (CHOICE ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {csn 4591  dom cdm 5659   “ cima 5662   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  harchar 9514  cardccrd 9917  CHOICEwac 10095  Basecbs 17265  Grpcgrp 18996  Abelcabl 19847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175  ax-mulf 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-seqom 8431  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-har 9515  df-wdom 9523  df-dju 9883  df-card 9921  df-acn 9924  df-ac 10096  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-hash 14363  df-dvds 16307  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-prds 17496  df-pws 17498  df-imas 17558  df-qus 17559  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-nsg 19186  df-eqg 19187  df-ghm 19280  df-gim 19325  df-gic 19326  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-rhm 20550  df-subrng 20627  df-subrg 20651  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-sra 21268  df-rgmod 21269  df-lidl 21306  df-rsp 21307  df-2idl 21356  df-cnfld 21488  df-zring 21562  df-zrh 21618  df-zn 21621  df-dsmm 21847  df-frlm 21862

This theorem is referenced by: (None)