Theorem reperflem 24707

Description: A subset of the real numbers that is closed under addition with real numbers is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
reperflem.2	⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
reperflem.3	⊢ 𝑆 ⊆ ℂ

Assertion

Ref	Expression
reperflem	⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Perf

Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑣,𝑢,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑣)

Proof of Theorem reperflem

Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnxmet 24660	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2		reperflem.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
3	2	sseli 3942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ ℂ)
4		recld2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopn 24669	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6	5	neibl 24389	. . . . . . 7 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛)))
7	1, 3, 6	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛)))
8		ssrin 4205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛 → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})))
9		reperflem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
10	9	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → ∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
11		rpre 12960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
12	11	rehalfcld 12429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
13		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = (𝑟 / 2) → (𝑢 + 𝑣) = (𝑢 + (𝑟 / 2)))
14	13	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = (𝑟 / 2) → ((𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆))
15	14	rspccva 3587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
16	10, 12, 15	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
17	2, 16	sselid 3944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ)
18	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑢 ∈ ℂ)
19		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
20	19	cnmetdval 24658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢)))
21	17, 18, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢)))
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
23	22	rphalfcld 13007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
24	23	rpcnd 12997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
25	18, 24	pncan2d 11535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢) = (𝑟 / 2))
26	25	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
27	23	rpred 12995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
28	23	rpge0d 12999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑟 / 2))
29	27, 28	absidd 15389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
30	21, 26, 29	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) = (𝑟 / 2))
31		rphalflt 12982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
33	30, 32	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) < 𝑟)
34	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
35		rpxr 12961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
37		elbl3 24280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ)) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) < 𝑟))
38	34, 36, 18, 17, 37	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) < 𝑟))
39	33, 38	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
40	23	rpne0d 13000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ≠ 0)
41	25, 40	eqnetrd 2992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢) ≠ 0)
42	17, 18, 41	subne0ad 11544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ≠ 𝑢)
43		eldifsn 4750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆 ∖ {𝑢}) ↔ ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ≠ 𝑢))
44	16, 42, 43	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆 ∖ {𝑢}))
45		inelcm 4428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆 ∖ {𝑢})) → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
46	39, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
47		ssn0 4367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ∧ ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
48	47	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) → (((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅ → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
49	8, 46, 48	syl2imc 41	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
50	49	rexlimdva 3134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
51	50	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → ((𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
52	7, 51	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢}) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
53	52	ralrimiv 3124	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
54	4	cnfldtop 24671	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
55	4	cnfldtopon 24670	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
56	55	toponunii 22803	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
57	56	islp2 23032	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
58	54, 2, 3, 57	mp3an12i 1467	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝑢 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
59	53, 58	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆))
60	59	ssriv 3950	. 2 ⊢ 𝑆 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)
61		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆)
62	56, 61	restperf 23071	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Perf ↔ 𝑆 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)))
63	54, 2, 62	mp2an 692	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Perf ↔ 𝑆 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑆))
64	60, 63	mpbir 231	1 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Perf

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3911   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {csn 4589   class class class wbr 5107   ∘ ccom 5642  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   + caddc 11071  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   − cmin 11405   / cdiv 11835  2c2 12241  ℝ⁺crp 12951  abscabs 15200   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  ∞Metcxmet 21249  ballcbl 21251  ℂ_fldccnfld 21264  Topctop 22780  neicnei 22984  limPtclp 23021  Perfcperf 23022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-xms 24208  df-ms 24209

This theorem is referenced by:  reperf  24708  cnperf  24709