MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reperflem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem reperflem 24334
Description: A subset of the real numbers that is closed under addition with real numbers is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
recld2.1 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
reperflem.2 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ 𝑆)
reperflem.3 𝑆 βŠ† β„‚
Assertion
Ref Expression
reperflem (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Perf
Distinct variable groups:   𝑒,𝐽   𝑣,𝑒,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑣)
Proof of Theorem reperflem
Dummy variables 𝑛 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnxmet 24289 . . . . . . 7 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
2 reperflem.3 . . . . . . . 8 𝑆 βŠ† β„‚
32sseli 3979 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
4 recld2.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
54cnfldtopn 24298 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
65neibl 24010 . . . . . . 7 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ (𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑒}) ↔ (𝑛 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† 𝑛)))
71, 3, 6sylancr 588 . . . . . 6 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ (𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑒}) ↔ (𝑛 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† 𝑛)))
8 ssrin 4234 . . . . . . . . 9 ((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† 𝑛 β†’ ((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) βŠ† (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})))
9 reperflem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ 𝑆)
109ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘£ ∈ ℝ (𝑒 + 𝑣) ∈ 𝑆)
11 rpre 12982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
1211rehalfcld 12459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ)
13 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (π‘Ÿ / 2) β†’ (𝑒 + 𝑣) = (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)))
1413eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (π‘Ÿ / 2) β†’ ((𝑒 + 𝑣) ∈ 𝑆 ↔ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝑆))
1514rspccva 3612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘£ ∈ ℝ (𝑒 + 𝑣) ∈ 𝑆 ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ) β†’ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝑆)
1610, 12, 15syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝑆)
172, 16sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ β„‚)
183adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
19 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
2019cnmetdval 24287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2))(abs ∘ βˆ’ )𝑒) = (absβ€˜((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝑒)))
2117, 18, 20syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2))(abs ∘ βˆ’ )𝑒) = (absβ€˜((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝑒)))
22 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
2322rphalfcld 13028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
2423rpcnd 13018 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ β„‚)
2518, 24pncan2d 11573 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝑒) = (π‘Ÿ / 2))
2625fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝑒)) = (absβ€˜(π‘Ÿ / 2)))
2723rpred 13016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ)
2823rpge0d 13020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (π‘Ÿ / 2))
2927, 28absidd 15369 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜(π‘Ÿ / 2)) = (π‘Ÿ / 2))
3021, 26, 293eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2))(abs ∘ βˆ’ )𝑒) = (π‘Ÿ / 2))
31 rphalflt 13003 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) < π‘Ÿ)
3231adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) < π‘Ÿ)
3330, 32eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2))(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘Ÿ)
341a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
35 rpxr 12983 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
3635adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
37 elbl3 23898 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ β„‚)) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ↔ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2))(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘Ÿ))
3834, 36, 18, 17, 37syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ↔ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2))(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘Ÿ))
3933, 38mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ))
4023rpne0d 13021 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) β‰  0)
4125, 40eqnetrd 3009 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝑒) β‰  0)
4217, 18, 41subne0ad 11582 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) β‰  𝑒)
43 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑆 βˆ– {𝑒}) ↔ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) β‰  𝑒))
4416, 42, 43sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑆 βˆ– {𝑒}))
45 inelcm 4465 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∧ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β†’ ((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…)
4639, 44, 45syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…)
47 ssn0 4401 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) βŠ† (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) ∧ ((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…) β†’ (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…)
4847ex 414 . . . . . . . . 9 (((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) βŠ† (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β†’ (((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ… β†’ (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
498, 46, 48syl2imc 41 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† 𝑛 β†’ (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
5049rexlimdva 3156 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† 𝑛 β†’ (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
5150adantld 492 . . . . . 6 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑛 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† 𝑛) β†’ (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
527, 51sylbid 239 . . . . 5 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ (𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑒}) β†’ (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
5352ralrimiv 3146 . . . 4 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑒})(𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…)
544cnfldtop 24300 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
554cnfldtopon 24299 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
5655toponunii 22418 . . . . . 6 β„‚ = βˆͺ 𝐽
5756islp2 22649 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ (𝑒 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑒})(𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
5854, 2, 3, 57mp3an12i 1466 . . . 4 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ (𝑒 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑒})(𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
5953, 58mpbird 257 . . 3 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ 𝑒 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†))
6059ssriv 3987 . 2 𝑆 βŠ† ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)
61 eqid 2733 . . . 4 (𝐽 β†Ύt 𝑆) = (𝐽 β†Ύt 𝑆)
6256, 61restperf 22688 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Perf ↔ 𝑆 βŠ† ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)))
6354, 2, 62mp2an 691 . 2 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Perf ↔ 𝑆 βŠ† ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†))
6460, 63mpbir 230 1 (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Perf
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113  β„*cxr 11247   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  β„+crp 12974  abscabs 15181   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395  neicnei 22601  limPtclp 22638  Perfcperf 22639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-xms 23826  df-ms 23827
This theorem is referenced by:  reperf  24335  cnperf  24336
  Copyright terms: Public domain W3C validator