MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reperflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reperflem 24840
Description: A subset of the real numbers that is closed under addition with real numbers is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
recld2.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
reperflem.2 ((𝑢𝑆𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
reperflem.3 𝑆 ⊆ ℂ
Assertion
Ref Expression
reperflem (𝐽t 𝑆) ∈ Perf
Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑣,𝑢,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑣)

Proof of Theorem reperflem
Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnxmet 24793 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2 reperflem.3 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ ℂ
32sseli 3979 . . . . . . 7 (𝑢𝑆𝑢 ∈ ℂ)
4 recld2.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
54cnfldtopn 24802 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
65neibl 24514 . . . . . . 7 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛)))
71, 3, 6sylancr 587 . . . . . 6 (𝑢𝑆 → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛)))
8 ssrin 4242 . . . . . . . . 9 ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛 → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})))
9 reperflem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢𝑆𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
109ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢𝑆 → ∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
11 rpre 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
1211rehalfcld 12513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
13 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝑟 / 2) → (𝑢 + 𝑣) = (𝑢 + (𝑟 / 2)))
1413eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝑟 / 2) → ((𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆))
1514rspccva 3621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
1610, 12, 15syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
172, 16sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ)
183adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑢 ∈ ℂ)
19 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2019cnmetdval 24791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢)))
2117, 18, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢)))
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
2322rphalfcld 13089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
2423rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
2518, 24pncan2d 11622 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢) = (𝑟 / 2))
2625fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
2723rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
2823rpge0d 13081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑟 / 2))
2927, 28absidd 15461 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
3021, 26, 293eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) = (𝑟 / 2))
31 rphalflt 13064 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
3231adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
3330, 32eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) < 𝑟)
341a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
35 rpxr 13044 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
3635adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
37 elbl3 24402 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ)) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) < 𝑟))
3834, 36, 18, 17, 37syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) < 𝑟))
3933, 38mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
4023rpne0d 13082 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ≠ 0)
4125, 40eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢) ≠ 0)
4217, 18, 41subne0ad 11631 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ≠ 𝑢)
43 eldifsn 4786 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆 ∖ {𝑢}) ↔ ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ≠ 𝑢))
4416, 42, 43sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆 ∖ {𝑢}))
45 inelcm 4465 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆 ∖ {𝑢})) → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
4639, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
47 ssn0 4404 . . . . . . . . . 10 ((((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ∧ ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
4847ex 412 . . . . . . . . 9 (((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) → (((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅ → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
498, 46, 48syl2imc 41 . . . . . . . 8 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
5049rexlimdva 3155 . . . . . . 7 (𝑢𝑆 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
5150adantld 490 . . . . . 6 (𝑢𝑆 → ((𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
527, 51sylbid 240 . . . . 5 (𝑢𝑆 → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢}) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
5352ralrimiv 3145 . . . 4 (𝑢𝑆 → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
544cnfldtop 24804 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
554cnfldtopon 24803 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
5655toponunii 22922 . . . . . 6 ℂ = 𝐽
5756islp2 23153 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
5854, 2, 3, 57mp3an12i 1467 . . . 4 (𝑢𝑆 → (𝑢 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
5953, 58mpbird 257 . . 3 (𝑢𝑆𝑢 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆))
6059ssriv 3987 . 2 𝑆 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)
61 eqid 2737 . . . 4 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
6256, 61restperf 23192 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Perf ↔ 𝑆 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)))
6354, 2, 62mp2an 692 . 2 ((𝐽t 𝑆) ∈ Perf ↔ 𝑆 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑆))
6460, 63mpbir 231 1 (𝐽t 𝑆) ∈ Perf
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  ccom 5689  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158  *cxr 11294   < clt 11295  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  +crp 13034  abscabs 15273  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  ∞Metcxmet 21349  ballcbl 21351  fldccnfld 21364  Topctop 22899  neicnei 23105  limPtclp 23142  Perfcperf 23143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-xms 24330  df-ms 24331
This theorem is referenced by:  reperf  24841  cnperf  24842
  Copyright terms: Public domain W3C validator