MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reperflem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem reperflem 24333
Description: A subset of the real numbers that is closed under addition with real numbers is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
recld2.1 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
reperflem.2 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ 𝑆)
reperflem.3 𝑆 βŠ† β„‚
Assertion
Ref Expression
reperflem (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Perf
Distinct variable groups:   𝑒,𝐽   𝑣,𝑒,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑣)
Proof of Theorem reperflem
Dummy variables 𝑛 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnxmet 24288 . . . . . . 7 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
2 reperflem.3 . . . . . . . 8 𝑆 βŠ† β„‚
32sseli 3978 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
4 recld2.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
54cnfldtopn 24297 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
65neibl 24009 . . . . . . 7 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ (𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑒}) ↔ (𝑛 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† 𝑛)))
71, 3, 6sylancr 587 . . . . . 6 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ (𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑒}) ↔ (𝑛 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† 𝑛)))
8 ssrin 4233 . . . . . . . . 9 ((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† 𝑛 β†’ ((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) βŠ† (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})))
9 reperflem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ 𝑆)
109ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘£ ∈ ℝ (𝑒 + 𝑣) ∈ 𝑆)
11 rpre 12981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
1211rehalfcld 12458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ)
13 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (π‘Ÿ / 2) β†’ (𝑒 + 𝑣) = (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)))
1413eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (π‘Ÿ / 2) β†’ ((𝑒 + 𝑣) ∈ 𝑆 ↔ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝑆))
1514rspccva 3611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘£ ∈ ℝ (𝑒 + 𝑣) ∈ 𝑆 ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ) β†’ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝑆)
1610, 12, 15syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝑆)
172, 16sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ β„‚)
183adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
19 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
2019cnmetdval 24286 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2))(abs ∘ βˆ’ )𝑒) = (absβ€˜((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝑒)))
2117, 18, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2))(abs ∘ βˆ’ )𝑒) = (absβ€˜((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝑒)))
22 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
2322rphalfcld 13027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
2423rpcnd 13017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ β„‚)
2518, 24pncan2d 11572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝑒) = (π‘Ÿ / 2))
2625fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝑒)) = (absβ€˜(π‘Ÿ / 2)))
2723rpred 13015 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ)
2823rpge0d 13019 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (π‘Ÿ / 2))
2927, 28absidd 15368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜(π‘Ÿ / 2)) = (π‘Ÿ / 2))
3021, 26, 293eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2))(abs ∘ βˆ’ )𝑒) = (π‘Ÿ / 2))
31 rphalflt 13002 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) < π‘Ÿ)
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) < π‘Ÿ)
3330, 32eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2))(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘Ÿ)
341a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
35 rpxr 12982 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
3635adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
37 elbl3 23897 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ β„‚)) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ↔ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2))(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘Ÿ))
3834, 36, 18, 17, 37syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ↔ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2))(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘Ÿ))
3933, 38mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ))
4023rpne0d 13020 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) β‰  0)
4125, 40eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝑒) β‰  0)
4217, 18, 41subne0ad 11581 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) β‰  𝑒)
43 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑆 βˆ– {𝑒}) ↔ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) β‰  𝑒))
4416, 42, 43sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑆 βˆ– {𝑒}))
45 inelcm 4464 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∧ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β†’ ((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…)
4639, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…)
47 ssn0 4400 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) βŠ† (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) ∧ ((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…) β†’ (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…)
4847ex 413 . . . . . . . . 9 (((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) βŠ† (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β†’ (((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ… β†’ (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
498, 46, 48syl2imc 41 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† 𝑛 β†’ (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
5049rexlimdva 3155 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† 𝑛 β†’ (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
5150adantld 491 . . . . . 6 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑛 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† 𝑛) β†’ (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
527, 51sylbid 239 . . . . 5 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ (𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑒}) β†’ (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
5352ralrimiv 3145 . . . 4 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑒})(𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…)
544cnfldtop 24299 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
554cnfldtopon 24298 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
5655toponunii 22417 . . . . . 6 β„‚ = βˆͺ 𝐽
5756islp2 22648 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ (𝑒 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑒})(𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
5854, 2, 3, 57mp3an12i 1465 . . . 4 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ (𝑒 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑒})(𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
5953, 58mpbird 256 . . 3 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ 𝑒 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†))
6059ssriv 3986 . 2 𝑆 βŠ† ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)
61 eqid 2732 . . . 4 (𝐽 β†Ύt 𝑆) = (𝐽 β†Ύt 𝑆)
6256, 61restperf 22687 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Perf ↔ 𝑆 βŠ† ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)))
6354, 2, 62mp2an 690 . 2 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Perf ↔ 𝑆 βŠ† ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†))
6460, 63mpbir 230 1 (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Perf
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112  β„*cxr 11246   < clt 11247   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  2c2 12266  β„+crp 12973  abscabs 15180   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  βˆžMetcxmet 20928  ballcbl 20930  β„‚fldccnfld 20943  Topctop 22394  neicnei 22600  limPtclp 22637  Perfcperf 22638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-xms 23825  df-ms 23826
This theorem is referenced by:  reperf  24334  cnperf  24335
  Copyright terms: Public domain W3C validator