MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reperflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reperflem 24778
Description: A subset of the real numbers that is closed under addition with real numbers is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
recld2.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
reperflem.2 ((𝑢𝑆𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
reperflem.3 𝑆 ⊆ ℂ
Assertion
Ref Expression
reperflem (𝐽t 𝑆) ∈ Perf
Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑣,𝑢,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑣)

Proof of Theorem reperflem
Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnxmet 24733 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2 reperflem.3 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ ℂ
32sseli 3972 . . . . . . 7 (𝑢𝑆𝑢 ∈ ℂ)
4 recld2.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
54cnfldtopn 24742 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
65neibl 24454 . . . . . . 7 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛)))
71, 3, 6sylancr 585 . . . . . 6 (𝑢𝑆 → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛)))
8 ssrin 4232 . . . . . . . . 9 ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛 → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})))
9 reperflem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢𝑆𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
109ralrimiva 3135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢𝑆 → ∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
11 rpre 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
1211rehalfcld 12492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
13 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝑟 / 2) → (𝑢 + 𝑣) = (𝑢 + (𝑟 / 2)))
1413eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝑟 / 2) → ((𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆))
1514rspccva 3605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
1610, 12, 15syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
172, 16sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ)
183adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑢 ∈ ℂ)
19 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2019cnmetdval 24731 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢)))
2117, 18, 20syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢)))
22 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
2322rphalfcld 13063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
2423rpcnd 13053 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
2518, 24pncan2d 11605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢) = (𝑟 / 2))
2625fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
2723rpred 13051 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
2823rpge0d 13055 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑟 / 2))
2927, 28absidd 15405 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
3021, 26, 293eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) = (𝑟 / 2))
31 rphalflt 13038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
3231adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
3330, 32eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) < 𝑟)
341a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
35 rpxr 13018 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
3635adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
37 elbl3 24342 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ)) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) < 𝑟))
3834, 36, 18, 17, 37syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) < 𝑟))
3933, 38mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
4023rpne0d 13056 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ≠ 0)
4125, 40eqnetrd 2997 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢) ≠ 0)
4217, 18, 41subne0ad 11614 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ≠ 𝑢)
43 eldifsn 4792 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆 ∖ {𝑢}) ↔ ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ≠ 𝑢))
4416, 42, 43sylanbrc 581 . . . . . . . . . 10 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆 ∖ {𝑢}))
45 inelcm 4466 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆 ∖ {𝑢})) → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
4639, 44, 45syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
47 ssn0 4402 . . . . . . . . . 10 ((((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ∧ ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
4847ex 411 . . . . . . . . 9 (((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) → (((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅ → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
498, 46, 48syl2imc 41 . . . . . . . 8 ((𝑢𝑆𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
5049rexlimdva 3144 . . . . . . 7 (𝑢𝑆 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
5150adantld 489 . . . . . 6 (𝑢𝑆 → ((𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
527, 51sylbid 239 . . . . 5 (𝑢𝑆 → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢}) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
5352ralrimiv 3134 . . . 4 (𝑢𝑆 → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
544cnfldtop 24744 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
554cnfldtopon 24743 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
5655toponunii 22862 . . . . . 6 ℂ = 𝐽
5756islp2 23093 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
5854, 2, 3, 57mp3an12i 1461 . . . 4 (𝑢𝑆 → (𝑢 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
5953, 58mpbird 256 . . 3 (𝑢𝑆𝑢 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆))
6059ssriv 3980 . 2 𝑆 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)
61 eqid 2725 . . . 4 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
6256, 61restperf 23132 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Perf ↔ 𝑆 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)))
6354, 2, 62mp2an 690 . 2 ((𝐽t 𝑆) ∈ Perf ↔ 𝑆 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑆))
6460, 63mpbir 230 1 (𝐽t 𝑆) ∈ Perf
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  cdif 3941  cin 3943  wss 3944  c0 4322  {csn 4630   class class class wbr 5149  ccom 5682  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140   + caddc 11143  *cxr 11279   < clt 11280  cmin 11476   / cdiv 11903  2c2 12300  +crp 13009  abscabs 15217  t crest 17405  TopOpenctopn 17406  ∞Metcxmet 21281  ballcbl 21283  fldccnfld 21296  Topctop 22839  neicnei 23045  limPtclp 23082  Perfcperf 23083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-fz 13520  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-struct 17119  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-rest 17407  df-topn 17408  df-topgen 17428  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-xms 24270  df-ms 24271
This theorem is referenced by:  reperf  24779  cnperf  24780
  Copyright terms: Public domain W3C validator