Theorem reperflem 24937

Description: A subset of the real numbers that is closed under addition with real numbers is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
reperflem.2	⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
reperflem.3	⊢ 𝑆 ⊆ ℂ

Assertion

Ref	Expression
reperflem	⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Perf

Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑣,𝑢,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑣)

Proof of Theorem reperflem

Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnxmet 24890	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2		reperflem.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
3	2	sseli 3935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ ℂ)
4		recld2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopn 24899	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6	5	neibl 24619	. . . . . . 7 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛)))
7	1, 3, 6	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛)))
8		ssrin 4196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛 → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})))
9		reperflem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
10	9	ralrimiva 3157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → ∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
11		rpre 13016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
12	11	rehalfcld 12482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
13		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = (𝑟 / 2) → (𝑢 + 𝑣) = (𝑢 + (𝑟 / 2)))
14	13	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = (𝑟 / 2) → ((𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆))
15	14	rspccva 3583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
16	10, 12, 15	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
17	2, 16	sselid 3937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ)
18	3	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑢 ∈ ℂ)
19		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
20	19	cnmetdval 24888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢)))
21	17, 18, 20	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢)))
22		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
23	22	rphalfcld 13063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
24	23	rpcnd 13053	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
25	18, 24	pncan2d 11559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢) = (𝑟 / 2))
26	25	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
27	23	rpred 13051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
28	23	rpge0d 13055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑟 / 2))
29	27, 28	absidd 15464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
30	21, 26, 29	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) = (𝑟 / 2))
31		rphalflt 13038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
32	31	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
33	30, 32	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) < 𝑟)
34	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
35		rpxr 13017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
36	35	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
37		elbl3 24510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ)) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) < 𝑟))
38	34, 36, 18, 17, 37	syl22anc 851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) < 𝑟))
39	33, 38	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
40	23	rpne0d 13056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ≠ 0)
41	25, 40	eqnetrd 3027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢) ≠ 0)
42	17, 18, 41	subne0ad 11568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ≠ 𝑢)
43		eldifsn 4749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆 ∖ {𝑢}) ↔ ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ≠ 𝑢))
44	16, 42, 43	sylanbrc 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆 ∖ {𝑢}))
45		inelcm 4422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆 ∖ {𝑢})) → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
46	39, 44, 45	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
47		ssn0 4361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ∧ ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
48	47	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) → (((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅ → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
49	8, 46, 48	syl2imc 42	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
50	49	rexlimdva 3166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
51	50	adantld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → ((𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
52	7, 51	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢}) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
53	52	ralrimiv 3156	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
54	4	cnfldtop 24901	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
55	4	cnfldtopon 24900	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
56	55	toponunii 23034	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
57	56	islp2 23263	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
58	54, 2, 3, 57	mp3an12i 1489	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝑢 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
59	53, 58	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆))
60	59	ssriv 3943	. 2 ⊢ 𝑆 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)
61		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆)
62	56, 61	restperf 23302	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Perf ↔ 𝑆 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)))
63	54, 2, 62	mp2an 704	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Perf ↔ 𝑆 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑆))
64	60, 63	mpbir 234	1 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Perf

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3904   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  {csn 4585   class class class wbr 5105   ∘ ccom 5656  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088   + caddc 11091  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   − cmin 11429   / cdiv 11859  2c2 12286  ℝ⁺crp 13007  abscabs 15275   ↾_t crest 17463  TopOpenctopn 17464  ∞Metcxmet 21467  ballcbl 21469  ℂ_fldccnfld 21482  Topctop 23011  neicnei 23215  limPtclp 23252  Perfcperf 23253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-fz 13527  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-struct 17197  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-rest 17465  df-topn 17466  df-topgen 17486  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-lp 23254  df-perf 23255  df-xms 24438  df-ms 24439

This theorem is referenced by:  reperf  24938  cnperf  24939