MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reperflem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem reperflem 24554
Description: A subset of the real numbers that is closed under addition with real numbers is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
recld2.1 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
reperflem.2 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ 𝑆)
reperflem.3 𝑆 βŠ† β„‚
Assertion
Ref Expression
reperflem (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Perf
Distinct variable groups:   𝑒,𝐽   𝑣,𝑒,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑣)
Proof of Theorem reperflem
Dummy variables 𝑛 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnxmet 24509 . . . . . . 7 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
2 reperflem.3 . . . . . . . 8 𝑆 βŠ† β„‚
32sseli 3977 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
4 recld2.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
54cnfldtopn 24518 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
65neibl 24230 . . . . . . 7 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ (𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑒}) ↔ (𝑛 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† 𝑛)))
71, 3, 6sylancr 585 . . . . . 6 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ (𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑒}) ↔ (𝑛 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† 𝑛)))
8 ssrin 4232 . . . . . . . . 9 ((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† 𝑛 β†’ ((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) βŠ† (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})))
9 reperflem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ 𝑆)
109ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘£ ∈ ℝ (𝑒 + 𝑣) ∈ 𝑆)
11 rpre 12986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
1211rehalfcld 12463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ)
13 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (π‘Ÿ / 2) β†’ (𝑒 + 𝑣) = (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)))
1413eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (π‘Ÿ / 2) β†’ ((𝑒 + 𝑣) ∈ 𝑆 ↔ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝑆))
1514rspccva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘£ ∈ ℝ (𝑒 + 𝑣) ∈ 𝑆 ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ) β†’ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝑆)
1610, 12, 15syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝑆)
172, 16sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ β„‚)
183adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
19 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
2019cnmetdval 24507 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2))(abs ∘ βˆ’ )𝑒) = (absβ€˜((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝑒)))
2117, 18, 20syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2))(abs ∘ βˆ’ )𝑒) = (absβ€˜((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝑒)))
22 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
2322rphalfcld 13032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
2423rpcnd 13022 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ β„‚)
2518, 24pncan2d 11577 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝑒) = (π‘Ÿ / 2))
2625fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝑒)) = (absβ€˜(π‘Ÿ / 2)))
2723rpred 13020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ)
2823rpge0d 13024 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (π‘Ÿ / 2))
2927, 28absidd 15373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜(π‘Ÿ / 2)) = (π‘Ÿ / 2))
3021, 26, 293eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2))(abs ∘ βˆ’ )𝑒) = (π‘Ÿ / 2))
31 rphalflt 13007 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) < π‘Ÿ)
3231adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) < π‘Ÿ)
3330, 32eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2))(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘Ÿ)
341a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
35 rpxr 12987 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
3635adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
37 elbl3 24118 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ β„‚)) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ↔ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2))(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘Ÿ))
3834, 36, 18, 17, 37syl22anc 835 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ↔ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2))(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘Ÿ))
3933, 38mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ))
4023rpne0d 13025 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) β‰  0)
4125, 40eqnetrd 3006 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) βˆ’ 𝑒) β‰  0)
4217, 18, 41subne0ad 11586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) β‰  𝑒)
43 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑆 βˆ– {𝑒}) ↔ ((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) β‰  𝑒))
4416, 42, 43sylanbrc 581 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑆 βˆ– {𝑒}))
45 inelcm 4463 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∧ (𝑒 + (π‘Ÿ / 2)) ∈ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β†’ ((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…)
4639, 44, 45syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…)
47 ssn0 4399 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) βŠ† (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) ∧ ((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…) β†’ (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…)
4847ex 411 . . . . . . . . 9 (((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) βŠ† (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β†’ (((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ… β†’ (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
498, 46, 48syl2imc 41 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† 𝑛 β†’ (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
5049rexlimdva 3153 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† 𝑛 β†’ (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
5150adantld 489 . . . . . 6 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑛 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑒(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† 𝑛) β†’ (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
527, 51sylbid 239 . . . . 5 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ (𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑒}) β†’ (𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
5352ralrimiv 3143 . . . 4 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑒})(𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…)
544cnfldtop 24520 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
554cnfldtopon 24519 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
5655toponunii 22638 . . . . . 6 β„‚ = βˆͺ 𝐽
5756islp2 22869 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ (𝑒 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑒})(𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
5854, 2, 3, 57mp3an12i 1463 . . . 4 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ (𝑒 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑒})(𝑛 ∩ (𝑆 βˆ– {𝑒})) β‰  βˆ…))
5953, 58mpbird 256 . . 3 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ 𝑒 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†))
6059ssriv 3985 . 2 𝑆 βŠ† ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)
61 eqid 2730 . . . 4 (𝐽 β†Ύt 𝑆) = (𝐽 β†Ύt 𝑆)
6256, 61restperf 22908 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Perf ↔ 𝑆 βŠ† ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)))
6354, 2, 62mp2an 688 . 2 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Perf ↔ 𝑆 βŠ† ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†))
6460, 63mpbir 230 1 (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Perf
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  β„*cxr 11251   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  β„+crp 12978  abscabs 15185   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  βˆžMetcxmet 21129  ballcbl 21131  β„‚fldccnfld 21144  Topctop 22615  neicnei 22821  limPtclp 22858  Perfcperf 22859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-topn 17373  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-xms 24046  df-ms 24047
This theorem is referenced by:  reperf  24555  cnperf  24556
  Copyright terms: Public domain W3C validator