Theorem reperflem 24714

Description: A subset of the real numbers that is closed under addition with real numbers is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
reperflem.2	⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
reperflem.3	⊢ 𝑆 ⊆ ℂ

Assertion

Ref	Expression
reperflem	⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Perf

Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑣,𝑢,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑣)

Proof of Theorem reperflem

Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnxmet 24667	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2		reperflem.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
3	2	sseli 3945	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ ℂ)
4		recld2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopn 24676	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6	5	neibl 24396	. . . . . . 7 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛)))
7	1, 3, 6	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛)))
8		ssrin 4208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛 → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})))
9		reperflem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
10	9	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → ∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
11		rpre 12967	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
12	11	rehalfcld 12436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
13		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = (𝑟 / 2) → (𝑢 + 𝑣) = (𝑢 + (𝑟 / 2)))
14	13	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = (𝑟 / 2) → ((𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆))
15	14	rspccva 3590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
16	10, 12, 15	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
17	2, 16	sselid 3947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ)
18	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑢 ∈ ℂ)
19		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
20	19	cnmetdval 24665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢)))
21	17, 18, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢)))
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
23	22	rphalfcld 13014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
24	23	rpcnd 13004	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
25	18, 24	pncan2d 11542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢) = (𝑟 / 2))
26	25	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
27	23	rpred 13002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
28	23	rpge0d 13006	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑟 / 2))
29	27, 28	absidd 15396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
30	21, 26, 29	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) = (𝑟 / 2))
31		rphalflt 12989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
33	30, 32	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) < 𝑟)
34	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
35		rpxr 12968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
37		elbl3 24287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ)) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) < 𝑟))
38	34, 36, 18, 17, 37	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) < 𝑟))
39	33, 38	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
40	23	rpne0d 13007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ≠ 0)
41	25, 40	eqnetrd 2993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢) ≠ 0)
42	17, 18, 41	subne0ad 11551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ≠ 𝑢)
43		eldifsn 4753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆 ∖ {𝑢}) ↔ ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ≠ 𝑢))
44	16, 42, 43	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆 ∖ {𝑢}))
45		inelcm 4431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆 ∖ {𝑢})) → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
46	39, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
47		ssn0 4370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ∧ ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
48	47	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) → (((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅ → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
49	8, 46, 48	syl2imc 41	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
50	49	rexlimdva 3135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
51	50	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → ((𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
52	7, 51	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢}) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
53	52	ralrimiv 3125	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
54	4	cnfldtop 24678	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
55	4	cnfldtopon 24677	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
56	55	toponunii 22810	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
57	56	islp2 23039	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
58	54, 2, 3, 57	mp3an12i 1467	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝑢 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
59	53, 58	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆))
60	59	ssriv 3953	. 2 ⊢ 𝑆 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)
61		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆)
62	56, 61	restperf 23078	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Perf ↔ 𝑆 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)))
63	54, 2, 62	mp2an 692	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Perf ↔ 𝑆 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑆))
64	60, 63	mpbir 231	1 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Perf

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ∖ cdif 3914   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  {csn 4592   class class class wbr 5110   ∘ ccom 5645  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075   + caddc 11078  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   − cmin 11412   / cdiv 11842  2c2 12248  ℝ⁺crp 12958  abscabs 15207   ↾_t crest 17390  TopOpenctopn 17391  ∞Metcxmet 21256  ballcbl 21258  ℂ_fldccnfld 21271  Topctop 22787  neicnei 22991  limPtclp 23028  Perfcperf 23029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-rest 17392  df-topn 17393  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-xms 24215  df-ms 24216

This theorem is referenced by:  reperf  24715  cnperf  24716