Theorem reperflem 25013

Description: A subset of the real numbers that is closed under addition with real numbers is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
reperflem.2	⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
reperflem.3	⊢ 𝑆 ⊆ ℂ

Assertion

Ref	Expression
reperflem	⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Perf

Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑣,𝑢,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑣)

Proof of Theorem reperflem

Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnxmet 24966	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2		reperflem.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
3	2	sseli 3936	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ ℂ)
4		recld2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopn 24975	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6	5	neibl 24695	. . . . . . 7 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛)))
7	1, 3, 6	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛)))
8		ssrin 4197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛 → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})))
9		reperflem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
10	9	ralrimiva 3160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → ∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
11		rpre 13043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
12	11	rehalfcld 12509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
13		oveq2 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = (𝑟 / 2) → (𝑢 + 𝑣) = (𝑢 + (𝑟 / 2)))
14	13	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = (𝑟 / 2) → ((𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆))
15	14	rspccva 3583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
16	10, 12, 15	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆)
17	2, 16	sselid 3938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ)
18	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑢 ∈ ℂ)
19		eqid 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
20	19	cnmetdval 24964	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢)))
21	17, 18, 20	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢)))
22		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
23	22	rphalfcld 13090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
24	23	rpcnd 13080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
25	18, 24	pncan2d 11589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢) = (𝑟 / 2))
26	25	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
27	23	rpred 13078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
28	23	rpge0d 13082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑟 / 2))
29	27, 28	absidd 15500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
30	21, 26, 29	3eqtrd 2805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) = (𝑟 / 2))
31		rphalflt 13065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
32	31	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
33	30, 32	eqbrtrd 5138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) < 𝑟)
34	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
35		rpxr 13044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
36	35	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
37		elbl3 24586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ ℂ)) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) < 𝑟))
38	34, 36, 18, 17, 37	syl22anc 852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑢 + (𝑟 / 2))(abs ∘ − )𝑢) < 𝑟))
39	33, 38	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
40	23	rpne0d 13083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ≠ 0)
41	25, 40	eqnetrd 3028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (𝑟 / 2)) − 𝑢) ≠ 0)
42	17, 18, 41	subne0ad 11598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ≠ 𝑢)
43		eldifsn 4758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆 ∖ {𝑢}) ↔ ((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ≠ 𝑢))
44	16, 42, 43	sylanbrc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆 ∖ {𝑢}))
45		inelcm 4428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (𝑢 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆 ∖ {𝑢})) → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
46	39, 44, 45	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
47		ssn0 4365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ∧ ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
48	47	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) → (((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅ → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
49	8, 46, 48	syl2imc 42	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
50	49	rexlimdva 3169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
51	50	adantld 496	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → ((𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑢(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
52	7, 51	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢}) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
53	52	ralrimiv 3159	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅)
54	4	cnfldtop 24977	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
55	4	cnfldtopon 24976	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
56	55	toponunii 23110	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
57	56	islp2 23339	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
58	54, 2, 3, 57	mp3an12i 1494	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝑢 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑢})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑢})) ≠ ∅))
59	53, 58	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆))
60	59	ssriv 3944	. 2 ⊢ 𝑆 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)
61		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆)
62	56, 61	restperf 23378	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Perf ↔ 𝑆 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)))
63	54, 2, 62	mp2an 705	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Perf ↔ 𝑆 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑆))
64	60, 63	mpbir 234	1 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Perf

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∃wrex 3092   ∖ cdif 3905   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  {csn 4594   class class class wbr 5114   ∘ ccom 5670  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118   + caddc 11121  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   − cmin 11459   / cdiv 11889  2c2 12313  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15311   ↾_t crest 17498  TopOpenctopn 17499  ∞Metcxmet 21544  ballcbl 21546  ℂ_fldccnfld 21559  Topctop 23087  neicnei 23291  limPtclp 23328  Perfcperf 23329

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-rest 17500  df-topn 17501  df-topgen 17521  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-xms 24514  df-ms 24515

This theorem is used by:  reperf  25014  cnperf  25015