MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucelon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sucelon 7517
Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
sucelon (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem sucelon
StepHypRef Expression
1 ordsuc 7514 . . 3 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2 sucexb 7509 . . 3 (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
31, 2anbi12i 629 . 2 ((Ord 𝐴𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4 elon2 6180 . 2 (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴𝐴 ∈ V))
5 elon2 6180 . 2 (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
63, 4, 53bitr4i 306 1 (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399  wcel 2114  Vcvv 3469  Ord word 6168  Oncon0 6169  suc csuc 6171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-tr 5149  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-ord 6172  df-on 6173  df-suc 6175
This theorem is referenced by:  onsucmin  7521  tfindsg2  7561  oaordi  8159  oalimcl  8173  omlimcl  8191  omeulem1  8195  oeordsuc  8207  infensuc  8683  cantnflem1b  9137  cantnflem1  9140  r1ordg  9195  alephnbtwn  9486  cfsuc  9668  alephsuc3  9991  alephreg  9993  bdayimaon  33271  nosupbnd1lem1  33282  nosupbnd1  33288  nosupbnd2lem1  33289  nosupbnd2  33290
  Copyright terms: Public domain W3C validator