Theorem sucelon 7696

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sucelon	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem sucelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7693	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		sucexb 7686	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	anbi12i 628	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4		elon2 6292	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
5		elon2 6292	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437  Ord word 6280  Oncon0 6281  suc csuc 6283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3333  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-tr 5199  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-ord 6284  df-on 6285  df-suc 6287

This theorem is referenced by:  onsucmin  7700  tfindsg2  7740  oaordi  8408  oalimcl  8422  omlimcl  8440  omeulem1  8444  oeordsuc  8456  infensuc  8980  cantnflem1b  9492  cantnflem1  9495  r1ordg  9584  alephnbtwn  9877  cfsuc  10063  alephsuc3  10386  alephreg  10388  naddcllem  33880  bdayimaon  33945  nosupbnd1lem1  33960  nosupbnd1  33966  nosupbnd2lem1  33967  nosupbnd2  33968  noinfno  33970  noinfres  33974  noinfbnd1lem1  33975  noinfbnd1  33981  noinfbnd2lem1  33982  noinfbnd2  33983  noeta2  34028  etasslt2  34057