MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucelon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sucelon 7215
Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
sucelon (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem sucelon
StepHypRef Expression
1 ordsuc 7212 . . 3 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2 sucexb 7207 . . 3 (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
31, 2anbi12i 620 . 2 ((Ord 𝐴𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4 elon2 5919 . 2 (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴𝐴 ∈ V))
5 elon2 5919 . 2 (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
63, 4, 53bitr4i 294 1 (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384  wcel 2155  Vcvv 3350  Ord word 5907  Oncon0 5908  suc csuc 5910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-tr 4912  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-ord 5911  df-on 5912  df-suc 5914
This theorem is referenced by:  onsucmin  7219  tfindsg2  7259  oaordi  7831  oalimcl  7845  omlimcl  7863  omeulem1  7867  oeordsuc  7879  infensuc  8345  cantnflem1b  8798  cantnflem1  8801  r1ordg  8856  alephnbtwn  9145  cfsuc  9332  alephsuc3  9655  alephreg  9657  bdayimaon  32287  nosupbnd1lem1  32298  nosupbnd1  32304  nosupbnd2lem1  32305  nosupbnd2  32306
  Copyright terms: Public domain W3C validator