Theorem sucelon 7512

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sucelon	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem sucelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7509	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		sucexb 7504	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	anbi12i 629	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4		elon2 6170	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
5		elon2 6170	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
6	3, 4, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  Ord word 6158  Oncon0 6159  suc csuc 6161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-ord 6162  df-on 6163  df-suc 6165

This theorem is referenced by:  onsucmin  7516  tfindsg2  7556  oaordi  8155  oalimcl  8169  omlimcl  8187  omeulem1  8191  oeordsuc  8203  infensuc  8679  cantnflem1b  9133  cantnflem1  9136  r1ordg  9191  alephnbtwn  9482  cfsuc  9668  alephsuc3  9991  alephreg  9993  bdayimaon  33310  nosupbnd1lem1  33321  nosupbnd1  33327  nosupbnd2lem1  33328  nosupbnd2  33329