MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bdayimaon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bdayimaon 27193
Description: Lemma for full-eta properties. The successor of the union of the image of the birthday function under a set is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
bdayimaon (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ suc βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ On)

Proof of Theorem bdayimaon
StepHypRef Expression
1 bdayfo 27177 . . . . . 6 bday : No –ontoβ†’On
2 fofun 6806 . . . . . 6 ( bday : No –ontoβ†’On β†’ Fun bday )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 Fun bday
4 funimaexg 6634 . . . . 5 ((Fun bday ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( bday β€œ 𝐴) ∈ V)
53, 4mpan 688 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( bday β€œ 𝐴) ∈ V)
65uniexd 7731 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ V)
7 imassrn 6070 . . . . 5 ( bday β€œ 𝐴) βŠ† ran bday
8 forn 6808 . . . . . 6 ( bday : No –ontoβ†’On β†’ ran bday = On)
91, 8ax-mp 5 . . . . 5 ran bday = On
107, 9sseqtri 4018 . . . 4 ( bday β€œ 𝐴) βŠ† On
11 ssorduni 7765 . . . 4 (( bday β€œ 𝐴) βŠ† On β†’ Ord βˆͺ ( bday β€œ 𝐴))
1210, 11ax-mp 5 . . 3 Ord βˆͺ ( bday β€œ 𝐴)
136, 12jctil 520 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (Ord βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∧ βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ V))
14 elon2 6375 . . 3 (βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ On ↔ (Ord βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∧ βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ V))
15 onsucb 7804 . . 3 (βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ On ↔ suc βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ On)
1614, 15bitr3i 276 . 2 ((Ord βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∧ βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ V) ↔ suc βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ On)
1713, 16sylib 217 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ suc βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Ord word 6363  Oncon0 6364  suc csuc 6366  Fun wfun 6537  β€“ontoβ†’wfo 6541   No csur 27140   bday cbday 27142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-1o 8465  df-no 27143  df-bday 27145
This theorem is referenced by:  noetasuplem1  27233  noetainflem1  27237
  Copyright terms: Public domain W3C validator