MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bdayimaon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bdayimaon 27581
Description: Lemma for full-eta properties. The successor of the union of the image of the birthday function under a set is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
bdayimaon (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ suc βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ On)

Proof of Theorem bdayimaon
StepHypRef Expression
1 bdayfo 27565 . . . . . 6 bday : No –ontoβ†’On
2 fofun 6800 . . . . . 6 ( bday : No –ontoβ†’On β†’ Fun bday )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 Fun bday
4 funimaexg 6628 . . . . 5 ((Fun bday ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( bday β€œ 𝐴) ∈ V)
53, 4mpan 687 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( bday β€œ 𝐴) ∈ V)
65uniexd 7729 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ V)
7 imassrn 6064 . . . . 5 ( bday β€œ 𝐴) βŠ† ran bday
8 forn 6802 . . . . . 6 ( bday : No –ontoβ†’On β†’ ran bday = On)
91, 8ax-mp 5 . . . . 5 ran bday = On
107, 9sseqtri 4013 . . . 4 ( bday β€œ 𝐴) βŠ† On
11 ssorduni 7763 . . . 4 (( bday β€œ 𝐴) βŠ† On β†’ Ord βˆͺ ( bday β€œ 𝐴))
1210, 11ax-mp 5 . . 3 Ord βˆͺ ( bday β€œ 𝐴)
136, 12jctil 519 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (Ord βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∧ βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ V))
14 elon2 6369 . . 3 (βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ On ↔ (Ord βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∧ βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ V))
15 onsucb 7802 . . 3 (βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ On ↔ suc βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ On)
1614, 15bitr3i 277 . 2 ((Ord βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∧ βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ V) ↔ suc βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ On)
1713, 16sylib 217 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ suc βˆͺ ( bday β€œ 𝐴) ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902  ran crn 5670   β€œ cima 5672  Ord word 6357  Oncon0 6358  suc csuc 6360  Fun wfun 6531  β€“ontoβ†’wfo 6535   No csur 27528   bday cbday 27530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-1o 8467  df-no 27531  df-bday 27533
This theorem is referenced by:  noetasuplem1  27621  noetainflem1  27625
  Copyright terms: Public domain W3C validator