MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supnfcls Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem supnfcls 23845
Description: The filter of supersets of 𝑋 βˆ– π‘ˆ does not cluster at any point of the open set π‘ˆ. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
supnfcls ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† π‘₯}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘ˆ
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘₯)
Proof of Theorem supnfcls
StepHypRef Expression
1 disjdif 4463 . 2 (π‘ˆ ∩ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)) = βˆ…
2 simpr 484 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† π‘₯})) β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† π‘₯}))
3 simpl2 1189 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† π‘₯})) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
4 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† π‘₯})) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
5 sseq2 4000 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑋 βˆ– π‘ˆ) β†’ ((𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† π‘₯ ↔ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† (𝑋 βˆ– π‘ˆ)))
6 difss 4123 . . . . . . 7 (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† 𝑋
7 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† π‘₯})) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
8 toponmax 22749 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
9 elpw2g 5334 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐽 β†’ ((𝑋 βˆ– π‘ˆ) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† 𝑋))
107, 8, 93syl 18 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† π‘₯})) β†’ ((𝑋 βˆ– π‘ˆ) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† 𝑋))
116, 10mpbiri 258 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† π‘₯})) β†’ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) ∈ 𝒫 𝑋)
12 ssidd 3997 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† π‘₯})) β†’ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† (𝑋 βˆ– π‘ˆ))
135, 11, 12elrabd 3677 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† π‘₯})) β†’ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† π‘₯})
14 fclsopni 23840 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐽 fClus {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† π‘₯}) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† π‘₯})) β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)) β‰  βˆ…)
152, 3, 4, 13, 14syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† π‘₯})) β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)) β‰  βˆ…)
1615ex 412 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† π‘₯}) β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)) β‰  βˆ…))
1716necon2bd 2948 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘ˆ ∩ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)) = βˆ… β†’ Β¬ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† π‘₯})))
181, 17mpi 20 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† π‘₯}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  {crab 3424   βˆ– cdif 3937   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  π’« cpw 4594  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  TopOnctopon 22733   fClus cfcls 23761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-fbas 21224  df-top 22717  df-topon 22734  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-fil 23671  df-fcls 23766
This theorem is referenced by:  fclscf  23850
  Copyright terms: Public domain W3C validator