MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclsopni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fclsopni 23382
Description: An open neighborhood of a cluster point of a filter intersects any element of that filter. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsopni ((𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑆 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)

Proof of Theorem fclsopni
Dummy variables π‘œ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
21fclsfil 23377 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜βˆͺ 𝐽))
3 fclstopon 23379 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (Filβ€˜βˆͺ 𝐽)))
42, 3mpbird 257 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
5 fclsopn 23381 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜βˆͺ 𝐽)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))))
64, 2, 5syl2anc 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))))
76ibi 267 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…)))
8 eleq2 2827 . . . . . 6 (π‘œ = π‘ˆ β†’ (𝐴 ∈ π‘œ ↔ 𝐴 ∈ π‘ˆ))
9 ineq1 4170 . . . . . . . 8 (π‘œ = π‘ˆ β†’ (π‘œ ∩ 𝑠) = (π‘ˆ ∩ 𝑠))
109neeq1d 3004 . . . . . . 7 (π‘œ = π‘ˆ β†’ ((π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ… ↔ (π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))
1110ralbidv 3175 . . . . . 6 (π‘œ = π‘ˆ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))
128, 11imbi12d 345 . . . . 5 (π‘œ = π‘ˆ β†’ ((𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…) ↔ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…)))
1312rspccv 3581 . . . 4 (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…)))
147, 13simpl2im 505 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…)))
15 ineq2 4171 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑠) = (π‘ˆ ∩ 𝑆))
1615neeq1d 3004 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ… ↔ (π‘ˆ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
1716rspccv 3581 . . 3 (βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ… β†’ (𝑆 ∈ 𝐹 β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
1814, 17syl8 76 . 2 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑆 ∈ 𝐹 β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))))
19183imp2 1350 1 ((𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑆 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065   ∩ cin 3914  βˆ…c0 4287  βˆͺ cuni 4870  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  TopOnctopon 22275  Filcfil 23212   fClus cfcls 23303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-fbas 20809  df-top 22259  df-topon 22276  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-fil 23213  df-fcls 23308
This theorem is referenced by:  fclsneii  23384  supnfcls  23387  flimfnfcls  23395  cfilfcls  24654
  Copyright terms: Public domain W3C validator