MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclsopni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fclsopni 22327
Description: An open neighborhood of a cluster point of a filter intersects any element of that filter. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsopni ((𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ∧ (𝑈𝐽𝐴𝑈𝑆𝐹)) → (𝑈𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem fclsopni
Dummy variables 𝑜 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2779 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
21fclsfil 22322 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘ 𝐽))
3 fclstopon 22324 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (Fil‘ 𝐽)))
42, 3mpbird 249 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
5 fclsopn 22326 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘ 𝐽)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴 𝐽 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐹 (𝑜𝑠) ≠ ∅))))
64, 2, 5syl2anc 576 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴 𝐽 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐹 (𝑜𝑠) ≠ ∅))))
76ibi 259 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → (𝐴 𝐽 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐹 (𝑜𝑠) ≠ ∅)))
8 eleq2 2855 . . . . . 6 (𝑜 = 𝑈 → (𝐴𝑜𝐴𝑈))
9 ineq1 4069 . . . . . . . 8 (𝑜 = 𝑈 → (𝑜𝑠) = (𝑈𝑠))
109neeq1d 3027 . . . . . . 7 (𝑜 = 𝑈 → ((𝑜𝑠) ≠ ∅ ↔ (𝑈𝑠) ≠ ∅))
1110ralbidv 3148 . . . . . 6 (𝑜 = 𝑈 → (∀𝑠𝐹 (𝑜𝑠) ≠ ∅ ↔ ∀𝑠𝐹 (𝑈𝑠) ≠ ∅))
128, 11imbi12d 337 . . . . 5 (𝑜 = 𝑈 → ((𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐹 (𝑜𝑠) ≠ ∅) ↔ (𝐴𝑈 → ∀𝑠𝐹 (𝑈𝑠) ≠ ∅)))
1312rspccv 3533 . . . 4 (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐹 (𝑜𝑠) ≠ ∅) → (𝑈𝐽 → (𝐴𝑈 → ∀𝑠𝐹 (𝑈𝑠) ≠ ∅)))
147, 13simpl2im 496 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → (𝑈𝐽 → (𝐴𝑈 → ∀𝑠𝐹 (𝑈𝑠) ≠ ∅)))
15 ineq2 4071 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑈𝑠) = (𝑈𝑆))
1615neeq1d 3027 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → ((𝑈𝑠) ≠ ∅ ↔ (𝑈𝑆) ≠ ∅))
1716rspccv 3533 . . 3 (∀𝑠𝐹 (𝑈𝑠) ≠ ∅ → (𝑆𝐹 → (𝑈𝑆) ≠ ∅))
1814, 17syl8 76 . 2 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → (𝑈𝐽 → (𝐴𝑈 → (𝑆𝐹 → (𝑈𝑆) ≠ ∅))))
19183imp2 1329 1 ((𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ∧ (𝑈𝐽𝐴𝑈𝑆𝐹)) → (𝑈𝑆) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2968  wral 3089  cin 3829  c0 4179   cuni 4712  cfv 6188  (class class class)co 6976  TopOnctopon 21222  Filcfil 22157   fClus cfcls 22248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-fbas 20244  df-top 21206  df-topon 21223  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-fil 22158  df-fcls 22253
This theorem is referenced by:  fclsneii  22329  supnfcls  22332  flimfnfcls  22340  cfilfcls  23580
  Copyright terms: Public domain W3C validator