MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclsopni Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fclsopni 23874
Description: An open neighborhood of a cluster point of a filter intersects any element of that filter. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsopni ((𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑆 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
Proof of Theorem fclsopni
Dummy variables π‘œ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
21fclsfil 23869 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜βˆͺ 𝐽))
3 fclstopon 23871 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (Filβ€˜βˆͺ 𝐽)))
42, 3mpbird 257 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
5 fclsopn 23873 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜βˆͺ 𝐽)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))))
64, 2, 5syl2anc 583 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))))
76ibi 267 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…)))
8 eleq2 2816 . . . . . 6 (π‘œ = π‘ˆ β†’ (𝐴 ∈ π‘œ ↔ 𝐴 ∈ π‘ˆ))
9 ineq1 4200 . . . . . . . 8 (π‘œ = π‘ˆ β†’ (π‘œ ∩ 𝑠) = (π‘ˆ ∩ 𝑠))
109neeq1d 2994 . . . . . . 7 (π‘œ = π‘ˆ β†’ ((π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ… ↔ (π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))
1110ralbidv 3171 . . . . . 6 (π‘œ = π‘ˆ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))
128, 11imbi12d 344 . . . . 5 (π‘œ = π‘ˆ β†’ ((𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…) ↔ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…)))
1312rspccv 3603 . . . 4 (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…)))
147, 13simpl2im 503 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…)))
15 ineq2 4201 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑠) = (π‘ˆ ∩ 𝑆))
1615neeq1d 2994 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ… ↔ (π‘ˆ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
1716rspccv 3603 . . 3 (βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ… β†’ (𝑆 ∈ 𝐹 β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
1814, 17syl8 76 . 2 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑆 ∈ 𝐹 β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))))
19183imp2 1346 1 ((𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑆 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   ∩ cin 3942  βˆ…c0 4317  βˆͺ cuni 4902  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  TopOnctopon 22767  Filcfil 23704   fClus cfcls 23795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-fbas 21237  df-top 22751  df-topon 22768  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-fil 23705  df-fcls 23800
This theorem is referenced by:  fclsneii  23876  supnfcls  23879  flimfnfcls  23887  cfilfcls  25157
  Copyright terms: Public domain W3C validator