MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclsopni Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fclsopni 23947
Description: An open neighborhood of a cluster point of a filter intersects any element of that filter. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsopni ((𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑆 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
Proof of Theorem fclsopni
Dummy variables π‘œ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
21fclsfil 23942 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜βˆͺ 𝐽))
3 fclstopon 23944 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (Filβ€˜βˆͺ 𝐽)))
42, 3mpbird 256 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
5 fclsopn 23946 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜βˆͺ 𝐽)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))))
64, 2, 5syl2anc 582 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))))
76ibi 266 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…)))
8 eleq2 2818 . . . . . 6 (π‘œ = π‘ˆ β†’ (𝐴 ∈ π‘œ ↔ 𝐴 ∈ π‘ˆ))
9 ineq1 4207 . . . . . . . 8 (π‘œ = π‘ˆ β†’ (π‘œ ∩ 𝑠) = (π‘ˆ ∩ 𝑠))
109neeq1d 2997 . . . . . . 7 (π‘œ = π‘ˆ β†’ ((π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ… ↔ (π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))
1110ralbidv 3175 . . . . . 6 (π‘œ = π‘ˆ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))
128, 11imbi12d 343 . . . . 5 (π‘œ = π‘ˆ β†’ ((𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…) ↔ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…)))
1312rspccv 3608 . . . 4 (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…)))
147, 13simpl2im 502 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…)))
15 ineq2 4208 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑠) = (π‘ˆ ∩ 𝑆))
1615neeq1d 2997 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ… ↔ (π‘ˆ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
1716rspccv 3608 . . 3 (βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘ˆ ∩ 𝑠) β‰  βˆ… β†’ (𝑆 ∈ 𝐹 β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
1814, 17syl8 76 . 2 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑆 ∈ 𝐹 β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))))
19183imp2 1346 1 ((𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑆 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4326  βˆͺ cuni 4912  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  TopOnctopon 22840  Filcfil 23777   fClus cfcls 23868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-fbas 21290  df-top 22824  df-topon 22841  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-fil 23778  df-fcls 23873
This theorem is referenced by:  fclsneii  23949  supnfcls  23952  flimfnfcls  23960  cfilfcls  25230
  Copyright terms: Public domain W3C validator