MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclsopni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fclsopni 23364
Description: An open neighborhood of a cluster point of a filter intersects any element of that filter. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsopni ((𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ∧ (𝑈𝐽𝐴𝑈𝑆𝐹)) → (𝑈𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem fclsopni
Dummy variables 𝑜 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
21fclsfil 23359 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘ 𝐽))
3 fclstopon 23361 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (Fil‘ 𝐽)))
42, 3mpbird 256 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
5 fclsopn 23363 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘ 𝐽)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴 𝐽 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐹 (𝑜𝑠) ≠ ∅))))
64, 2, 5syl2anc 584 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴 𝐽 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐹 (𝑜𝑠) ≠ ∅))))
76ibi 266 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → (𝐴 𝐽 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐹 (𝑜𝑠) ≠ ∅)))
8 eleq2 2826 . . . . . 6 (𝑜 = 𝑈 → (𝐴𝑜𝐴𝑈))
9 ineq1 4165 . . . . . . . 8 (𝑜 = 𝑈 → (𝑜𝑠) = (𝑈𝑠))
109neeq1d 3003 . . . . . . 7 (𝑜 = 𝑈 → ((𝑜𝑠) ≠ ∅ ↔ (𝑈𝑠) ≠ ∅))
1110ralbidv 3174 . . . . . 6 (𝑜 = 𝑈 → (∀𝑠𝐹 (𝑜𝑠) ≠ ∅ ↔ ∀𝑠𝐹 (𝑈𝑠) ≠ ∅))
128, 11imbi12d 344 . . . . 5 (𝑜 = 𝑈 → ((𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐹 (𝑜𝑠) ≠ ∅) ↔ (𝐴𝑈 → ∀𝑠𝐹 (𝑈𝑠) ≠ ∅)))
1312rspccv 3578 . . . 4 (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐹 (𝑜𝑠) ≠ ∅) → (𝑈𝐽 → (𝐴𝑈 → ∀𝑠𝐹 (𝑈𝑠) ≠ ∅)))
147, 13simpl2im 504 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → (𝑈𝐽 → (𝐴𝑈 → ∀𝑠𝐹 (𝑈𝑠) ≠ ∅)))
15 ineq2 4166 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑈𝑠) = (𝑈𝑆))
1615neeq1d 3003 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → ((𝑈𝑠) ≠ ∅ ↔ (𝑈𝑆) ≠ ∅))
1716rspccv 3578 . . 3 (∀𝑠𝐹 (𝑈𝑠) ≠ ∅ → (𝑆𝐹 → (𝑈𝑆) ≠ ∅))
1814, 17syl8 76 . 2 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → (𝑈𝐽 → (𝐴𝑈 → (𝑆𝐹 → (𝑈𝑆) ≠ ∅))))
19183imp2 1349 1 ((𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ∧ (𝑈𝐽𝐴𝑈𝑆𝐹)) → (𝑈𝑆) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  cin 3909  c0 4282   cuni 4865  cfv 6496  (class class class)co 7356  TopOnctopon 22257  Filcfil 23194   fClus cfcls 23285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-fbas 20791  df-top 22241  df-topon 22258  df-cld 22368  df-ntr 22369  df-cls 22370  df-fil 23195  df-fcls 23290
This theorem is referenced by:  fclsneii  23366  supnfcls  23369  flimfnfcls  23377  cfilfcls  24636
  Copyright terms: Public domain W3C validator