MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alexsubALT Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem alexsubALT 23776
Description: The Alexander Subbase Theorem: a space is compact iff it has a subbase such that any cover taken from the subbase has a finite subcover. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
alexsubALT.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
alexsubALT (𝐽 ∈ Comp ↔ βˆƒπ‘₯(𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,π‘₯,𝐽   𝑋,𝑐,𝑑,π‘₯
Proof of Theorem alexsubALT
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑓 𝑑 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alexsubALT.1 . . 3 𝑋 = βˆͺ 𝐽
21alexsubALTlem1 23772 . 2 (𝐽 ∈ Comp β†’ βˆƒπ‘₯(𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
31alexsubALTlem4 23775 . . . . 5 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏)))
4 velpw 4607 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ 𝒫 𝐽 ↔ 𝑐 βŠ† 𝐽)
5 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ (𝑑 ∈ 𝑋 ↔ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝑐))
653ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ 𝑋 ↔ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝑐))
7 eluni 4911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ βˆͺ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘€(𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ 𝑐))
8 ssel 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑐 βŠ† 𝐽 β†’ (𝑀 ∈ 𝑐 β†’ 𝑀 ∈ 𝐽))
9 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑀 ∈ 𝐽 ↔ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯))))
10 tg2 22689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑀 ∈ (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑀))
1110ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑑 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑀)))
129, 11syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑀 ∈ 𝐽 β†’ (𝑑 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑀))))
138, 12sylan9r 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽) β†’ (𝑀 ∈ 𝑐 β†’ (𝑑 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑀))))
14133impia 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑀)))
15 sseq2 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ 𝑦 βŠ† 𝑀))
1615rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑀 ∈ 𝑐 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑀) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)
1716ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ 𝑐 β†’ (𝑦 βŠ† 𝑀 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧))
18173ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑐) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑀 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧))
1918anim2d 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑐) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑀) β†’ (𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)))
2019reximdv 3169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑐) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑀) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)))
2114, 20syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)))
22213expia 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽) β†’ (𝑀 ∈ 𝑐 β†’ (𝑑 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧))))
2322com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽) β†’ (𝑑 ∈ 𝑀 β†’ (𝑀 ∈ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧))))
2423impd 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ 𝑐) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)))
2524exlimdv 1935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘€(𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ 𝑐) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)))
267, 25biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽) β†’ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)))
27263adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)))
286, 27sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)))
29 ssel 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝑑 ∈ 𝑦 β†’ 𝑑 ∈ 𝑧))
30 elunii 4913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝑐) β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝑐)
3130expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ 𝑐 β†’ (𝑑 ∈ 𝑧 β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝑐))
326biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝑐 β†’ 𝑑 ∈ 𝑋))
3331, 32sylan9r 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑧 ∈ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ 𝑧 β†’ 𝑑 ∈ 𝑋))
3429, 33syl9r 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑧 ∈ 𝑐) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝑑 ∈ 𝑦 β†’ 𝑑 ∈ 𝑋)))
3534rexlimdva 3154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝑑 ∈ 𝑦 β†’ 𝑑 ∈ 𝑋)))
3635com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ 𝑑 ∈ 𝑋)))
3736impd 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧) β†’ 𝑑 ∈ 𝑋))
3837rexlimdvw 3159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧) β†’ 𝑑 ∈ 𝑋))
3928, 38impbid 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ 𝑋 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)))
40 elunirab 4924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ βˆͺ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧))
4139, 40bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ 𝑋 ↔ 𝑑 ∈ βˆͺ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧}))
4241eqrdv 2729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ 𝑋 = βˆͺ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧})
43 ssrab2 4077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} βŠ† (fiβ€˜π‘₯)
44 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (fiβ€˜π‘₯) ∈ V
4544elpw2 5345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ↔ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} βŠ† (fiβ€˜π‘₯))
4643, 45mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)
47 unieq 4919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧})
4847eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ (𝑋 = βˆͺ π‘Ž ↔ 𝑋 = βˆͺ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧}))
49 pweq 4616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ 𝒫 π‘Ž = 𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧})
5049ineq1d 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) = (𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∩ Fin))
5150rexeqdv 3325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏))
5248, 51imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ ((𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) ↔ (𝑋 = βˆͺ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏)))
5352rspcv 3608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ (𝑋 = βˆͺ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏)))
5446, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ (𝑋 = βˆͺ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏))
5542, 54syl5com 31 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏))
56 elfpw 9358 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∩ Fin) ↔ (𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∧ 𝑏 ∈ Fin))
57 ssel 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ (𝑑 ∈ 𝑏 β†’ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧}))
58 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝑑 β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ 𝑑 βŠ† 𝑧))
5958rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = 𝑑 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑑 βŠ† 𝑧))
6059elrab 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 ∈ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ↔ (𝑑 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑑 βŠ† 𝑧))
6160simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑑 βŠ† 𝑧)
6257, 61syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ (𝑑 ∈ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑑 βŠ† 𝑧))
6362ralrimiv 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑑 βŠ† 𝑧)
64 sseq2 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘‘) β†’ (𝑑 βŠ† 𝑧 ↔ 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)))
6564ac6sfi 9291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑏 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑑 βŠ† 𝑧) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)))
6665ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 ∈ Fin β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑑 βŠ† 𝑧 β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘))))
6763, 66syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ Fin β†’ (𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘))))
6867adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) β†’ (𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘))))
69 simprll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ 𝑓:π‘βŸΆπ‘)
70 frn 6724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:π‘βŸΆπ‘ β†’ ran 𝑓 βŠ† 𝑐)
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ ran 𝑓 βŠ† 𝑐)
72 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
73 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓:π‘βŸΆπ‘ β†’ 𝑓 Fn 𝑏)
74 dffn4 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 Fn 𝑏 ↔ 𝑓:𝑏–ontoβ†’ran 𝑓)
7573, 74sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓:π‘βŸΆπ‘ β†’ 𝑓:𝑏–ontoβ†’ran 𝑓)
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) β†’ 𝑓:𝑏–ontoβ†’ran 𝑓)
7776ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ 𝑓:𝑏–ontoβ†’ran 𝑓)
78 fodomfi 9329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑏 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑏–ontoβ†’ran 𝑓) β†’ ran 𝑓 β‰Ό 𝑏)
7972, 77, 78syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ ran 𝑓 β‰Ό 𝑏)
80 domfi 9196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑏 ∈ Fin ∧ ran 𝑓 β‰Ό 𝑏) β†’ ran 𝑓 ∈ Fin)
8172, 79, 80syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ ran 𝑓 ∈ Fin)
8271, 81jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ (ran 𝑓 βŠ† 𝑐 ∧ ran 𝑓 ∈ Fin))
83 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) ↔ (ran 𝑓 ∈ 𝒫 𝑐 ∧ ran 𝑓 ∈ Fin))
84 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑐 ∈ V
8584elpw2 5345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ran 𝑓 ∈ 𝒫 𝑐 ↔ ran 𝑓 βŠ† 𝑐)
8685anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ran 𝑓 ∈ 𝒫 𝑐 ∧ ran 𝑓 ∈ Fin) ↔ (ran 𝑓 βŠ† 𝑐 ∧ ran 𝑓 ∈ Fin))
8783, 86bitr2i 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ran 𝑓 βŠ† 𝑐 ∧ ran 𝑓 ∈ Fin) ↔ ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin))
8882, 87sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin))
89 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)
90 uniiun 5061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 βˆͺ 𝑏 = βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑏 𝑑
91 simprlr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘))
92 ss2iun 5015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑏 (π‘“β€˜π‘‘))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑏 (π‘“β€˜π‘‘))
9490, 93eqsstrid 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ βˆͺ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑏 (π‘“β€˜π‘‘))
95 fniunfv 7249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 Fn 𝑏 β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑏 (π‘“β€˜π‘‘) = βˆͺ ran 𝑓)
9669, 73, 953syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑏 (π‘“β€˜π‘‘) = βˆͺ ran 𝑓)
9794, 96sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ βˆͺ 𝑏 βŠ† βˆͺ ran 𝑓)
9889, 97eqsstrd 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ ran 𝑓)
99 simpll2 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ 𝑐 βŠ† 𝐽)
10071, 99sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ ran 𝑓 βŠ† 𝐽)
101 uniss 4916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ran 𝑓 βŠ† 𝐽 β†’ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝐽)
102101, 1sseqtrrdi 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ran 𝑓 βŠ† 𝐽 β†’ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† 𝑋)
103100, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† 𝑋)
10498, 103eqssd 3999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ 𝑋 = βˆͺ ran 𝑓)
105 unieq 4919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 = ran 𝑓 β†’ βˆͺ 𝑑 = βˆͺ ran 𝑓)
106105eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 = ran 𝑓 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ↔ 𝑋 = βˆͺ ran 𝑓))
107106rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ ran 𝑓) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)
10888, 104, 107syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)
109108exp32 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) β†’ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
110109exlimdv 1935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
11168, 110syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) β†’ (𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
112111ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑏 ∈ Fin β†’ (𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑))))
113112com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ (𝑏 ∈ Fin β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑))))
114113impd 410 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ ((𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∧ 𝑏 ∈ Fin) β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
11556, 114biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑏 ∈ (𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∩ Fin) β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
116115rexlimdv 3152 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑))
11755, 116syld 47 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑))
1181173exp 1118 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑐 βŠ† 𝐽 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑))))
119118com34 91 . . . . . . . . . 10 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑐 βŠ† 𝐽 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑))))
120119com23 86 . . . . . . . . 9 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ (𝑐 βŠ† 𝐽 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑))))
1214, 120syl7bi 255 . . . . . . . 8 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ (𝑐 ∈ 𝒫 𝐽 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑))))
122121ralrimdv 3151 . . . . . . 7 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
123 fibas 22701 . . . . . . . . 9 (fiβ€˜π‘₯) ∈ TopBases
124 tgcl 22693 . . . . . . . . 9 ((fiβ€˜π‘₯) ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∈ Top)
125123, 124ax-mp 5 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∈ Top
126 eleq1 2820 . . . . . . . 8 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (𝐽 ∈ Top ↔ (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∈ Top))
127125, 126mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
128122, 127jctild 525 . . . . . 6 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑))))
1291iscmp 23113 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Comp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
130128, 129imbitrrdi 251 . . . . 5 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ 𝐽 ∈ Comp))
1313, 130syld 47 . . . 4 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) β†’ 𝐽 ∈ Comp))
132131imp 406 . . 3 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
133132exlimiv 1932 . 2 (βˆƒπ‘₯(𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
1342, 133impbii 208 1 (𝐽 ∈ Comp ↔ βˆƒπ‘₯(𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543   β‰Ό cdom 8941  Fincfn 8943  ficfi 9409  topGenctg 17388  Topctop 22616  TopBasesctb 22669  Compccmp 23111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-ac2 10462
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-rpss 7717  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-fin 8947  df-fi 9410  df-card 9938  df-ac 10115  df-topgen 17394  df-top 22617  df-bases 22670  df-cmp 23112
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator