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Theorem alexsubALT 23775
Description: The Alexander Subbase Theorem: a space is compact iff it has a subbase such that any cover taken from the subbase has a finite subcover. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
alexsubALT.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
alexsubALT (𝐽 ∈ Comp ↔ βˆƒπ‘₯(𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,π‘₯,𝐽   𝑋,𝑐,𝑑,π‘₯
Proof of Theorem alexsubALT
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑓 𝑑 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alexsubALT.1 . . 3 𝑋 = βˆͺ 𝐽
21alexsubALTlem1 23771 . 2 (𝐽 ∈ Comp β†’ βˆƒπ‘₯(𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
31alexsubALTlem4 23774 . . . . 5 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏)))
4 velpw 4606 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ 𝒫 𝐽 ↔ 𝑐 βŠ† 𝐽)
5 eleq2 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ (𝑑 ∈ 𝑋 ↔ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝑐))
653ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ 𝑋 ↔ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝑐))
7 eluni 4910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ βˆͺ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘€(𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ 𝑐))
8 ssel 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑐 βŠ† 𝐽 β†’ (𝑀 ∈ 𝑐 β†’ 𝑀 ∈ 𝐽))
9 eleq2 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑀 ∈ 𝐽 ↔ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯))))
10 tg2 22688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑀 ∈ (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑀))
1110ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑑 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑀)))
129, 11syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑀 ∈ 𝐽 β†’ (𝑑 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑀))))
138, 12sylan9r 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽) β†’ (𝑀 ∈ 𝑐 β†’ (𝑑 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑀))))
14133impia 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑀)))
15 sseq2 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ 𝑦 βŠ† 𝑀))
1615rspcev 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑀 ∈ 𝑐 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑀) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)
1716ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ 𝑐 β†’ (𝑦 βŠ† 𝑀 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧))
18173ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑐) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑀 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧))
1918anim2d 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑐) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑀) β†’ (𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)))
2019reximdv 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑐) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑀) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)))
2114, 20syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)))
22213expia 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽) β†’ (𝑀 ∈ 𝑐 β†’ (𝑑 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧))))
2322com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽) β†’ (𝑑 ∈ 𝑀 β†’ (𝑀 ∈ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧))))
2423impd 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ 𝑐) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)))
2524exlimdv 1934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘€(𝑑 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ 𝑐) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)))
267, 25biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽) β†’ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)))
27263adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)))
286, 27sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)))
29 ssel 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝑑 ∈ 𝑦 β†’ 𝑑 ∈ 𝑧))
30 elunii 4912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝑐) β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝑐)
3130expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ 𝑐 β†’ (𝑑 ∈ 𝑧 β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝑐))
326biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝑐 β†’ 𝑑 ∈ 𝑋))
3331, 32sylan9r 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑧 ∈ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ 𝑧 β†’ 𝑑 ∈ 𝑋))
3429, 33syl9r 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑧 ∈ 𝑐) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝑑 ∈ 𝑦 β†’ 𝑑 ∈ 𝑋)))
3534rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝑑 ∈ 𝑦 β†’ 𝑑 ∈ 𝑋)))
3635com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ 𝑑 ∈ 𝑋)))
3736impd 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧) β†’ 𝑑 ∈ 𝑋))
3837rexlimdvw 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧) β†’ 𝑑 ∈ 𝑋))
3928, 38impbid 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ 𝑋 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧)))
40 elunirab 4923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ βˆͺ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (fiβ€˜π‘₯)(𝑑 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧))
4139, 40bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑑 ∈ 𝑋 ↔ 𝑑 ∈ βˆͺ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧}))
4241eqrdv 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ 𝑋 = βˆͺ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧})
43 ssrab2 4076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} βŠ† (fiβ€˜π‘₯)
44 fvex 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (fiβ€˜π‘₯) ∈ V
4544elpw2 5344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ↔ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} βŠ† (fiβ€˜π‘₯))
4643, 45mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)
47 unieq 4918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧})
4847eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ (𝑋 = βˆͺ π‘Ž ↔ 𝑋 = βˆͺ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧}))
49 pweq 4615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ 𝒫 π‘Ž = 𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧})
5049ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) = (𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∩ Fin))
5150rexeqdv 3324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏))
5248, 51imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ ((𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) ↔ (𝑋 = βˆͺ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏)))
5352rspcv 3607 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ (𝑋 = βˆͺ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏)))
5446, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ (𝑋 = βˆͺ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏))
5542, 54syl5com 31 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏))
56 elfpw 9356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∩ Fin) ↔ (𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∧ 𝑏 ∈ Fin))
57 ssel 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ (𝑑 ∈ 𝑏 β†’ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧}))
58 sseq1 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝑑 β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ 𝑑 βŠ† 𝑧))
5958rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = 𝑑 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑑 βŠ† 𝑧))
6059elrab 3682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 ∈ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ↔ (𝑑 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑑 βŠ† 𝑧))
6160simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑑 βŠ† 𝑧)
6257, 61syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ (𝑑 ∈ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑑 βŠ† 𝑧))
6362ralrimiv 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑑 βŠ† 𝑧)
64 sseq2 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘‘) β†’ (𝑑 βŠ† 𝑧 ↔ 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)))
6564ac6sfi 9289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑏 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑑 βŠ† 𝑧) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)))
6665ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 ∈ Fin β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑑 βŠ† 𝑧 β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘))))
6763, 66syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ Fin β†’ (𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘))))
6867adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) β†’ (𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘))))
69 simprll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ 𝑓:π‘βŸΆπ‘)
70 frn 6723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:π‘βŸΆπ‘ β†’ ran 𝑓 βŠ† 𝑐)
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ ran 𝑓 βŠ† 𝑐)
72 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
73 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓:π‘βŸΆπ‘ β†’ 𝑓 Fn 𝑏)
74 dffn4 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 Fn 𝑏 ↔ 𝑓:𝑏–ontoβ†’ran 𝑓)
7573, 74sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓:π‘βŸΆπ‘ β†’ 𝑓:𝑏–ontoβ†’ran 𝑓)
7675adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) β†’ 𝑓:𝑏–ontoβ†’ran 𝑓)
7776ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ 𝑓:𝑏–ontoβ†’ran 𝑓)
78 fodomfi 9327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑏 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑏–ontoβ†’ran 𝑓) β†’ ran 𝑓 β‰Ό 𝑏)
7972, 77, 78syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ ran 𝑓 β‰Ό 𝑏)
80 domfi 9194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑏 ∈ Fin ∧ ran 𝑓 β‰Ό 𝑏) β†’ ran 𝑓 ∈ Fin)
8172, 79, 80syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ ran 𝑓 ∈ Fin)
8271, 81jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ (ran 𝑓 βŠ† 𝑐 ∧ ran 𝑓 ∈ Fin))
83 elin 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) ↔ (ran 𝑓 ∈ 𝒫 𝑐 ∧ ran 𝑓 ∈ Fin))
84 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑐 ∈ V
8584elpw2 5344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ran 𝑓 ∈ 𝒫 𝑐 ↔ ran 𝑓 βŠ† 𝑐)
8685anbi1i 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ran 𝑓 ∈ 𝒫 𝑐 ∧ ran 𝑓 ∈ Fin) ↔ (ran 𝑓 βŠ† 𝑐 ∧ ran 𝑓 ∈ Fin))
8783, 86bitr2i 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ran 𝑓 βŠ† 𝑐 ∧ ran 𝑓 ∈ Fin) ↔ ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin))
8882, 87sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin))
89 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)
90 uniiun 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 βˆͺ 𝑏 = βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑏 𝑑
91 simprlr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘))
92 ss2iun 5014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑏 (π‘“β€˜π‘‘))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑏 (π‘“β€˜π‘‘))
9490, 93eqsstrid 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ βˆͺ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑏 (π‘“β€˜π‘‘))
95 fniunfv 7248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 Fn 𝑏 β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑏 (π‘“β€˜π‘‘) = βˆͺ ran 𝑓)
9669, 73, 953syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑏 (π‘“β€˜π‘‘) = βˆͺ ran 𝑓)
9794, 96sseqtrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ βˆͺ 𝑏 βŠ† βˆͺ ran 𝑓)
9889, 97eqsstrd 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ ran 𝑓)
99 simpll2 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ 𝑐 βŠ† 𝐽)
10071, 99sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ ran 𝑓 βŠ† 𝐽)
101 uniss 4915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ran 𝑓 βŠ† 𝐽 β†’ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝐽)
102101, 1sseqtrrdi 4032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ran 𝑓 βŠ† 𝐽 β†’ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† 𝑋)
103100, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† 𝑋)
10498, 103eqssd 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ 𝑋 = βˆͺ ran 𝑓)
105 unieq 4918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 = ran 𝑓 β†’ βˆͺ 𝑑 = βˆͺ ran 𝑓)
106105eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 = ran 𝑓 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ↔ 𝑋 = βˆͺ ran 𝑓))
107106rspcev 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ ran 𝑓) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)
10888, 104, 107syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)
109108exp32 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) β†’ ((𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
110109exlimdv 1934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:π‘βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑏 𝑑 βŠ† (π‘“β€˜π‘‘)) β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
11168, 110syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ Fin) β†’ (𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
112111ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑏 ∈ Fin β†’ (𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑))))
113112com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} β†’ (𝑏 ∈ Fin β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑))))
114113impd 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ ((𝑏 βŠ† {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∧ 𝑏 ∈ Fin) β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
11556, 114biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (𝑏 ∈ (𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∩ Fin) β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
116115rexlimdv 3151 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 {𝑦 ∈ (fiβ€˜π‘₯) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑐 𝑦 βŠ† 𝑧} ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑))
11755, 116syld 47 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑐 βŠ† 𝐽 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑐) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑))
1181173exp 1117 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑐 βŠ† 𝐽 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑))))
119118com34 91 . . . . . . . . . 10 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑐 βŠ† 𝐽 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑))))
120119com23 86 . . . . . . . . 9 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ (𝑐 βŠ† 𝐽 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑))))
1214, 120syl7bi 254 . . . . . . . 8 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ (𝑐 ∈ 𝒫 𝐽 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑))))
122121ralrimdv 3150 . . . . . . 7 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
123 fibas 22700 . . . . . . . . 9 (fiβ€˜π‘₯) ∈ TopBases
124 tgcl 22692 . . . . . . . . 9 ((fiβ€˜π‘₯) ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∈ Top)
125123, 124ax-mp 5 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∈ Top
126 eleq1 2819 . . . . . . . 8 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (𝐽 ∈ Top ↔ (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∈ Top))
127125, 126mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
128122, 127jctild 524 . . . . . 6 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑))))
1291iscmp 23112 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Comp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
130128, 129imbitrrdi 251 . . . . 5 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)(𝑋 = βˆͺ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏) β†’ 𝐽 ∈ Comp))
1313, 130syld 47 . . . 4 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) β†’ 𝐽 ∈ Comp))
132131imp 405 . . 3 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
133132exlimiv 1931 . 2 (βˆƒπ‘₯(𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
1342, 133impbii 208 1 (𝐽 ∈ Comp ↔ βˆƒπ‘₯(𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147  ran crn 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542   β‰Ό cdom 8939  Fincfn 8941  ficfi 9407  topGenctg 17387  Topctop 22615  TopBasesctb 22668  Compccmp 23110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-ac2 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-rpss 7715  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945  df-fi 9408  df-card 9936  df-ac 10113  df-topgen 17393  df-top 22616  df-bases 22669  df-cmp 23111
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