MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txlm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txlm 23022
Description: Two sequences converge iff the sequence of their ordered pairs converges. Proposition 14-2.6 of [Gleason] p. 230. (Contributed by NM, 16-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txlm.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
txlm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
txlm.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
txlm.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
txlm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
txlm.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆπ‘Œ)
txlm.h 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)
Assertion
Ref Expression
txlm (πœ‘ β†’ ((𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅 ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆) ↔ 𝐻(β‡π‘‘β€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   πœ‘,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐽   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,π‘Œ   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem txlm
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑒 𝑣 𝑀 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.27v 3181 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
2 r19.28v 3183 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
32ralimi 3083 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
41, 3syl 17 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
5 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾))
6 txlm.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
7 topontop 22285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
9 txlm.k . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
10 topontop 22285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Top)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
12 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
1312txval 22938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
148, 11, 13syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
1514adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
165, 15eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
17 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀)) β†’ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀)
18 tg2 22338 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))) ∧ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑀))
1916, 17, 18syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑀))
20 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑒 ∈ V
21 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑣 ∈ V
2220, 21xpex 7691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ V
2322rgen2w 3066 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ V
24 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
25 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑑 ↔ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣)))
26 sseq1 3973 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣) β†’ (𝑑 βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀))
2725, 26anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣) β†’ ((βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑀) ↔ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
2824, 27rexrnmpo 7499 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑀) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
2923, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘‘ ∈ ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑀) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀))
3019, 29sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀))
3130ex 414 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
32 r19.29 3114 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
33 r19.29 3114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
34 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣))
35 opelxp 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ (𝑅 ∈ 𝑒 ∧ 𝑆 ∈ 𝑣))
3634, 35sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ (𝑅 ∈ 𝑒 ∧ 𝑆 ∈ 𝑣))
37 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
38 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ ((𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))
3937, 38im2anan9 621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ 𝑒 ∧ 𝑆 ∈ 𝑣) β†’ (((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
4036, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ (((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
41 txlm.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4241rexanuz2 15243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) ↔ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))
4341uztrn2 12790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
44 opelxpi 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘˜), (πΊβ€˜π‘˜)⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣))
45 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘˜))
46 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘˜))
4745, 46opeq12d 4842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 = π‘˜ β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩ = ⟨(πΉβ€˜π‘˜), (πΊβ€˜π‘˜)⟩)
48 txlm.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)
49 opex 5425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⟨(πΉβ€˜π‘˜), (πΊβ€˜π‘˜)⟩ ∈ V
5047, 48, 49fvmpt 6952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ (π»β€˜π‘˜) = ⟨(πΉβ€˜π‘˜), (πΊβ€˜π‘˜)⟩)
5150eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ ⟨(πΉβ€˜π‘˜), (πΊβ€˜π‘˜)⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣)))
5244, 51syl5ibr 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— 𝑣)))
5352adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— 𝑣)))
54 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)
5554sseld 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
5653, 55syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
5743, 56sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
5857anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
5958ralimdva 3161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
6059reximdva 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
6142, 60biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ ((βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
6240, 61syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ (((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
6362ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ ((βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ (((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
6463impcomd 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ ((((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
6564rexlimdva 3149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
6633, 65syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ ((βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
6766rexlimdva 3149 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
6832, 67syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
6968expcomd 418 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
7031, 69syld 47 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
7170expdimp 454 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
7271com23 86 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
7372ralrimdva 3148 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
744, 73syl5 34 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
7574adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ)) β†’ ((βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
768adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
7711adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐾 ∈ Top)
78 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
79 toponmax 22298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
809, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
8180adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
82 txopn 22976 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾)) β†’ (𝑒 Γ— π‘Œ) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾))
8376, 77, 78, 81, 82syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑒 Γ— π‘Œ) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾))
84 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ)))
85 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀 ↔ (π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ)))
8685rexralbidv 3211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ)))
8784, 86imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ ((βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) ↔ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ))))
8887rspcv 3579 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 Γ— π‘Œ) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ))))
8983, 88syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ))))
90 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ 𝑆 ∈ π‘Œ)
91 opelxpi 5674 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ 𝑒 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) β†’ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ))
9290, 91sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ 𝑒 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽))) β†’ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ))
9392expcom 415 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ)))
9450eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) ↔ ⟨(πΉβ€˜π‘˜), (πΊβ€˜π‘˜)⟩ ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ)))
95 opelxp1 5678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨(πΉβ€˜π‘˜), (πΊβ€˜π‘˜)⟩ ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)
9694, 95syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
9743, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
9897ralimdva 3161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
9998reximia 3081 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)
10099a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
10193, 100imim12d 81 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ ((βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ)) β†’ (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
10289, 101syld 47 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
103102anassrs 469 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
104103ralrimdva 3148 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
105104adantrl 715 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
1068adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
10711adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ Top)
108 toponmax 22298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
1096, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
110109adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
111 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐾)
112 txopn 22976 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑣) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾))
113106, 107, 110, 111, 112syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑣) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾))
114 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑣)))
115 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀 ↔ (π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣)))
116115rexralbidv 3211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣)))
117114, 116imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ ((βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) ↔ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣))))
118117rspcv 3579 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 Γ— 𝑣) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣))))
119113, 118syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣))))
120 opelxpi 5674 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝑣) β†’ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑣))
121120ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ 𝑋 β†’ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑣)))
122121ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑣)))
12350eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) ↔ ⟨(πΉβ€˜π‘˜), (πΊβ€˜π‘˜)⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑣)))
124 opelxp2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨(πΉβ€˜π‘˜), (πΊβ€˜π‘˜)⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)
125123, 124syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))
12643, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))
127126ralimdva 3161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))
128127reximia 3081 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)
129128a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))
130122, 129imim12d 81 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ ((βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
131119, 130syld 47 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
132131anassrs 469 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
133132ralrimdva 3148 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
134133adantrr 716 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
135105, 134jcad 514 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))))
13675, 135impbid 211 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ)) β†’ ((βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
137136pm5.32da 580 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) ∧ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))))
138 opelxp 5673 . . . 4 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ))
139138anbi1i 625 . . 3 ((βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
140137, 139bitr4di 289 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) ∧ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))) ↔ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))))
141 txlm.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
142 txlm.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
143 eqidd 2734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
1446, 41, 141, 142, 143lmbrf 22634 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅 ↔ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
145 txlm.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆπ‘Œ)
146 eqidd 2734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘˜))
1479, 41, 141, 145, 146lmbrf 22634 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆 ↔ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))))
148144, 147anbi12d 632 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅 ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))))
149 an4 655 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) ∧ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))))
150148, 149bitrdi 287 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅 ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) ∧ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))))
151 txtopon 22965 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
1526, 9, 151syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
153142ffvelcdmda 7039 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋)
154145ffvelcdmda 7039 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ π‘Œ)
155153, 154opelxpd 5675 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
156155, 48fmptd 7066 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘βŸΆ(𝑋 Γ— π‘Œ))
157 eqidd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘˜) = (π»β€˜π‘˜))
158152, 41, 141, 156, 157lmbrf 22634 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻(β‡π‘‘β€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ↔ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))))
159140, 150, 1583bitr4d 311 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅 ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆) ↔ 𝐻(β‡π‘‘β€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βŸ¨cop 4596   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  ran crn 5638  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  topGenctg 17327  Topctop 22265  TopOnctopon 22282  β‡π‘‘clm 22600   Γ—t ctx 22934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-neg 11396  df-z 12508  df-uz 12772  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-lm 22603  df-tx 22936
This theorem is referenced by:  lmcn2  23023
  Copyright terms: Public domain W3C validator