MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txlm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txlm 23151
Description: Two sequences converge iff the sequence of their ordered pairs converges. Proposition 14-2.6 of [Gleason] p. 230. (Contributed by NM, 16-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txlm.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
txlm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
txlm.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
txlm.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
txlm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
txlm.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆπ‘Œ)
txlm.h 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)
Assertion
Ref Expression
txlm (πœ‘ β†’ ((𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅 ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆) ↔ 𝐻(β‡π‘‘β€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   πœ‘,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐽   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,π‘Œ   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem txlm
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑒 𝑣 𝑀 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.27v 3187 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
2 r19.28v 3189 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
32ralimi 3083 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
41, 3syl 17 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
5 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾))
6 txlm.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
7 topontop 22414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
9 txlm.k . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
10 topontop 22414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Top)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
12 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
1312txval 23067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
148, 11, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
165, 15eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
17 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀)) β†’ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀)
18 tg2 22467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))) ∧ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑀))
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑀))
20 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑒 ∈ V
21 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑣 ∈ V
2220, 21xpex 7739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ V
2322rgen2w 3066 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ V
24 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
25 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑑 ↔ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣)))
26 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣) β†’ (𝑑 βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀))
2725, 26anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣) β†’ ((βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑀) ↔ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
2824, 27rexrnmpo 7547 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑀) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
2923, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘‘ ∈ ran (𝑒 ∈ 𝐽, 𝑣 ∈ 𝐾 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑀) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀))
3019, 29sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀))
3130ex 413 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
32 r19.29 3114 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
33 r19.29 3114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
34 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣))
35 opelxp 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ (𝑅 ∈ 𝑒 ∧ 𝑆 ∈ 𝑣))
3634, 35sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ (𝑅 ∈ 𝑒 ∧ 𝑆 ∈ 𝑣))
37 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
38 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ ((𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))
3937, 38im2anan9 620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ 𝑒 ∧ 𝑆 ∈ 𝑣) β†’ (((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
4036, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ (((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
41 txlm.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4241rexanuz2 15295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) ↔ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))
4341uztrn2 12840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
44 opelxpi 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘˜), (πΊβ€˜π‘˜)⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣))
45 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘˜))
46 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘˜))
4745, 46opeq12d 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 = π‘˜ β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩ = ⟨(πΉβ€˜π‘˜), (πΊβ€˜π‘˜)⟩)
48 txlm.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩)
49 opex 5464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⟨(πΉβ€˜π‘˜), (πΊβ€˜π‘˜)⟩ ∈ V
5047, 48, 49fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ (π»β€˜π‘˜) = ⟨(πΉβ€˜π‘˜), (πΊβ€˜π‘˜)⟩)
5150eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ ⟨(πΉβ€˜π‘˜), (πΊβ€˜π‘˜)⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣)))
5244, 51imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— 𝑣)))
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— 𝑣)))
54 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)
5554sseld 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
5653, 55syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
5743, 56sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
5857anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
5958ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
6059reximdva 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
6142, 60biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ ((βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
6240, 61syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ (((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
6362ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ ((βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ (((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
6463impcomd 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ ((((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
6564rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
6633, 65syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ ((βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
6766rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
6832, 67syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))
6968expcomd 417 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
7031, 69syld 47 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
7170expdimp 453 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
7271com23 86 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
7372ralrimdva 3154 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 ((𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
744, 73syl5 34 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
7574adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ)) β†’ ((βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
768adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
7711adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐾 ∈ Top)
78 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
79 toponmax 22427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
809, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
8180adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
82 txopn 23105 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾)) β†’ (𝑒 Γ— π‘Œ) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾))
8376, 77, 78, 81, 82syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑒 Γ— π‘Œ) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾))
84 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ)))
85 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀 ↔ (π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ)))
8685rexralbidv 3220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ)))
8784, 86imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ ((βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) ↔ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ))))
8887rspcv 3608 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 Γ— π‘Œ) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ))))
8983, 88syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ))))
90 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ 𝑆 ∈ π‘Œ)
91 opelxpi 5713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ 𝑒 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) β†’ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ))
9290, 91sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ 𝑒 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽))) β†’ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ))
9392expcom 414 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ)))
9450eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) ↔ ⟨(πΉβ€˜π‘˜), (πΊβ€˜π‘˜)⟩ ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ)))
95 opelxp1 5718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨(πΉβ€˜π‘˜), (πΊβ€˜π‘˜)⟩ ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)
9694, 95syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
9743, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
9897ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
9998reximia 3081 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)
10099a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
10193, 100imim12d 81 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ ((βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑒 Γ— π‘Œ)) β†’ (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
10289, 101syld 47 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
103102anassrs 468 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
104103ralrimdva 3154 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
105104adantrl 714 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
1068adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
10711adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ Top)
108 toponmax 22427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
1096, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
110109adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
111 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐾)
112 txopn 23105 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑣) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾))
113106, 107, 110, 111, 112syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑣) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾))
114 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑣)))
115 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀 ↔ (π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣)))
116115rexralbidv 3220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣)))
117114, 116imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ ((βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) ↔ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣))))
118117rspcv 3608 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 Γ— 𝑣) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣))))
119113, 118syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣))))
120 opelxpi 5713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝑣) β†’ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑣))
121120ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ 𝑋 β†’ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑣)))
122121ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑣)))
12350eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) ↔ ⟨(πΉβ€˜π‘˜), (πΊβ€˜π‘˜)⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑣)))
124 opelxp2 5719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨(πΉβ€˜π‘˜), (πΊβ€˜π‘˜)⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)
125123, 124syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))
12643, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))
127126ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))
128127reximia 3081 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)
129128a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))
130122, 129imim12d 81 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ ((βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ (𝑋 Γ— 𝑣)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
131119, 130syld 47 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
132131anassrs 468 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
133132ralrimdva 3154 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
134133adantrr 715 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
135105, 134jcad 513 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))))
13675, 135impbid 211 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ)) β†’ ((βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
137136pm5.32da 579 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) ∧ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))))
138 opelxp 5712 . . . 4 (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ))
139138anbi1i 624 . . 3 ((βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀)))
140137, 139bitr4di 288 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) ∧ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))) ↔ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))))
141 txlm.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
142 txlm.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
143 eqidd 2733 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
1446, 41, 141, 142, 143lmbrf 22763 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅 ↔ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
145 txlm.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆπ‘Œ)
146 eqidd 2733 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘˜))
1479, 41, 141, 145, 146lmbrf 22763 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆 ↔ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))))
148144, 147anbi12d 631 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅 ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))))
149 an4 654 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑆 ∈ π‘Œ ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) ∧ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))))
150148, 149bitrdi 286 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅 ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ π‘Œ) ∧ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑅 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))))
151 txtopon 23094 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
1526, 9, 151syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
153142ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋)
154145ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ π‘Œ)
155153, 154opelxpd 5715 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘›), (πΊβ€˜π‘›)⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
156155, 48fmptd 7113 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘βŸΆ(𝑋 Γ— π‘Œ))
157 eqidd 2733 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘˜) = (π»β€˜π‘˜))
158152, 41, 141, 156, 157lmbrf 22763 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻(β‡π‘‘β€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ↔ (βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ© ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π»β€˜π‘˜) ∈ 𝑀))))
159140, 150, 1583bitr4d 310 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑅 ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑆) ↔ 𝐻(β‡π‘‘β€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  topGenctg 17382  Topctop 22394  TopOnctopon 22411  β‡π‘‘clm 22729   Γ—t ctx 23063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-neg 11446  df-z 12558  df-uz 12822  df-topgen 17388  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-lm 22732  df-tx 23065
This theorem is referenced by:  lmcn2  23152
  Copyright terms: Public domain W3C validator