MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elcls3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcls3 21379
Description: Membership in a closure in terms of the members of a basis. Theorem 6.5(b) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elcls3.1 (𝜑𝐽 = (topGen‘𝐵))
elcls3.2 (𝜑𝑋 = 𝐽)
elcls3.3 (𝜑𝐵 ∈ TopBases)
elcls3.4 (𝜑𝑆𝑋)
elcls3.5 (𝜑𝑃𝑋)
Assertion
Ref Expression
elcls3 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem elcls3
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elcls3.1 . . . 4 (𝜑𝐽 = (topGen‘𝐵))
2 elcls3.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ TopBases)
3 tgcl 21265 . . . . 5 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
51, 4eqeltrd 2885 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 elcls3.4 . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
7 elcls3.2 . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝐽)
86, 7sseqtrd 3934 . . 3 (𝜑𝑆 𝐽)
9 elcls3.5 . . . 4 (𝜑𝑃𝑋)
109, 7eleqtrd 2887 . . 3 (𝜑𝑃 𝐽)
11 eqid 2797 . . . 4 𝐽 = 𝐽
1211elcls 21369 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽𝑃 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
135, 8, 10, 12syl3anc 1364 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
14 bastg 21262 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
152, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1615, 1sseqtr4d 3935 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐽)
1716sseld 3894 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦𝐽))
1817imim1d 82 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐽 → (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)) → (𝑦𝐵 → (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅))))
1918ralimdv2 3145 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑦𝐵 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
20 eleq2w 2868 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑃𝑦𝑃𝑥))
21 ineq1 4107 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑆) = (𝑥𝑆))
2221neeq1d 3045 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑥𝑆) ≠ ∅))
2320, 22imbi12d 346 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) ↔ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
2423cbvralv 3405 . . . 4 (∀𝑦𝐵 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))
2519, 24syl6ib 252 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
26 simprl 767 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → 𝑦𝐽)
271ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → 𝐽 = (topGen‘𝐵))
2826, 27eleqtrd 2887 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
29 simprr 769 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → 𝑃𝑦)
30 tg2 21261 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑃𝑦) → ∃𝑧𝐵 (𝑃𝑧𝑧𝑦))
3128, 29, 30syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → ∃𝑧𝐵 (𝑃𝑧𝑧𝑦))
32 eleq2w 2868 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝑃𝑥𝑃𝑧))
33 ineq1 4107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑆) = (𝑧𝑆))
3433neeq1d 3045 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑧𝑆) ≠ ∅))
3532, 34imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ↔ (𝑃𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅)))
3635rspccva 3560 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑃𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅))
3736imp 407 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑃𝑧) → (𝑧𝑆) ≠ ∅)
38 ssdisj 4329 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑦 ∧ (𝑦𝑆) = ∅) → (𝑧𝑆) = ∅)
3938ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑦 → ((𝑦𝑆) = ∅ → (𝑧𝑆) = ∅))
4039necon3d 3007 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑦 → ((𝑧𝑆) ≠ ∅ → (𝑦𝑆) ≠ ∅))
4137, 40syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑃𝑧) → (𝑧𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅))
4241exp31 420 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑧𝐵 → (𝑃𝑧 → (𝑧𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅))))
4342imp4a 423 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑧𝐵 → ((𝑃𝑧𝑧𝑦) → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
4443rexlimdv 3248 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (∃𝑧𝐵 (𝑃𝑧𝑧𝑦) → (𝑦𝑆) ≠ ∅))
4544ad2antlr 723 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → (∃𝑧𝐵 (𝑃𝑧𝑧𝑦) → (𝑦𝑆) ≠ ∅))
4631, 45mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → (𝑦𝑆) ≠ ∅)
4746exp43 437 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑦𝐽 → (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅))))
4847ralrimdv 3157 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
4925, 48impbid 213 . 2 (𝜑 → (∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
5013, 49bitrd 280 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  wral 3107  wrex 3108  cin 3864  wss 3865  c0 4217   cuni 4751  cfv 6232  topGenctg 16544  Topctop 21189  TopBasesctb 21241  clsccl 21314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-topgen 16550  df-top 21190  df-bases 21242  df-cld 21315  df-ntr 21316  df-cls 21317
This theorem is referenced by:  2ndcsep  21755  ptclsg  21911  qdensere  23065
  Copyright terms: Public domain W3C validator