Theorem elcls3 23004

Description: Membership in a closure in terms of the members of a basis. Theorem 6.5(b) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elcls3.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 = (topGen‘𝐵))
elcls3.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
elcls3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ TopBases)
elcls3.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
elcls3.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
elcls3	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem elcls3

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcls3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (topGen‘𝐵))
2		elcls3.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ TopBases)
3		tgcl 22890	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
5	1, 4	eqeltrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		elcls3.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
7		elcls3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
8	6, 7	sseqtrd 3966	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
9		elcls3.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
10	9, 7	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
11		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
12	11	elcls 22994	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
13	5, 8, 10, 12	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
14		bastg 22887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
15	2, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
16	15, 1	sseqtrrd 3967	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐽)
17	16	sseld 3928	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐽))
18	17	imim1d 82	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
19	18	ralimdv2 3141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
20		eleq2w 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑃 ∈ 𝑦 ↔ 𝑃 ∈ 𝑥))
21		ineq1 4162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆))
22	21	neeq1d 2987	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
23	20, 22	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ↔ (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
24	23	cbvralvw 3210	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
25	19, 24	imbitrdi 251	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
26		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐽)
27	1	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → 𝐽 = (topGen‘𝐵))
28	26, 27	eleqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
29		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → 𝑃 ∈ 𝑦)
30		tg2 22886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))
31	28, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))
32		eleq2w 2815	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑃 ∈ 𝑥 ↔ 𝑃 ∈ 𝑧))
33		ineq1 4162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∩ 𝑆) = (𝑧 ∩ 𝑆))
34	33	neeq1d 2987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
35	32, 34	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ↔ (𝑃 ∈ 𝑧 → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
36	35	rspccva 3571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝑧 → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
37	36	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑧) → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
38		ssdisj 4409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑦 ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) = ∅) → (𝑧 ∩ 𝑆) = ∅)
39	38	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝑆) = ∅ → (𝑧 ∩ 𝑆) = ∅))
40	39	necon3d 2949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
41	37, 40	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑧) → (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
42	41	exp31 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑃 ∈ 𝑧 → (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
43	42	imp4a 422	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑃 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
44	43	rexlimdv 3131	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
45	44	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
46	31, 45	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
47	46	exp43 436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
48	47	ralrimdv 3130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
49	25, 48	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
50	13, 49	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4282  ∪ cuni 4858  ‘cfv 6487  topGenctg 17347  Topctop 22814  TopBasesctb 22866  clsccl 22939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-topgen 17353  df-top 22815  df-bases 22867  df-cld 22940  df-ntr 22941  df-cls 22942

This theorem is referenced by:  2ndcsep  23380  ptclsg  23536  qdensere  24690