MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elcls3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcls3 21980
Description: Membership in a closure in terms of the members of a basis. Theorem 6.5(b) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elcls3.1 (𝜑𝐽 = (topGen‘𝐵))
elcls3.2 (𝜑𝑋 = 𝐽)
elcls3.3 (𝜑𝐵 ∈ TopBases)
elcls3.4 (𝜑𝑆𝑋)
elcls3.5 (𝜑𝑃𝑋)
Assertion
Ref Expression
elcls3 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem elcls3
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elcls3.1 . . . 4 (𝜑𝐽 = (topGen‘𝐵))
2 elcls3.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ TopBases)
3 tgcl 21866 . . . . 5 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
51, 4eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 elcls3.4 . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
7 elcls3.2 . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝐽)
86, 7sseqtrd 3941 . . 3 (𝜑𝑆 𝐽)
9 elcls3.5 . . . 4 (𝜑𝑃𝑋)
109, 7eleqtrd 2840 . . 3 (𝜑𝑃 𝐽)
11 eqid 2737 . . . 4 𝐽 = 𝐽
1211elcls 21970 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽𝑃 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
135, 8, 10, 12syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
14 bastg 21863 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
152, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1615, 1sseqtrrd 3942 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐽)
1716sseld 3900 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦𝐽))
1817imim1d 82 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐽 → (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)) → (𝑦𝐵 → (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅))))
1918ralimdv2 3099 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑦𝐵 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
20 eleq2w 2821 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑃𝑦𝑃𝑥))
21 ineq1 4120 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑆) = (𝑥𝑆))
2221neeq1d 3000 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑥𝑆) ≠ ∅))
2320, 22imbi12d 348 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) ↔ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
2423cbvralvw 3358 . . . 4 (∀𝑦𝐵 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))
2519, 24syl6ib 254 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
26 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → 𝑦𝐽)
271ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → 𝐽 = (topGen‘𝐵))
2826, 27eleqtrd 2840 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
29 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → 𝑃𝑦)
30 tg2 21862 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑃𝑦) → ∃𝑧𝐵 (𝑃𝑧𝑧𝑦))
3128, 29, 30syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → ∃𝑧𝐵 (𝑃𝑧𝑧𝑦))
32 eleq2w 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝑃𝑥𝑃𝑧))
33 ineq1 4120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑆) = (𝑧𝑆))
3433neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑧𝑆) ≠ ∅))
3532, 34imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ↔ (𝑃𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅)))
3635rspccva 3536 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑃𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅))
3736imp 410 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑃𝑧) → (𝑧𝑆) ≠ ∅)
38 ssdisj 4374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑦 ∧ (𝑦𝑆) = ∅) → (𝑧𝑆) = ∅)
3938ex 416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑦 → ((𝑦𝑆) = ∅ → (𝑧𝑆) = ∅))
4039necon3d 2961 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑦 → ((𝑧𝑆) ≠ ∅ → (𝑦𝑆) ≠ ∅))
4137, 40syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑃𝑧) → (𝑧𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅))
4241exp31 423 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑧𝐵 → (𝑃𝑧 → (𝑧𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅))))
4342imp4a 426 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑧𝐵 → ((𝑃𝑧𝑧𝑦) → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
4443rexlimdv 3202 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (∃𝑧𝐵 (𝑃𝑧𝑧𝑦) → (𝑦𝑆) ≠ ∅))
4544ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → (∃𝑧𝐵 (𝑃𝑧𝑧𝑦) → (𝑦𝑆) ≠ ∅))
4631, 45mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → (𝑦𝑆) ≠ ∅)
4746exp43 440 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑦𝐽 → (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅))))
4847ralrimdv 3109 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
4925, 48impbid 215 . 2 (𝜑 → (∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
5013, 49bitrd 282 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  cin 3865  wss 3866  c0 4237   cuni 4819  cfv 6380  topGenctg 16942  Topctop 21790  TopBasesctb 21842  clsccl 21915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-topgen 16948  df-top 21791  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918
This theorem is referenced by:  2ndcsep  22356  ptclsg  22512  qdensere  23667
  Copyright terms: Public domain W3C validator