MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elcls3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcls3 23106
Description: Membership in a closure in terms of the members of a basis. Theorem 6.5(b) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elcls3.1 (𝜑𝐽 = (topGen‘𝐵))
elcls3.2 (𝜑𝑋 = 𝐽)
elcls3.3 (𝜑𝐵 ∈ TopBases)
elcls3.4 (𝜑𝑆𝑋)
elcls3.5 (𝜑𝑃𝑋)
Assertion
Ref Expression
elcls3 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem elcls3
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elcls3.1 . . . 4 (𝜑𝐽 = (topGen‘𝐵))
2 elcls3.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ TopBases)
3 tgcl 22991 . . . . 5 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
51, 4eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 elcls3.4 . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
7 elcls3.2 . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝐽)
86, 7sseqtrd 4035 . . 3 (𝜑𝑆 𝐽)
9 elcls3.5 . . . 4 (𝜑𝑃𝑋)
109, 7eleqtrd 2840 . . 3 (𝜑𝑃 𝐽)
11 eqid 2734 . . . 4 𝐽 = 𝐽
1211elcls 23096 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽𝑃 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
135, 8, 10, 12syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
14 bastg 22988 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
152, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1615, 1sseqtrrd 4036 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐽)
1716sseld 3993 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦𝐽))
1817imim1d 82 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐽 → (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)) → (𝑦𝐵 → (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅))))
1918ralimdv2 3160 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑦𝐵 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
20 eleq2w 2822 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑃𝑦𝑃𝑥))
21 ineq1 4220 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑆) = (𝑥𝑆))
2221neeq1d 2997 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑥𝑆) ≠ ∅))
2320, 22imbi12d 344 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) ↔ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
2423cbvralvw 3234 . . . 4 (∀𝑦𝐵 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))
2519, 24imbitrdi 251 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
26 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → 𝑦𝐽)
271ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → 𝐽 = (topGen‘𝐵))
2826, 27eleqtrd 2840 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
29 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → 𝑃𝑦)
30 tg2 22987 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑃𝑦) → ∃𝑧𝐵 (𝑃𝑧𝑧𝑦))
3128, 29, 30syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → ∃𝑧𝐵 (𝑃𝑧𝑧𝑦))
32 eleq2w 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝑃𝑥𝑃𝑧))
33 ineq1 4220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑆) = (𝑧𝑆))
3433neeq1d 2997 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑧𝑆) ≠ ∅))
3532, 34imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ↔ (𝑃𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅)))
3635rspccva 3620 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑃𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅))
3736imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑃𝑧) → (𝑧𝑆) ≠ ∅)
38 ssdisj 4465 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑦 ∧ (𝑦𝑆) = ∅) → (𝑧𝑆) = ∅)
3938ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑦 → ((𝑦𝑆) = ∅ → (𝑧𝑆) = ∅))
4039necon3d 2958 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑦 → ((𝑧𝑆) ≠ ∅ → (𝑦𝑆) ≠ ∅))
4137, 40syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑃𝑧) → (𝑧𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅))
4241exp31 419 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑧𝐵 → (𝑃𝑧 → (𝑧𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅))))
4342imp4a 422 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑧𝐵 → ((𝑃𝑧𝑧𝑦) → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
4443rexlimdv 3150 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (∃𝑧𝐵 (𝑃𝑧𝑧𝑦) → (𝑦𝑆) ≠ ∅))
4544ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → (∃𝑧𝐵 (𝑃𝑧𝑧𝑦) → (𝑦𝑆) ≠ ∅))
4631, 45mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → (𝑦𝑆) ≠ ∅)
4746exp43 436 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑦𝐽 → (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅))))
4847ralrimdv 3149 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
4925, 48impbid 212 . 2 (𝜑 → (∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
5013, 49bitrd 279 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  cin 3961  wss 3962  c0 4338   cuni 4911  cfv 6562  topGenctg 17483  Topctop 22914  TopBasesctb 22967  clsccl 23041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-topgen 17489  df-top 22915  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044
This theorem is referenced by:  2ndcsep  23482  ptclsg  23638  qdensere  24805
  Copyright terms: Public domain W3C validator