Theorem elcls3 22234

Description: Membership in a closure in terms of the members of a basis. Theorem 6.5(b) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elcls3.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 = (topGen‘𝐵))
elcls3.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
elcls3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ TopBases)
elcls3.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
elcls3.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
elcls3	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem elcls3

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcls3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (topGen‘𝐵))
2		elcls3.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ TopBases)
3		tgcl 22119	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
5	1, 4	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		elcls3.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
7		elcls3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
8	6, 7	sseqtrd 3961	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
9		elcls3.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
10	9, 7	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
12	11	elcls 22224	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
13	5, 8, 10, 12	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
14		bastg 22116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
15	2, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
16	15, 1	sseqtrrd 3962	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐽)
17	16	sseld 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐽))
18	17	imim1d 82	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
19	18	ralimdv2 3107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
20		eleq2w 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑃 ∈ 𝑦 ↔ 𝑃 ∈ 𝑥))
21		ineq1 4139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆))
22	21	neeq1d 3003	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
23	20, 22	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ↔ (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
24	23	cbvralvw 3383	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
25	19, 24	syl6ib 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
26		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐽)
27	1	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → 𝐽 = (topGen‘𝐵))
28	26, 27	eleqtrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
29		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → 𝑃 ∈ 𝑦)
30		tg2 22115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))
31	28, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))
32		eleq2w 2822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑃 ∈ 𝑥 ↔ 𝑃 ∈ 𝑧))
33		ineq1 4139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∩ 𝑆) = (𝑧 ∩ 𝑆))
34	33	neeq1d 3003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
35	32, 34	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ↔ (𝑃 ∈ 𝑧 → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
36	35	rspccva 3560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝑧 → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
37	36	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑧) → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
38		ssdisj 4393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑦 ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) = ∅) → (𝑧 ∩ 𝑆) = ∅)
39	38	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝑆) = ∅ → (𝑧 ∩ 𝑆) = ∅))
40	39	necon3d 2964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
41	37, 40	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑧) → (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
42	41	exp31 420	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑃 ∈ 𝑧 → (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
43	42	imp4a 423	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑃 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
44	43	rexlimdv 3212	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
45	44	ad2antlr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
46	31, 45	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
47	46	exp43 437	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
48	47	ralrimdv 3105	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
49	25, 48	impbid 211	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
50	13, 49	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ∪ cuni 4839  ‘cfv 6433  topGenctg 17148  Topctop 22042  TopBasesctb 22095  clsccl 22169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-topgen 17154  df-top 22043  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172

This theorem is referenced by:  2ndcsep  22610  ptclsg  22766  qdensere  23933