MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elcls3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcls3 23091
Description: Membership in a closure in terms of the members of a basis. Theorem 6.5(b) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elcls3.1 (𝜑𝐽 = (topGen‘𝐵))
elcls3.2 (𝜑𝑋 = 𝐽)
elcls3.3 (𝜑𝐵 ∈ TopBases)
elcls3.4 (𝜑𝑆𝑋)
elcls3.5 (𝜑𝑃𝑋)
Assertion
Ref Expression
elcls3 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem elcls3
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elcls3.1 . . . 4 (𝜑𝐽 = (topGen‘𝐵))
2 elcls3.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ TopBases)
3 tgcl 22976 . . . . 5 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
51, 4eqeltrd 2841 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 elcls3.4 . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
7 elcls3.2 . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝐽)
86, 7sseqtrd 4020 . . 3 (𝜑𝑆 𝐽)
9 elcls3.5 . . . 4 (𝜑𝑃𝑋)
109, 7eleqtrd 2843 . . 3 (𝜑𝑃 𝐽)
11 eqid 2737 . . . 4 𝐽 = 𝐽
1211elcls 23081 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽𝑃 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
135, 8, 10, 12syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
14 bastg 22973 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
152, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1615, 1sseqtrrd 4021 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐽)
1716sseld 3982 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦𝐽))
1817imim1d 82 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐽 → (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)) → (𝑦𝐵 → (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅))))
1918ralimdv2 3163 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑦𝐵 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
20 eleq2w 2825 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑃𝑦𝑃𝑥))
21 ineq1 4213 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑆) = (𝑥𝑆))
2221neeq1d 3000 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑥𝑆) ≠ ∅))
2320, 22imbi12d 344 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) ↔ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
2423cbvralvw 3237 . . . 4 (∀𝑦𝐵 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))
2519, 24imbitrdi 251 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
26 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → 𝑦𝐽)
271ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → 𝐽 = (topGen‘𝐵))
2826, 27eleqtrd 2843 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
29 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → 𝑃𝑦)
30 tg2 22972 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑃𝑦) → ∃𝑧𝐵 (𝑃𝑧𝑧𝑦))
3128, 29, 30syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → ∃𝑧𝐵 (𝑃𝑧𝑧𝑦))
32 eleq2w 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝑃𝑥𝑃𝑧))
33 ineq1 4213 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑆) = (𝑧𝑆))
3433neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑧𝑆) ≠ ∅))
3532, 34imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ↔ (𝑃𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅)))
3635rspccva 3621 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑃𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅))
3736imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑃𝑧) → (𝑧𝑆) ≠ ∅)
38 ssdisj 4460 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑦 ∧ (𝑦𝑆) = ∅) → (𝑧𝑆) = ∅)
3938ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑦 → ((𝑦𝑆) = ∅ → (𝑧𝑆) = ∅))
4039necon3d 2961 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑦 → ((𝑧𝑆) ≠ ∅ → (𝑦𝑆) ≠ ∅))
4137, 40syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑃𝑧) → (𝑧𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅))
4241exp31 419 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑧𝐵 → (𝑃𝑧 → (𝑧𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅))))
4342imp4a 422 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑧𝐵 → ((𝑃𝑧𝑧𝑦) → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
4443rexlimdv 3153 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (∃𝑧𝐵 (𝑃𝑧𝑧𝑦) → (𝑦𝑆) ≠ ∅))
4544ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → (∃𝑧𝐵 (𝑃𝑧𝑧𝑦) → (𝑦𝑆) ≠ ∅))
4631, 45mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦𝐽𝑃𝑦)) → (𝑦𝑆) ≠ ∅)
4746exp43 436 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑦𝐽 → (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅))))
4847ralrimdv 3152 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅)))
4925, 48impbid 212 . 2 (𝜑 → (∀𝑦𝐽 (𝑃𝑦 → (𝑦𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
5013, 49bitrd 279 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  c0 4333   cuni 4907  cfv 6561  topGenctg 17482  Topctop 22899  TopBasesctb 22952  clsccl 23026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-topgen 17488  df-top 22900  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029
This theorem is referenced by:  2ndcsep  23467  ptclsg  23623  qdensere  24790
  Copyright terms: Public domain W3C validator