Theorem elcls3 23277

Description: Membership in a closure in terms of the members of a basis. Theorem 6.5(b) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elcls3.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 = (topGen‘𝐵))
elcls3.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
elcls3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ TopBases)
elcls3.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
elcls3.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
elcls3	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem elcls3

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcls3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (topGen‘𝐵))
2		elcls3.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ TopBases)
3		tgcl 23163	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
5	1, 4	eqeltrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		elcls3.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
7		elcls3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
8	6, 7	sseqtrd 3976	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
9		elcls3.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
10	9, 7	eleqtrd 2868	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
11		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
12	11	elcls 23267	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
13	5, 8, 10, 12	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
14		bastg 23160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
15	2, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
16	15, 1	sseqtrrd 3977	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐽)
17	16	sseld 3939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐽))
18	17	imim1d 83	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
19	18	ralimdv2 3177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
20		eleq2w 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑃 ∈ 𝑦 ↔ 𝑃 ∈ 𝑥))
21		ineq1 4169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆))
22	21	neeq1d 3020	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
23	20, 22	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ↔ (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
24	23	cbvralvw 3246	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
25	19, 24	imbitrdi 254	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
26		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐽)
27	1	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → 𝐽 = (topGen‘𝐵))
28	26, 27	eleqtrd 2868	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
29		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → 𝑃 ∈ 𝑦)
30		tg2 23159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))
31	28, 29, 30	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))
32		eleq2w 2850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑃 ∈ 𝑥 ↔ 𝑃 ∈ 𝑧))
33		ineq1 4169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∩ 𝑆) = (𝑧 ∩ 𝑆))
34	33	neeq1d 3020	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
35	32, 34	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ↔ (𝑃 ∈ 𝑧 → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
36	35	rspccva 3583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝑧 → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
37	36	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑧) → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
38		ssdisj 4423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑦 ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) = ∅) → (𝑧 ∩ 𝑆) = ∅)
39	38	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝑆) = ∅ → (𝑧 ∩ 𝑆) = ∅))
40	39	necon3d 2982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
41	37, 40	syl5com 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑧) → (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
42	41	exp31 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑃 ∈ 𝑧 → (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
43	42	imp4a 428	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑃 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
44	43	rexlimdv 3167	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
45	44	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
46	31, 45	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦)) → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
47	46	exp43 442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
48	47	ralrimdv 3166	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
49	25, 48	impbid 215	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
50	13, 49	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∃wrex 3092   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  ∪ cuni 4877  ‘cfv 6543  topGenctg 17515  Topctop 23087  TopBasesctb 23139  clsccl 23212

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-topgen 17521  df-top 23088  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215

This theorem is used by:  2ndcsep  23653  ptclsg  23809  qdensere  24963