Theorem rellysconn 35830

Description: The real numbers are locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rellysconn	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Locally SConn

Proof of Theorem rellysconn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24987	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		tg2 23190	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))
3		retopbas 24986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
4		bastg 23191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
6		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → 𝑧 ∈ ran (,))
7	5, 6	sselid 3929	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → 𝑧 ∈ (topGen‘ran (,)))
8		simprrr 794	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → 𝑧 ⊆ 𝑥)
9		velpw 4562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑥 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑥)
10	8, 9	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑥)
11	7, 10	elind 4146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → 𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥))
12		simprrl 793	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → 𝑦 ∈ 𝑧)
13		ioof 13500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
14		ffn 6702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
15		ovelrn 7590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏)))
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
17		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)))
18		ioosconn 35826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn
19	17, 18	eqeltrdi 2868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
20	19	rexlimivw 3159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
21	20	rexlimivw 3159	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
22	16, 21	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ran (,) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
23	22	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
24	11, 12, 23	jca32 525	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))) → (𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)))
25	24	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn))))
26	25	reximdv2 3172	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)))
27	2, 26	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn))
28	27	rgen2 3202	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
29		islly 23694	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Locally SConn ↔ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)))
30	1, 28, 29	mpbir2an 724	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Locally SConn

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   × cxp 5653  ran crn 5656   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  ℝ^*cxr 11266  (,)cioo 13398   ↾_t crest 17505  topGenctg 17522  Topctop 23118  TopBasesctb 23170  Locally clly 23690  SConncsconn 35799

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-conn 23637  df-lly 23692  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-ii 25105  df-cncf 25106  df-htpy 25198  df-phtpy 25199  df-phtpc 25220  df-pconn 35800  df-sconn 35801

This theorem is used by: (None)