Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rellysconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rellysconn 33902
Description: The real numbers are locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
rellysconn (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Locally SConn

Proof of Theorem rellysconn
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retop 24141 . 2 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
2 tg2 22331 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))
3 retopbas 24140 . . . . . . . . . 10 ran (,) ∈ TopBases
4 bastg 22332 . . . . . . . . . 10 (ran (,) ∈ TopBases β†’ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))
6 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑧 ∈ ran (,))
75, 6sselid 3943 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑧 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
8 simprrr 781 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑧 βŠ† π‘₯)
9 velpw 4566 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 π‘₯ ↔ 𝑧 βŠ† π‘₯)
108, 9sylibr 233 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑧 ∈ 𝒫 π‘₯)
117, 10elind 4155 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑧 ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) ∩ 𝒫 π‘₯))
12 simprrl 780 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑧)
13 ioof 13370 . . . . . . . . . 10 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
14 ffn 6669 . . . . . . . . . 10 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
15 ovelrn 7531 . . . . . . . . . 10 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏)))
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏))
17 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝑧) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (π‘Ž(,)𝑏)))
18 ioosconn 33898 . . . . . . . . . . . 12 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (π‘Ž(,)𝑏)) ∈ SConn
1917, 18eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝑧) ∈ SConn)
2019rexlimivw 3145 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝑧) ∈ SConn)
2120rexlimivw 3145 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝑧) ∈ SConn)
2216, 21sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ran (,) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝑧) ∈ SConn)
2322ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝑧) ∈ SConn)
2411, 12, 23jca32 517 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))) β†’ (𝑧 ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) ∩ 𝒫 π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝑧) ∈ SConn)))
2524ex 414 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) ∩ 𝒫 π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝑧) ∈ SConn))))
2625reximdv2 3158 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝑧) ∈ SConn)))
272, 26mpd 15 . . 3 ((π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝑧) ∈ SConn))
2827rgen2 3191 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,))βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝑧) ∈ SConn)
29 islly 22835 . 2 ((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Locally SConn ↔ ((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,))βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝑧) ∈ SConn)))
301, 28, 29mpbir2an 710 1 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Locally SConn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561   Γ— cxp 5632  ran crn 5635   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  β„*cxr 11193  (,)cioo 13270   β†Ύt crest 17307  topGenctg 17324  Topctop 22258  TopBasesctb 22311  Locally clly 22831  SConncsconn 33871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-conn 22779  df-lly 22833  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-ii 24256  df-htpy 24349  df-phtpy 24350  df-phtpc 24371  df-pconn 33872  df-sconn 33873
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator