Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rellysconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rellysconn 33714
Description: The real numbers are locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
rellysconn (topGen‘ran (,)) ∈ Locally SConn

Proof of Theorem rellysconn
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retop 24109 . 2 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2 tg2 22299 . . . 4 ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
3 retopbas 24108 . . . . . . . . . 10 ran (,) ∈ TopBases
4 bastg 22300 . . . . . . . . . 10 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
6 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ ran (,))
75, 6sselid 3940 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ (topGen‘ran (,)))
8 simprrr 780 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧𝑥)
9 velpw 4563 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑥𝑧𝑥)
108, 9sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑥)
117, 10elind 4152 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥))
12 simprrl 779 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑦𝑧)
13 ioof 13356 . . . . . . . . . 10 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
14 ffn 6665 . . . . . . . . . 10 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
15 ovelrn 7526 . . . . . . . . . 10 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏)))
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
17 oveq2 7361 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)))
18 ioosconn 33710 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn
1917, 18eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2019rexlimivw 3146 . . . . . . . . . 10 (∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2120rexlimivw 3146 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2216, 21sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ran (,) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2322ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2411, 12, 23jca32 516 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → (𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ (𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)))
2524ex 413 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥)) → (𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ (𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn))))
2625reximdv2 3159 . . . 4 ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) → (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦𝑧𝑧𝑥) → ∃𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)))
272, 26mpd 15 . . 3 ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) → ∃𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn))
2827rgen2 3192 . 2 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦𝑥𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
29 islly 22803 . 2 ((topGen‘ran (,)) ∈ Locally SConn ↔ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦𝑥𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)))
301, 28, 29mpbir2an 709 1 (topGen‘ran (,)) ∈ Locally SConn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071  cin 3907  wss 3908  𝒫 cpw 4558   × cxp 5629  ran crn 5632   Fn wfn 6488  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7353  cr 11046  *cxr 11184  (,)cioo 13256  t crest 17294  topGenctg 17311  Topctop 22226  TopBasesctb 22279  Locally clly 22799  SConncsconn 33683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-er 8644  df-map 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-ioo 13260  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-unif 17148  df-hom 17149  df-cco 17150  df-rest 17296  df-topn 17297  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-topgen 17317  df-pt 17318  df-prds 17321  df-xrs 17376  df-qtop 17381  df-imas 17382  df-xps 17384  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-mulg 18864  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-cnfld 20782  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-cld 22354  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-conn 22747  df-lly 22801  df-tx 22897  df-hmeo 23090  df-xms 23657  df-ms 23658  df-tms 23659  df-ii 24224  df-htpy 24317  df-phtpy 24318  df-phtpc 24339  df-pconn 33684  df-sconn 33685
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator