Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rellysconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rellysconn 32612
Description: The real numbers are locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
rellysconn (topGen‘ran (,)) ∈ Locally SConn

Proof of Theorem rellysconn
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retop 23371 . 2 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2 tg2 21574 . . . 4 ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
3 retopbas 23370 . . . . . . . . . 10 ran (,) ∈ TopBases
4 bastg 21575 . . . . . . . . . 10 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
6 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ ran (,))
75, 6sseldi 3916 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ (topGen‘ran (,)))
8 simprrr 781 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧𝑥)
9 velpw 4505 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑥𝑧𝑥)
108, 9sylibr 237 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑥)
117, 10elind 4124 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥))
12 simprrl 780 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑦𝑧)
13 ioof 12829 . . . . . . . . . 10 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
14 ffn 6491 . . . . . . . . . 10 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
15 ovelrn 7308 . . . . . . . . . 10 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏)))
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
17 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)))
18 ioosconn 32608 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn
1917, 18eqeltrdi 2901 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2019rexlimivw 3244 . . . . . . . . . 10 (∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2120rexlimivw 3244 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2216, 21sylbi 220 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ran (,) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2322ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2411, 12, 23jca32 519 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → (𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ (𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)))
2524ex 416 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥)) → (𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ (𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn))))
2625reximdv2 3233 . . . 4 ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) → (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦𝑧𝑧𝑥) → ∃𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)))
272, 26mpd 15 . . 3 ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) → ∃𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn))
2827rgen2 3171 . 2 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦𝑥𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
29 islly 22077 . 2 ((topGen‘ran (,)) ∈ Locally SConn ↔ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦𝑥𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)))
301, 28, 29mpbir2an 710 1 (topGen‘ran (,)) ∈ Locally SConn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  wrex 3110  cin 3883  wss 3884  𝒫 cpw 4500   × cxp 5521  ran crn 5524   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cr 10529  *cxr 10667  (,)cioo 12730  t crest 16690  topGenctg 16707  Topctop 21502  TopBasesctb 21554  Locally clly 22073  SConncsconn 32581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-conn 22021  df-lly 22075  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-ii 23486  df-htpy 23579  df-phtpy 23580  df-phtpc 23601  df-pconn 32582  df-sconn 32583
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator