Theorem tskxpss 10812

Description: A Cartesian product of two parts of a Tarski class is a part of the class. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskxpss	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇)

Proof of Theorem tskxpss

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp2 5709	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑇 × 𝑇) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
2		tskop 10811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑇)
3		eleq1a 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑇 → (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇))
5	4	3expib 1123	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇)))
6	5	rexlimdvv 3212	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇))
7	1, 6	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑧 ∈ (𝑇 × 𝑇) → 𝑧 ∈ 𝑇))
8	7	ssrdv 3989	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑇 × 𝑇) ⊆ 𝑇)
9		xpss12 5700	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑇 × 𝑇))
10		sstr 3992	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑇 × 𝑇) ∧ (𝑇 × 𝑇) ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇)
11	10	expcom 413	. . 3 ⊢ ((𝑇 × 𝑇) ⊆ 𝑇 → ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑇 × 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇))
12	8, 9, 11	syl2im 40	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇))
13	12	3impib 1117	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951  ⟨cop 4632   × cxp 5683  Tarskictsk 10788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-r1 9804  df-tsk 10789

This theorem is referenced by:  tskcard  10821