Theorem tskxpss 10730

Description: A Cartesian product of two parts of a Tarski class is a part of the class. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskxpss	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇)

Proof of Theorem tskxpss

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp2 5671	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑇 × 𝑇) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
2		tskop 10729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑇)
3		eleq1a 2857	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑇 → (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇))
5	4	3expib 1135	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇)))
6	5	rexlimdvv 3218	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇))
7	1, 6	biimtrid 244	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑧 ∈ (𝑇 × 𝑇) → 𝑧 ∈ 𝑇))
8	7	ssrdv 3942	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑇 × 𝑇) ⊆ 𝑇)
9		xpss12 5662	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑇 × 𝑇))
10		sstr 3944	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑇 × 𝑇) ∧ (𝑇 × 𝑇) ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇)
11	10	expcom 417	. . 3 ⊢ ((𝑇 × 𝑇) ⊆ 𝑇 → ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑇 × 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇))
12	8, 9, 11	syl2im 40	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇))
13	12	3impib 1129	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3904  ⟨cop 4588   × cxp 5645  Tarskictsk 10706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-r1 9722  df-tsk 10707

This theorem is referenced by:  tskcard  10739