Theorem tskxpss 10756

Description: A Cartesian product of two parts of a Tarski class is a part of the class. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskxpss	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇)

Proof of Theorem tskxpss

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp2 5686	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑇 × 𝑇) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
2		tskop 10755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑇)
3		eleq1a 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑇 → (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇))
4	2, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇))
5	4	3expib 1138	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇)))
6	5	rexlimdvv 3227	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇))
7	1, 6	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑧 ∈ (𝑇 × 𝑇) → 𝑧 ∈ 𝑇))
8	7	ssrdv 3951	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑇 × 𝑇) ⊆ 𝑇)
9		xpss12 5677	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑇 × 𝑇))
10		sstr 3953	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑇 × 𝑇) ∧ (𝑇 × 𝑇) ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇)
11	10	expcom 418	. . 3 ⊢ ((𝑇 × 𝑇) ⊆ 𝑇 → ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑇 × 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇))
12	8, 9, 11	syl2im 41	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇))
13	12	3impib 1132	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913  ⟨cop 4600   × cxp 5660  Tarskictsk 10732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-r1 9735  df-tsk 10733

This theorem is referenced by:  tskcard  10765