Theorem tskxpss 10663

Description: A Cartesian product of two parts of a Tarski class is a part of the class. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskxpss	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇)

Proof of Theorem tskxpss

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp2 5638	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑇 × 𝑇) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
2		tskop 10662	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑇)
3		eleq1a 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑇 → (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇))
5	4	3expib 1122	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇)))
6	5	rexlimdvv 3188	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇))
7	1, 6	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑧 ∈ (𝑇 × 𝑇) → 𝑧 ∈ 𝑇))
8	7	ssrdv 3935	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑇 × 𝑇) ⊆ 𝑇)
9		xpss12 5629	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑇 × 𝑇))
10		sstr 3938	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑇 × 𝑇) ∧ (𝑇 × 𝑇) ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇)
11	10	expcom 413	. . 3 ⊢ ((𝑇 × 𝑇) ⊆ 𝑇 → ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑇 × 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇))
12	8, 9, 11	syl2im 40	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇))
13	12	3impib 1116	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897  ⟨cop 4579   × cxp 5612  Tarskictsk 10639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-r1 9657  df-tsk 10640

This theorem is referenced by:  tskcard  10672