Theorem tskxpss 10752

Description: A Cartesian product of two parts of a Tarski class is a part of the class. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskxpss	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇)

Proof of Theorem tskxpss

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp2 5685	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑇 × 𝑇) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
2		tskop 10751	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑇)
3		eleq1a 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑇 → (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇))
4	2, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇))
5	4	3expib 1140	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇)))
6	5	rexlimdvv 3221	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧 ∈ 𝑇))
7	1, 6	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑧 ∈ (𝑇 × 𝑇) → 𝑧 ∈ 𝑇))
8	7	ssrdv 3943	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑇 × 𝑇) ⊆ 𝑇)
9		xpss12 5676	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑇 × 𝑇))
10		sstr 3945	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑇 × 𝑇) ∧ (𝑇 × 𝑇) ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇)
11	10	expcom 418	. . 3 ⊢ ((𝑇 × 𝑇) ⊆ 𝑇 → ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑇 × 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇))
12	8, 9, 11	syl2im 41	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇))
13	12	3impib 1134	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ⊆ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑇) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905  ⟨cop 4595   × cxp 5659  Tarskictsk 10728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-r1 9732  df-tsk 10729

This theorem is referenced by:  tskcard  10761