MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeylem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttukeylem4 10509
Description: Lemma for ttukey 10515. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
ttukeylem.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
ttukeylem.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
ttukeylem.4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…)))))
Assertion
Ref Expression
ttukeylem4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐺   πœ‘,𝑧   π‘₯,𝐴,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑧   π‘₯,𝐹,𝑧
Allowed substitution hint:   πœ‘(π‘₯)

Proof of Theorem ttukeylem4
StepHypRef Expression
1 0elon 6412 . . 3 βˆ… ∈ On
2 ttukeylem.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
3 ttukeylem.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
4 ttukeylem.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
5 ttukeylem.4 . . . 4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…)))))
62, 3, 4, 5ttukeylem3 10508 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ On) β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = if(βˆ… = βˆͺ βˆ…, if(βˆ… = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ βˆ…)), ((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}, βˆ…))))
71, 6mpan2 688 . 2 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = if(βˆ… = βˆͺ βˆ…, if(βˆ… = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ βˆ…)), ((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}, βˆ…))))
8 uni0 4932 . . . . 5 βˆͺ βˆ… = βˆ…
98eqcomi 2735 . . . 4 βˆ… = βˆͺ βˆ…
109iftruei 4530 . . 3 if(βˆ… = βˆͺ βˆ…, if(βˆ… = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ βˆ…)), ((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}, βˆ…))) = if(βˆ… = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ βˆ…))
11 eqid 2726 . . . 4 βˆ… = βˆ…
1211iftruei 4530 . . 3 if(βˆ… = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ βˆ…)) = 𝐡
1310, 12eqtri 2754 . 2 if(βˆ… = βˆͺ βˆ…, if(βˆ… = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ βˆ…)), ((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}, βˆ…))) = 𝐡
147, 13eqtrdi 2782 1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  π’« cpw 4597  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  ran crn 5670   β€œ cima 5672  Oncon0 6358  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  recscrecs 8371  Fincfn 8941  cardccrd 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372
This theorem is referenced by:  ttukeylem7  10512
  Copyright terms: Public domain W3C validator