MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeylem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttukeylem4 10268
Description: Lemma for ttukey 10274. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1 (𝜑𝐹:(card‘( 𝐴𝐵))–1-1-onto→( 𝐴𝐵))
ttukeylem.2 (𝜑𝐵𝐴)
ttukeylem.3 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
ttukeylem.4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))))
Assertion
Ref Expression
ttukeylem4 (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐺   𝜑,𝑧   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ttukeylem4
StepHypRef Expression
1 0elon 6319 . . 3 ∅ ∈ On
2 ttukeylem.1 . . . 4 (𝜑𝐹:(card‘( 𝐴𝐵))–1-1-onto→( 𝐴𝐵))
3 ttukeylem.2 . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
4 ttukeylem.3 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
5 ttukeylem.4 . . . 4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))))
62, 3, 4, 5ttukeylem3 10267 . . 3 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ On) → (𝐺‘∅) = if(∅ = ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, (𝐺 “ ∅)), ((𝐺 ∅) ∪ if(((𝐺 ∅) ∪ {(𝐹 ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 ∅)}, ∅))))
71, 6mpan2 688 . 2 (𝜑 → (𝐺‘∅) = if(∅ = ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, (𝐺 “ ∅)), ((𝐺 ∅) ∪ if(((𝐺 ∅) ∪ {(𝐹 ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 ∅)}, ∅))))
8 uni0 4869 . . . . 5 ∅ = ∅
98eqcomi 2747 . . . 4 ∅ =
109iftruei 4466 . . 3 if(∅ = ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, (𝐺 “ ∅)), ((𝐺 ∅) ∪ if(((𝐺 ∅) ∪ {(𝐹 ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 ∅)}, ∅))) = if(∅ = ∅, 𝐵, (𝐺 “ ∅))
11 eqid 2738 . . . 4 ∅ = ∅
1211iftruei 4466 . . 3 if(∅ = ∅, 𝐵, (𝐺 “ ∅)) = 𝐵
1310, 12eqtri 2766 . 2 if(∅ = ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, (𝐺 “ ∅)), ((𝐺 ∅) ∪ if(((𝐺 ∅) ∪ {(𝐹 ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 ∅)}, ∅))) = 𝐵
147, 13eqtrdi 2794 1 (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wal 1537   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3432  cdif 3884  cun 3885  cin 3886  wss 3887  c0 4256  ifcif 4459  𝒫 cpw 4533  {csn 4561   cuni 4839  cmpt 5157  dom cdm 5589  ran crn 5590  cima 5592  Oncon0 6266  1-1-ontowf1o 6432  cfv 6433  recscrecs 8201  Fincfn 8733  cardccrd 9693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202
This theorem is referenced by:  ttukeylem7  10271
  Copyright terms: Public domain W3C validator