Theorem ttukeylem4 10012

Description: Lemma for ttukey 10018. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttukeylem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(card‘(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))–1-1-onto→(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))
ttukeylem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
ttukeylem.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
ttukeylem.4	⊢ 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = ∪ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ∪ ran 𝑧), ((𝑧‘∪ dom 𝑧) ∪ if(((𝑧‘∪ dom 𝑧) ∪ {(𝐹‘∪ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ dom 𝑧)}, ∅)))))

Assertion

Ref	Expression
ttukeylem4	⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐺   𝜑,𝑧   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ttukeylem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6225	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		ttukeylem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(card‘(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))–1-1-onto→(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))
3		ttukeylem.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
4		ttukeylem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
5		ttukeylem.4	. . . 4 ⊢ 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = ∪ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ∪ ran 𝑧), ((𝑧‘∪ dom 𝑧) ∪ if(((𝑧‘∪ dom 𝑧) ∪ {(𝐹‘∪ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ dom 𝑧)}, ∅)))))
6	2, 3, 4, 5	ttukeylem3 10011	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ On) → (𝐺‘∅) = if(∅ = ∪ ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)), ((𝐺‘∪ ∅) ∪ if(((𝐺‘∪ ∅) ∪ {(𝐹‘∪ ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ ∅)}, ∅))))
7	1, 6	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = if(∅ = ∪ ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)), ((𝐺‘∪ ∅) ∪ if(((𝐺‘∪ ∅) ∪ {(𝐹‘∪ ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ ∅)}, ∅))))
8		uni0 4826	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
9	8	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ ∅ = ∪ ∅
10	9	iftruei 4421	. . 3 ⊢ if(∅ = ∪ ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)), ((𝐺‘∪ ∅) ∪ if(((𝐺‘∪ ∅) ∪ {(𝐹‘∪ ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ ∅)}, ∅))) = if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅))
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
12	11	iftruei 4421	. . 3 ⊢ if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)) = 𝐵
13	10, 12	eqtri 2761	. 2 ⊢ if(∅ = ∪ ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)), ((𝐺‘∪ ∅) ∪ if(((𝐺‘∪ ∅) ∪ {(𝐹‘∪ ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ ∅)}, ∅))) = 𝐵
14	7, 13	eqtrdi 2789	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3398   ∖ cdif 3840   ∪ cun 3841   ∩ cin 3842   ⊆ wss 3843  ∅c0 4211  ifcif 4414  𝒫 cpw 4488  {csn 4516  ∪ cuni 4796   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5525  ran crn 5526   “ cima 5528  Oncon0 6172  –1-1-onto→wf1o 6338  ‘cfv 6339  recscrecs 8036  Fincfn 8555  cardccrd 9437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5296  ax-un 7479

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-wrecs 7976  df-recs 8037

This theorem is referenced by:  ttukeylem7  10015