Theorem ttukeylem4 10400

Description: Lemma for ttukey 10406. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttukeylem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(card‘(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))–1-1-onto→(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))
ttukeylem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
ttukeylem.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
ttukeylem.4	⊢ 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = ∪ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ∪ ran 𝑧), ((𝑧‘∪ dom 𝑧) ∪ if(((𝑧‘∪ dom 𝑧) ∪ {(𝐹‘∪ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ dom 𝑧)}, ∅)))))

Assertion

Ref	Expression
ttukeylem4	⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐺   𝜑,𝑧   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ttukeylem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6361	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		ttukeylem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(card‘(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))–1-1-onto→(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))
3		ttukeylem.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
4		ttukeylem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
5		ttukeylem.4	. . . 4 ⊢ 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = ∪ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ∪ ran 𝑧), ((𝑧‘∪ dom 𝑧) ∪ if(((𝑧‘∪ dom 𝑧) ∪ {(𝐹‘∪ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ dom 𝑧)}, ∅)))))
6	2, 3, 4, 5	ttukeylem3 10399	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ On) → (𝐺‘∅) = if(∅ = ∪ ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)), ((𝐺‘∪ ∅) ∪ if(((𝐺‘∪ ∅) ∪ {(𝐹‘∪ ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ ∅)}, ∅))))
7	1, 6	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = if(∅ = ∪ ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)), ((𝐺‘∪ ∅) ∪ if(((𝐺‘∪ ∅) ∪ {(𝐹‘∪ ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ ∅)}, ∅))))
8		uni0 4887	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
9	8	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ ∅ = ∪ ∅
10	9	iftruei 4482	. . 3 ⊢ if(∅ = ∪ ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)), ((𝐺‘∪ ∅) ∪ if(((𝐺‘∪ ∅) ∪ {(𝐹‘∪ ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ ∅)}, ∅))) = if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅))
11		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
12	11	iftruei 4482	. . 3 ⊢ if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)) = 𝐵
13	10, 12	eqtri 2754	. 2 ⊢ if(∅ = ∪ ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)), ((𝐺‘∪ ∅) ∪ if(((𝐺‘∪ ∅) ∪ {(𝐹‘∪ ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ ∅)}, ∅))) = 𝐵
14	7, 13	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  ifcif 4475  𝒫 cpw 4550  {csn 4576  ∪ cuni 4859   ↦ cmpt 5172  dom cdm 5616  ran crn 5617   “ cima 5619  Oncon0 6306  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  recscrecs 8290  Fincfn 8869  cardccrd 9825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291

This theorem is referenced by:  ttukeylem7  10403