MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeylem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttukeylem4 10535
Description: Lemma for ttukey 10541. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
ttukeylem.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
ttukeylem.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
ttukeylem.4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…)))))
Assertion
Ref Expression
ttukeylem4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐺   πœ‘,𝑧   π‘₯,𝐴,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑧   π‘₯,𝐹,𝑧
Allowed substitution hint:   πœ‘(π‘₯)

Proof of Theorem ttukeylem4
StepHypRef Expression
1 0elon 6418 . . 3 βˆ… ∈ On
2 ttukeylem.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
3 ttukeylem.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
4 ttukeylem.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
5 ttukeylem.4 . . . 4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…)))))
62, 3, 4, 5ttukeylem3 10534 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ On) β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = if(βˆ… = βˆͺ βˆ…, if(βˆ… = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ βˆ…)), ((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}, βˆ…))))
71, 6mpan2 689 . 2 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = if(βˆ… = βˆͺ βˆ…, if(βˆ… = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ βˆ…)), ((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}, βˆ…))))
8 uni0 4933 . . . . 5 βˆͺ βˆ… = βˆ…
98eqcomi 2734 . . . 4 βˆ… = βˆͺ βˆ…
109iftruei 4531 . . 3 if(βˆ… = βˆͺ βˆ…, if(βˆ… = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ βˆ…)), ((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}, βˆ…))) = if(βˆ… = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ βˆ…))
11 eqid 2725 . . . 4 βˆ… = βˆ…
1211iftruei 4531 . . 3 if(βˆ… = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ βˆ…)) = 𝐡
1310, 12eqtri 2753 . 2 if(βˆ… = βˆͺ βˆ…, if(βˆ… = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ βˆ…)), ((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}, βˆ…))) = 𝐡
147, 13eqtrdi 2781 1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3936   βˆͺ cun 3937   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  π’« cpw 4598  {csn 4624  βˆͺ cuni 4903   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  ran crn 5673   β€œ cima 5675  Oncon0 6364  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  recscrecs 8389  Fincfn 8962  cardccrd 9958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390
This theorem is referenced by:  ttukeylem7  10538
  Copyright terms: Public domain W3C validator