Theorem ttukeylem4 10466

Description: Lemma for ttukey 10472. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttukeylem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(card‘(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))–1-1-onto→(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))
ttukeylem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
ttukeylem.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
ttukeylem.4	⊢ 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = ∪ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ∪ ran 𝑧), ((𝑧‘∪ dom 𝑧) ∪ if(((𝑧‘∪ dom 𝑧) ∪ {(𝐹‘∪ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ dom 𝑧)}, ∅)))))

Assertion

Ref	Expression
ttukeylem4	⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐺   𝜑,𝑧   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ttukeylem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6397	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		ttukeylem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(card‘(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))–1-1-onto→(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))
3		ttukeylem.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
4		ttukeylem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
5		ttukeylem.4	. . . 4 ⊢ 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = ∪ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ∪ ran 𝑧), ((𝑧‘∪ dom 𝑧) ∪ if(((𝑧‘∪ dom 𝑧) ∪ {(𝐹‘∪ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ dom 𝑧)}, ∅)))))
6	2, 3, 4, 5	ttukeylem3 10465	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ On) → (𝐺‘∅) = if(∅ = ∪ ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)), ((𝐺‘∪ ∅) ∪ if(((𝐺‘∪ ∅) ∪ {(𝐹‘∪ ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ ∅)}, ∅))))
7	1, 6	mpan2 701	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = if(∅ = ∪ ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)), ((𝐺‘∪ ∅) ∪ if(((𝐺‘∪ ∅) ∪ {(𝐹‘∪ ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ ∅)}, ∅))))
8		uni0 4893	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
9	8	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ ∅ = ∪ ∅
10	9	iftruei 4486	. . 3 ⊢ if(∅ = ∪ ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)), ((𝐺‘∪ ∅) ∪ if(((𝐺‘∪ ∅) ∪ {(𝐹‘∪ ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ ∅)}, ∅))) = if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅))
11		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
12	11	iftruei 4486	. . 3 ⊢ if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)) = 𝐵
13	10, 12	eqtri 2784	. 2 ⊢ if(∅ = ∪ ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)), ((𝐺‘∪ ∅) ∪ if(((𝐺‘∪ ∅) ∪ {(𝐹‘∪ ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ ∅)}, ∅))) = 𝐵
14	7, 13	eqtrdi 2812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208  ∀wal 1557   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ifcif 4479  𝒫 cpw 4554  {csn 4581  ∪ cuni 4864   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645  ran crn 5646   “ cima 5648  Oncon0 6342  –1-1-onto→wf1o 6516  ‘cfv 6517  recscrecs 8336  Fincfn 8923  cardccrd 9890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337

This theorem is referenced by:  ttukeylem7  10469