MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeylem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttukeylem4 10550
Description: Lemma for ttukey 10556. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1 (𝜑𝐹:(card‘( 𝐴𝐵))–1-1-onto→( 𝐴𝐵))
ttukeylem.2 (𝜑𝐵𝐴)
ttukeylem.3 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
ttukeylem.4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))))
Assertion
Ref Expression
ttukeylem4 (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐺   𝜑,𝑧   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ttukeylem4
StepHypRef Expression
1 0elon 6440 . . 3 ∅ ∈ On
2 ttukeylem.1 . . . 4 (𝜑𝐹:(card‘( 𝐴𝐵))–1-1-onto→( 𝐴𝐵))
3 ttukeylem.2 . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
4 ttukeylem.3 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
5 ttukeylem.4 . . . 4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))))
62, 3, 4, 5ttukeylem3 10549 . . 3 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ On) → (𝐺‘∅) = if(∅ = ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, (𝐺 “ ∅)), ((𝐺 ∅) ∪ if(((𝐺 ∅) ∪ {(𝐹 ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 ∅)}, ∅))))
71, 6mpan2 691 . 2 (𝜑 → (𝐺‘∅) = if(∅ = ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, (𝐺 “ ∅)), ((𝐺 ∅) ∪ if(((𝐺 ∅) ∪ {(𝐹 ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 ∅)}, ∅))))
8 uni0 4940 . . . . 5 ∅ = ∅
98eqcomi 2744 . . . 4 ∅ =
109iftruei 4538 . . 3 if(∅ = ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, (𝐺 “ ∅)), ((𝐺 ∅) ∪ if(((𝐺 ∅) ∪ {(𝐹 ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 ∅)}, ∅))) = if(∅ = ∅, 𝐵, (𝐺 “ ∅))
11 eqid 2735 . . . 4 ∅ = ∅
1211iftruei 4538 . . 3 if(∅ = ∅, 𝐵, (𝐺 “ ∅)) = 𝐵
1310, 12eqtri 2763 . 2 if(∅ = ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, (𝐺 “ ∅)), ((𝐺 ∅) ∪ if(((𝐺 ∅) ∪ {(𝐹 ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 ∅)}, ∅))) = 𝐵
147, 13eqtrdi 2791 1 (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   cuni 4912  cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690  cima 5692  Oncon0 6386  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  recscrecs 8409  Fincfn 8984  cardccrd 9973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410
This theorem is referenced by:  ttukeylem7  10553
  Copyright terms: Public domain W3C validator