Theorem ttukeylem4 10506

Description: Lemma for ttukey 10512. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttukeylem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(card‘(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))–1-1-onto→(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))
ttukeylem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
ttukeylem.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
ttukeylem.4	⊢ 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = ∪ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ∪ ran 𝑧), ((𝑧‘∪ dom 𝑧) ∪ if(((𝑧‘∪ dom 𝑧) ∪ {(𝐹‘∪ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ dom 𝑧)}, ∅)))))

Assertion

Ref	Expression
ttukeylem4	⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐺   𝜑,𝑧   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ttukeylem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6418	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		ttukeylem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(card‘(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))–1-1-onto→(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))
3		ttukeylem.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
4		ttukeylem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
5		ttukeylem.4	. . . 4 ⊢ 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = ∪ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ∪ ran 𝑧), ((𝑧‘∪ dom 𝑧) ∪ if(((𝑧‘∪ dom 𝑧) ∪ {(𝐹‘∪ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ dom 𝑧)}, ∅)))))
6	2, 3, 4, 5	ttukeylem3 10505	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ On) → (𝐺‘∅) = if(∅ = ∪ ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)), ((𝐺‘∪ ∅) ∪ if(((𝐺‘∪ ∅) ∪ {(𝐹‘∪ ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ ∅)}, ∅))))
7	1, 6	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = if(∅ = ∪ ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)), ((𝐺‘∪ ∅) ∪ if(((𝐺‘∪ ∅) ∪ {(𝐹‘∪ ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ ∅)}, ∅))))
8		uni0 4939	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
9	8	eqcomi 2741	. . . 4 ⊢ ∅ = ∪ ∅
10	9	iftruei 4535	. . 3 ⊢ if(∅ = ∪ ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)), ((𝐺‘∪ ∅) ∪ if(((𝐺‘∪ ∅) ∪ {(𝐹‘∪ ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ ∅)}, ∅))) = if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅))
11		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
12	11	iftruei 4535	. . 3 ⊢ if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)) = 𝐵
13	10, 12	eqtri 2760	. 2 ⊢ if(∅ = ∪ ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, ∪ (𝐺 “ ∅)), ((𝐺‘∪ ∅) ∪ if(((𝐺‘∪ ∅) ∪ {(𝐹‘∪ ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹‘∪ ∅)}, ∅))) = 𝐵
14	7, 13	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ifcif 4528  𝒫 cpw 4602  {csn 4628  ∪ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   “ cima 5679  Oncon0 6364  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  recscrecs 8369  Fincfn 8938  cardccrd 9929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370

This theorem is referenced by:  ttukeylem7  10509