MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeylem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttukeylem4 10449
Description: Lemma for ttukey 10455. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
ttukeylem.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
ttukeylem.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
ttukeylem.4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…)))))
Assertion
Ref Expression
ttukeylem4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐺   πœ‘,𝑧   π‘₯,𝐴,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑧   π‘₯,𝐹,𝑧
Allowed substitution hint:   πœ‘(π‘₯)

Proof of Theorem ttukeylem4
StepHypRef Expression
1 0elon 6372 . . 3 βˆ… ∈ On
2 ttukeylem.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
3 ttukeylem.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
4 ttukeylem.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
5 ttukeylem.4 . . . 4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…)))))
62, 3, 4, 5ttukeylem3 10448 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ On) β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = if(βˆ… = βˆͺ βˆ…, if(βˆ… = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ βˆ…)), ((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}, βˆ…))))
71, 6mpan2 690 . 2 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = if(βˆ… = βˆͺ βˆ…, if(βˆ… = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ βˆ…)), ((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}, βˆ…))))
8 uni0 4897 . . . . 5 βˆͺ βˆ… = βˆ…
98eqcomi 2746 . . . 4 βˆ… = βˆͺ βˆ…
109iftruei 4494 . . 3 if(βˆ… = βˆͺ βˆ…, if(βˆ… = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ βˆ…)), ((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}, βˆ…))) = if(βˆ… = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ βˆ…))
11 eqid 2737 . . . 4 βˆ… = βˆ…
1211iftruei 4494 . . 3 if(βˆ… = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ βˆ…)) = 𝐡
1310, 12eqtri 2765 . 2 if(βˆ… = βˆͺ βˆ…, if(βˆ… = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ βˆ…)), ((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ βˆ…) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ βˆ…)}, βˆ…))) = 𝐡
147, 13eqtrdi 2793 1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  π’« cpw 4561  {csn 4587  βˆͺ cuni 4866   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  ran crn 5635   β€œ cima 5637  Oncon0 6318  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  recscrecs 8317  Fincfn 8884  cardccrd 9872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318
This theorem is referenced by:  ttukeylem7  10452
  Copyright terms: Public domain W3C validator