Theorem ttukey 10626

Description: The Teichmüller-Tukey Lemma, an Axiom of Choice equivalent. If 𝐴 is a nonempty collection of finite character, then 𝐴 has a maximal element with respect to inclusion. Here "finite character" means that 𝑥 ∈ 𝐴 iff every finite subset of 𝑥 is in 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ttukey.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ttukey	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem ttukey

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttukey.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	uniex 7785	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 ∈ V
3		numth3 10578	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → ∪ 𝐴 ∈ dom card)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ 𝐴 ∈ dom card
5		ttukeyg 10625	. 2 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)
6	4, 5	mp3an1 1478	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 4016   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  dom cdm 5656  Fincfn 9004  cardccrd 10046

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-ac2 10571

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-fin 9008  df-card 10050  df-ac 10225

This theorem is used by: (None)