Theorem lptioo2 46083

Description: The upper bound of an open interval is a limit point of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lptioo2.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
lptioo2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
lptioo2.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lptioo2.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lptioo2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Proof of Theorem lptioo2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 4078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵}) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3		ubioo 13325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5	4	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
6	3, 5	mtoi 199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
7	6	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
8		velsn 4584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
9	7, 8	sylnibr 329	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
10	2, 9	eldifd 3901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵}))
11	1, 10	eqelssd 3944	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))
12	11	ineq2d 4161	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
13	12	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
14		simplrl 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
15		simplrr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
16		lptioo2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
17	16	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
18		elioo3g 13322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑏)))
19	18	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑏)))
20	19	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
21	20	simp3d 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
23		iooin 13327	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
24	14, 15, 17, 22, 23	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
25		iftrue 4473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ≤ 𝐴 → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 𝐴) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
27		lptioo2.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
28	27	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
29	26, 28	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 𝐴) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < 𝐵)
30		iffalse 4476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑎 ≤ 𝐴 → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝑎)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎 ≤ 𝐴) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝑎)
32	19	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑏))
33	32	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 < 𝐵)
34	33	ad2antlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎 ≤ 𝐴) → 𝑎 < 𝐵)
35	31, 34	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎 ≤ 𝐴) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < 𝐵)
36	29, 35	pm2.61dan 813	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < 𝐵)
37	32	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 < 𝑏)
38	20	simp2d 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ*)
39		xrltnle 11207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝐵))
40	21, 38, 39	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝐵 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝐵))
41	37, 40	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ¬ 𝑏 ≤ 𝐵)
42		iffalse 4476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑏 ≤ 𝐵 → if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝐵)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝐵)
44	43	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 = if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
45	44	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 = if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
46	36, 45	breqtrd 5112	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
47	17, 14	ifcld 4514	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ*)
48	45, 22	eqeltrrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*)
49		ioon0 13319	. . . . . . . 8 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*) → ((if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
50	47, 48, 49	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
51	46, 50	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅)
52	24, 51	eqnetrd 3000	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
53	13, 52	eqnetrd 3000	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
54	53	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
55	54	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
56		lptioo2.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
57		ioossre 13355	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
58	57	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
59		lptioo2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
60	56, 58, 59	islptre 46071	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
61	55, 60	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ifcif 4467  {csn 4568   class class class wbr 5086  ran crn 5627  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174   ≤ cle 11175  (,)cioo 13293  topGenctg 17395  limPtclp 23113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-ioo 13297  df-topgen 17401  df-top 22873  df-topon 22890  df-bases 22925  df-cld 22998  df-ntr 22999  df-cls 23000  df-nei 23077  df-lp 23115

This theorem is referenced by:  lptioo2cn  46095  fouriersw  46681