Theorem lptioo2 45819

Description: The upper bound of an open interval is a limit point of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lptioo2.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
lptioo2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
lptioo2.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lptioo2.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lptioo2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Proof of Theorem lptioo2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 4087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵}) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3		ubioo 13291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5	4	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
6	3, 5	mtoi 199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
7	6	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
8		velsn 4594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
9	7, 8	sylnibr 329	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
10	2, 9	eldifd 3910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵}))
11	1, 10	eqelssd 3953	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))
12	11	ineq2d 4170	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
13	12	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
14		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
15		simplrr 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
16		lptioo2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
18		elioo3g 13288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑏)))
19	18	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑏)))
20	19	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
21	20	simp3d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
23		iooin 13293	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
24	14, 15, 17, 22, 23	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
25		iftrue 4483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ≤ 𝐴 → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 𝐴) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
27		lptioo2.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
28	27	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
29	26, 28	eqbrtrd 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 𝐴) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < 𝐵)
30		iffalse 4486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑎 ≤ 𝐴 → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝑎)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎 ≤ 𝐴) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝑎)
32	19	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑏))
33	32	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 < 𝐵)
34	33	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎 ≤ 𝐴) → 𝑎 < 𝐵)
35	31, 34	eqbrtrd 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎 ≤ 𝐴) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < 𝐵)
36	29, 35	pm2.61dan 812	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < 𝐵)
37	32	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 < 𝑏)
38	20	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ*)
39		xrltnle 11197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝐵))
40	21, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝐵 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝐵))
41	37, 40	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ¬ 𝑏 ≤ 𝐵)
42		iffalse 4486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑏 ≤ 𝐵 → if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝐵)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝐵)
44	43	eqcomd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 = if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
45	44	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 = if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
46	36, 45	breqtrd 5122	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
47	17, 14	ifcld 4524	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ*)
48	45, 22	eqeltrrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*)
49		ioon0 13285	. . . . . . . 8 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*) → ((if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
50	47, 48, 49	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
51	46, 50	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅)
52	24, 51	eqnetrd 2997	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
53	13, 52	eqnetrd 2997	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
54	53	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
55	54	ralrimivva 3177	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
56		lptioo2.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
57		ioossre 13321	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
58	57	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
59		lptioo2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
60	56, 58, 59	islptre 45807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
61	55, 60	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  ifcif 4477  {csn 4578   class class class wbr 5096  ran crn 5623  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164   ≤ cle 11165  (,)cioo 13259  topGenctg 17355  limPtclp 23076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-ioo 13263  df-topgen 17361  df-top 22836  df-topon 22853  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078

This theorem is referenced by:  lptioo2cn  45831  fouriersw  46417