Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lptioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lptioo2 45048
Description: The upper bound of an open interval is a limit point of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptioo2.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
lptioo2.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
lptioo2.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
lptioo2.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
Assertion
Ref Expression
lptioo2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴(,)𝐡)))

Proof of Theorem lptioo2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difssd 4133 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐡}) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
2 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡))
3 ubioo 13396 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴(,)𝐡)
4 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ 𝐡 ∈ (𝐴(,)𝐡)))
54biimpcd 248 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (π‘₯ = 𝐡 β†’ 𝐡 ∈ (𝐴(,)𝐡)))
63, 5mtoi 198 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐡)
76adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐡)
8 velsn 4648 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {𝐡} ↔ π‘₯ = 𝐡)
97, 8sylnibr 328 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ {𝐡})
102, 9eldifd 3960 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐡}))
111, 10eqelssd 4003 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐡}) = (𝐴(,)𝐡))
1211ineq2d 4214 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐡})) = ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐡)))
1312ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐡})) = ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐡)))
14 simplrl 775 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
15 simplrr 776 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
16 lptioo2.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
1716ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
18 elioo3g 13393 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ↔ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (π‘Ž < 𝐡 ∧ 𝐡 < 𝑏)))
1918biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (π‘Ž < 𝐡 ∧ 𝐡 < 𝑏)))
2019simpld 493 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
2120simp3d 1141 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
2221adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
23 iooin 13398 . . . . . . 7 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐡)) = (if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)))
2414, 15, 17, 22, 23syl22anc 837 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐡)) = (if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)))
25 iftrue 4538 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ≀ 𝐴 β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) = 𝐴)
2625adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ π‘Ž ≀ 𝐴) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) = 𝐴)
27 lptioo2.4 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
2827ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ π‘Ž ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 < 𝐡)
2926, 28eqbrtrd 5174 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ π‘Ž ≀ 𝐴) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) < 𝐡)
30 iffalse 4541 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘Ž ≀ 𝐴 β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) = π‘Ž)
3130adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ Β¬ π‘Ž ≀ 𝐴) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) = π‘Ž)
3219simprd 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘Ž < 𝐡 ∧ 𝐡 < 𝑏))
3332simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ π‘Ž < 𝐡)
3433ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ Β¬ π‘Ž ≀ 𝐴) β†’ π‘Ž < 𝐡)
3531, 34eqbrtrd 5174 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ Β¬ π‘Ž ≀ 𝐴) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) < 𝐡)
3629, 35pm2.61dan 811 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) < 𝐡)
3732simprd 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝐡 < 𝑏)
3820simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
39 xrltnle 11319 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (𝐡 < 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 ≀ 𝐡))
4021, 38, 39syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝐡 < 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 ≀ 𝐡))
4137, 40mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ Β¬ 𝑏 ≀ 𝐡)
42 iffalse 4541 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 𝑏 ≀ 𝐡 β†’ if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡) = 𝐡)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡) = 𝐡)
4443eqcomd 2734 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝐡 = if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡))
4544adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ 𝐡 = if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡))
4636, 45breqtrd 5178 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) < if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡))
4717, 14ifcld 4578 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) ∈ ℝ*)
4845, 22eqeltrrd 2830 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡) ∈ ℝ*)
49 ioon0 13390 . . . . . . . 8 ((if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡) ∈ ℝ*) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)) β‰  βˆ… ↔ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) < if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)))
5047, 48, 49syl2anc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)) β‰  βˆ… ↔ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) < if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)))
5146, 50mpbird 256 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)) β‰  βˆ…)
5224, 51eqnetrd 3005 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐡)) β‰  βˆ…)
5313, 52eqnetrd 3005 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)
5453ex 411 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) β†’ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…))
5554ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…))
56 lptioo2.1 . . 3 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
57 ioossre 13425 . . . 4 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
5857a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
59 lptioo2.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
6056, 58, 59islptre 45036 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴(,)𝐡)) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)))
6155, 60mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴(,)𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  ifcif 4532  {csn 4632   class class class wbr 5152  ran crn 5683  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11145  β„*cxr 11285   < clt 11286   ≀ cle 11287  (,)cioo 13364  topGenctg 17426  limPtclp 23058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-ioo 13368  df-topgen 17432  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060
This theorem is referenced by:  lptioo2cn  45062  fouriersw  45648
  Copyright terms: Public domain W3C validator