Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lptioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lptioo2 42260
Description: The upper bound of an open interval is a limit point of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptioo2.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
lptioo2.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
lptioo2.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lptioo2.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
lptioo2 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Proof of Theorem lptioo2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difssd 4063 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵}) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3 ubioo 12762 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
54biimpcd 252 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = 𝐵𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
63, 5mtoi 202 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
76adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
8 velsn 4544 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
97, 8sylnibr 332 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
102, 9eldifd 3895 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵}))
111, 10eqelssd 3939 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))
1211ineq2d 4142 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
1312ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
14 simplrl 776 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
15 simplrr 777 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
16 lptioo2.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1716ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
18 elioo3g 12759 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐵𝐵 < 𝑏)))
1918biimpi 219 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐵𝐵 < 𝑏)))
2019simpld 498 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
2120simp3d 1141 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2221adantl 485 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
23 iooin 12764 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
2414, 15, 17, 22, 23syl22anc 837 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
25 iftrue 4434 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝐴 → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
2625adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎𝐴) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
27 lptioo2.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2827ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
2926, 28eqbrtrd 5055 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎𝐴) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < 𝐵)
30 iffalse 4437 . . . . . . . . . . 11 𝑎𝐴 → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝑎)
3130adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎𝐴) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝑎)
3219simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 < 𝐵𝐵 < 𝑏))
3332simpld 498 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 < 𝐵)
3433ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎𝐴) → 𝑎 < 𝐵)
3531, 34eqbrtrd 5055 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎𝐴) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < 𝐵)
3629, 35pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < 𝐵)
3732simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 < 𝑏)
3820simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ*)
39 xrltnle 10701 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝐵))
4021, 38, 39syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝐵 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝐵))
4137, 40mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ¬ 𝑏𝐵)
42 iffalse 4437 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝐵 → if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝐵)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝐵)
4443eqcomd 2807 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 = if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4544adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 = if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4636, 45breqtrd 5059 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4717, 14ifcld 4473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ*)
4845, 22eqeltrrd 2894 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*)
49 ioon0 12756 . . . . . . . 8 ((if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*) → ((if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
5047, 48, 49syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
5146, 50mpbird 260 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅)
5224, 51eqnetrd 3057 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
5313, 52eqnetrd 3057 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
5453ex 416 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
5554ralrimivva 3159 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
56 lptioo2.1 . . 3 𝐽 = (topGen‘ran (,))
57 ioossre 12790 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
5857a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
59 lptioo2.3 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6056, 58, 59islptre 42248 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
6155, 60mpbird 260 1 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  cdif 3881  cin 3883  wss 3884  c0 4246  ifcif 4428  {csn 4528   class class class wbr 5033  ran crn 5524  cfv 6328  (class class class)co 7139  cr 10529  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  (,)cioo 12730  topGenctg 16706  limPtclp 21742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-ioo 12734  df-topgen 16712  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744
This theorem is referenced by:  lptioo2cn  42274  fouriersw  42860
  Copyright terms: Public domain W3C validator