Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lptioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lptioo2 43862
Description: The upper bound of an open interval is a limit point of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptioo2.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
lptioo2.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
lptioo2.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lptioo2.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
lptioo2 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Proof of Theorem lptioo2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difssd 4092 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵}) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3 ubioo 13296 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
54biimpcd 248 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = 𝐵𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
63, 5mtoi 198 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
76adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
8 velsn 4602 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
97, 8sylnibr 328 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
102, 9eldifd 3921 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵}))
111, 10eqelssd 3965 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))
1211ineq2d 4172 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
1312ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
14 simplrl 775 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
15 simplrr 776 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
16 lptioo2.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1716ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
18 elioo3g 13293 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐵𝐵 < 𝑏)))
1918biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐵𝐵 < 𝑏)))
2019simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
2120simp3d 1144 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2221adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
23 iooin 13298 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
2414, 15, 17, 22, 23syl22anc 837 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
25 iftrue 4492 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝐴 → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
2625adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎𝐴) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
27 lptioo2.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2827ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
2926, 28eqbrtrd 5127 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎𝐴) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < 𝐵)
30 iffalse 4495 . . . . . . . . . . 11 𝑎𝐴 → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝑎)
3130adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎𝐴) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝑎)
3219simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 < 𝐵𝐵 < 𝑏))
3332simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 < 𝐵)
3433ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎𝐴) → 𝑎 < 𝐵)
3531, 34eqbrtrd 5127 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎𝐴) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < 𝐵)
3629, 35pm2.61dan 811 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < 𝐵)
3732simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 < 𝑏)
3820simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ*)
39 xrltnle 11222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝐵))
4021, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝐵 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝐵))
4137, 40mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ¬ 𝑏𝐵)
42 iffalse 4495 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝐵 → if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝐵)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝐵)
4443eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 = if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4544adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 = if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4636, 45breqtrd 5131 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4717, 14ifcld 4532 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ*)
4845, 22eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*)
49 ioon0 13290 . . . . . . . 8 ((if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*) → ((if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
5047, 48, 49syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
5146, 50mpbird 256 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅)
5224, 51eqnetrd 3011 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
5313, 52eqnetrd 3011 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
5453ex 413 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
5554ralrimivva 3197 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
56 lptioo2.1 . . 3 𝐽 = (topGen‘ran (,))
57 ioossre 13325 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
5857a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
59 lptioo2.3 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6056, 58, 59islptre 43850 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
6155, 60mpbird 256 1 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  (,)cioo 13264  topGenctg 17319  limPtclp 22485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-ioo 13268  df-topgen 17325  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487
This theorem is referenced by:  lptioo2cn  43876  fouriersw  44462
  Copyright terms: Public domain W3C validator