Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lptioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lptioo2 44901
Description: The upper bound of an open interval is a limit point of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptioo2.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
lptioo2.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
lptioo2.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
lptioo2.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
Assertion
Ref Expression
lptioo2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴(,)𝐡)))

Proof of Theorem lptioo2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difssd 4127 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐡}) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
2 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡))
3 ubioo 13359 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴(,)𝐡)
4 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ 𝐡 ∈ (𝐴(,)𝐡)))
54biimpcd 248 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (π‘₯ = 𝐡 β†’ 𝐡 ∈ (𝐴(,)𝐡)))
63, 5mtoi 198 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐡)
76adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐡)
8 velsn 4639 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {𝐡} ↔ π‘₯ = 𝐡)
97, 8sylnibr 329 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ {𝐡})
102, 9eldifd 3954 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐡}))
111, 10eqelssd 3998 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐡}) = (𝐴(,)𝐡))
1211ineq2d 4207 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐡})) = ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐡)))
1312ad2antrr 723 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐡})) = ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐡)))
14 simplrl 774 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
15 simplrr 775 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
16 lptioo2.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
1716ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
18 elioo3g 13356 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ↔ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (π‘Ž < 𝐡 ∧ 𝐡 < 𝑏)))
1918biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (π‘Ž < 𝐡 ∧ 𝐡 < 𝑏)))
2019simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
2120simp3d 1141 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
2221adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
23 iooin 13361 . . . . . . 7 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐡)) = (if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)))
2414, 15, 17, 22, 23syl22anc 836 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐡)) = (if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)))
25 iftrue 4529 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ≀ 𝐴 β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) = 𝐴)
2625adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ π‘Ž ≀ 𝐴) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) = 𝐴)
27 lptioo2.4 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
2827ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ π‘Ž ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 < 𝐡)
2926, 28eqbrtrd 5163 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ π‘Ž ≀ 𝐴) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) < 𝐡)
30 iffalse 4532 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘Ž ≀ 𝐴 β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) = π‘Ž)
3130adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ Β¬ π‘Ž ≀ 𝐴) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) = π‘Ž)
3219simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘Ž < 𝐡 ∧ 𝐡 < 𝑏))
3332simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ π‘Ž < 𝐡)
3433ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ Β¬ π‘Ž ≀ 𝐴) β†’ π‘Ž < 𝐡)
3531, 34eqbrtrd 5163 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ Β¬ π‘Ž ≀ 𝐴) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) < 𝐡)
3629, 35pm2.61dan 810 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) < 𝐡)
3732simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝐡 < 𝑏)
3820simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
39 xrltnle 11282 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (𝐡 < 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 ≀ 𝐡))
4021, 38, 39syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝐡 < 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 ≀ 𝐡))
4137, 40mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ Β¬ 𝑏 ≀ 𝐡)
42 iffalse 4532 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 𝑏 ≀ 𝐡 β†’ if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡) = 𝐡)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡) = 𝐡)
4443eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝐡 = if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡))
4544adantl 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ 𝐡 = if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡))
4636, 45breqtrd 5167 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) < if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡))
4717, 14ifcld 4569 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) ∈ ℝ*)
4845, 22eqeltrrd 2828 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡) ∈ ℝ*)
49 ioon0 13353 . . . . . . . 8 ((if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡) ∈ ℝ*) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)) β‰  βˆ… ↔ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) < if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)))
5047, 48, 49syl2anc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)) β‰  βˆ… ↔ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) < if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)))
5146, 50mpbird 257 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)) β‰  βˆ…)
5224, 51eqnetrd 3002 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐡)) β‰  βˆ…)
5313, 52eqnetrd 3002 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)
5453ex 412 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) β†’ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…))
5554ralrimivva 3194 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…))
56 lptioo2.1 . . 3 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
57 ioossre 13388 . . . 4 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
5857a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
59 lptioo2.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
6056, 58, 59islptre 44889 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴(,)𝐡)) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)))
6155, 60mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴(,)𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   βˆ– cdif 3940   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141  ran crn 5670  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„cr 11108  β„*cxr 11248   < clt 11249   ≀ cle 11250  (,)cioo 13327  topGenctg 17389  limPtclp 22988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-ioo 13331  df-topgen 17395  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990
This theorem is referenced by:  lptioo2cn  44915  fouriersw  45501
  Copyright terms: Public domain W3C validator