Theorem volioc 41824

Description: The measure of a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
volioc	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem volioc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vol0 41811	. . . 4 ⊢ (vol‘∅) = 0
2		oveq2 7029	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,]𝐴) = (𝐴(,]𝐵))
3	2	eqcomd 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,]𝐵) = (𝐴(,]𝐴))
4		leid 10588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
5		rexr 10538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		ioc0 12640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
7	5, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴(,]𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
8	4, 7	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴(,]𝐴) = ∅)
9	3, 8	sylan9eqr 2853	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) = ∅)
10	9	fveq2d 6547	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (vol‘∅))
11		eqcom 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐴)
12	11	biimpi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐵 = 𝐴)
13	12	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = 𝐴)
14		recn 10478	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	13, 15	eqeltrd 2883	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16, 13	subeq0bd 10919	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) = 0)
18	1, 10, 17	3eqtr4a 2857	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
19	18	3ad2antl1 1178	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
20		simpl1 1184	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
21		simpl2 1185	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		simpl3 1186	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
23		eqcom 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
24	23	biimpi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐴 = 𝐵)
25	24	necon3bi 3010	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴)
26	25	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
27	20, 21, 22, 26	leneltd 10646	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
28	5	3ad2ant1 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
29		rexr 10538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
30	29	3ad2ant2 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31		simp3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
32		ioounsn 12718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
33	28, 30, 31, 32	syl3anc 1364	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
34	33	eqcomd 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
35	34	fveq2d 6547	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
36		ioombl 23854	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
38		snmbl 41815	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → {𝐵} ∈ dom vol)
39	38	3ad2ant2 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → {𝐵} ∈ dom vol)
40		ubioo 12625	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
41		disjsn 4558	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵))
42	40, 41	mpbir 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅
43	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅)
44		ioovolcl 23859	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
45	44	3adant3 1125	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
46		volsn 41819	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (vol‘{𝐵}) = 0)
47		0red 10495	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
48	46, 47	eqeltrd 2883	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (vol‘{𝐵}) ∈ ℝ)
49	48	3ad2ant2 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘{𝐵}) ∈ ℝ)
50		volun 23834	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐵} ∈ dom vol ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘{𝐵}) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐵})))
51	37, 39, 43, 45, 49, 50	syl32anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐵})))
52		simp1 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
53		simp2 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
54	52, 53, 31	ltled 10640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
55		volioo 23858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
56	52, 53, 54, 55	syl3anc 1364	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
57	46	3ad2ant2 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘{𝐵}) = 0)
58	56, 57	oveq12d 7039	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐵})) = ((𝐵 − 𝐴) + 0))
59	53	recnd 10520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
60	14	3ad2ant1 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
61	59, 60	subcld 10850	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
62	61	addid1d 10692	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) + 0) = (𝐵 − 𝐴))
63	58, 62	eqtrd 2831	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐵})) = (𝐵 − 𝐴))
64	35, 51, 63	3eqtrd 2835	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
65	20, 21, 27, 64	syl3anc 1364	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
66	19, 65	pm2.61dan 809	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984   ∪ cun 3861   ∩ cin 3862  ∅c0 4215  {csn 4476   class class class wbr 4966  dom cdm 5448  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  ℂcc 10386  ℝcr 10387  0cc0 10388   + caddc 10391  ℝ^*cxr 10525   < clt 10526   ≤ cle 10527   − cmin 10722  (,)cioo 12593  (,]cioc 12594  volcvol 23752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fi 8726  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-dju 9181  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-q 12203  df-rp 12245  df-xneg 12362  df-xadd 12363  df-xmul 12364  df-ioo 12597  df-ioc 12598  df-ico 12599  df-icc 12600  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-clim 14684  df-rlim 14685  df-sum 14882  df-rest 16530  df-topgen 16551  df-psmet 20224  df-xmet 20225  df-met 20226  df-bl 20227  df-mopn 20228  df-top 21191  df-topon 21208  df-bases 21243  df-cmp 21684  df-ovol 23753  df-vol 23754

This theorem is referenced by: (None)