Theorem volioc 46507

Description: The measure of a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
volioc	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem volioc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vol0 46494	. . . 4 ⊢ (vol‘∅) = 0
2		oveq2 7399	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,]𝐴) = (𝐴(,]𝐵))
3	2	eqcomd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,]𝐵) = (𝐴(,]𝐴))
4		leid 11273	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
5		rexr 11222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		ioc0 13390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
7	5, 5, 6	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴(,]𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
8	4, 7	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴(,]𝐴) = ∅)
9	3, 8	sylan9eqr 2818	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) = ∅)
10	9	fveq2d 6866	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (vol‘∅))
11		eqcom 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐴)
12	11	biimpi 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐵 = 𝐴)
13	12	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = 𝐴)
14		recn 11157	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	13, 15	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16, 13	subeq0bd 11607	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) = 0)
18	1, 10, 17	3eqtr4a 2822	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
19	18	3ad2antl1 1198	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
20		simpl1 1204	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
21		simpl2 1205	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		simpl3 1206	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
23		eqcom 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
24	23	biimpi 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐴 = 𝐵)
25	24	necon3bi 2982	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴)
26	25	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
27	20, 21, 22, 26	leneltd 11331	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
28	5	3ad2ant1 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
29		rexr 11222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
30	29	3ad2ant2 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31		simp3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
32		ioounsn 13475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
33	28, 30, 31, 32	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
34	33	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
35	34	fveq2d 6866	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
36		ioombl 25615	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
38		snmbl 46498	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → {𝐵} ∈ dom vol)
39	38	3ad2ant2 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → {𝐵} ∈ dom vol)
40		ubioo 13375	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
41		disjsn 4667	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵))
42	40, 41	mpbir 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅
43	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅)
44		ioovolcl 25620	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
45	44	3adant3 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
46		volsn 46502	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (vol‘{𝐵}) = 0)
47		0red 11178	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
48	46, 47	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (vol‘{𝐵}) ∈ ℝ)
49	48	3ad2ant2 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘{𝐵}) ∈ ℝ)
50		volun 25595	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐵} ∈ dom vol ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘{𝐵}) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐵})))
51	37, 39, 43, 45, 49, 50	syl32anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐵})))
52		simp1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
53		simp2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
54	52, 53, 31	ltled 11325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
55		volioo 25619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
56	52, 53, 54, 55	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
57	46	3ad2ant2 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘{𝐵}) = 0)
58	56, 57	oveq12d 7409	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐵})) = ((𝐵 − 𝐴) + 0))
59	53	recnd 11204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
60	14	3ad2ant1 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
61	59, 60	subcld 11536	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
62	61	addridd 11377	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) + 0) = (𝐵 − 𝐴))
63	58, 62	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐵})) = (𝐵 − 𝐴))
64	35, 51, 63	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
65	20, 21, 27, 64	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
66	19, 65	pm2.61dan 822	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4283  {csn 4579   class class class wbr 5097  dom cdm 5643  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  ℝcr 11066  0cc0 11067   + caddc 11070  ℝ^*cxr 11209   < clt 11210   ≤ cle 11211   − cmin 11408  (,)cioo 13343  (,]cioc 13344  volcvol 25513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-dju 9853  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ioc 13348  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14338  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-rest 17442  df-topgen 17463  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-top 22942  df-topon 22959  df-bases 22994  df-cmp 23435  df-ovol 25514  df-vol 25515

This theorem is referenced by: (None)