Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volioc 41824
Description: The measure of a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
volioc ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem volioc
StepHypRef Expression
1 vol0 41811 . . . 4 (vol‘∅) = 0
2 oveq2 7029 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,]𝐴) = (𝐴(,]𝐵))
32eqcomd 2801 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,]𝐵) = (𝐴(,]𝐴))
4 leid 10588 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴𝐴)
5 rexr 10538 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 ioc0 12640 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐴) = ∅ ↔ 𝐴𝐴))
75, 5, 6syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴(,]𝐴) = ∅ ↔ 𝐴𝐴))
84, 7mpbird 258 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴(,]𝐴) = ∅)
93, 8sylan9eqr 2853 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) = ∅)
109fveq2d 6547 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (vol‘∅))
11 eqcom 2802 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐴)
1211biimpi 217 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐴)
1312adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = 𝐴)
14 recn 10478 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
1613, 15eqeltrd 2883 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
1716, 13subeq0bd 10919 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵𝐴) = 0)
181, 10, 173eqtr4a 2857 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵𝐴))
19183ad2antl1 1178 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵𝐴))
20 simpl1 1184 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
21 simpl2 1185 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
22 simpl3 1186 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
23 eqcom 2802 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
2423biimpi 217 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
2524necon3bi 3010 . . . . 5 𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)
2625adantl 482 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝐴)
2720, 21, 22, 26leneltd 10646 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
2853ad2ant1 1126 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
29 rexr 10538 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
30293ad2ant2 1127 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31 simp3 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
32 ioounsn 12718 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
3328, 30, 31, 32syl3anc 1364 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
3433eqcomd 2801 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
3534fveq2d 6547 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
36 ioombl 23854 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
3736a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
38 snmbl 41815 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → {𝐵} ∈ dom vol)
39383ad2ant2 1127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → {𝐵} ∈ dom vol)
40 ubioo 12625 . . . . . . 7 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
41 disjsn 4558 . . . . . . 7 (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4240, 41mpbir 232 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅
4342a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅)
44 ioovolcl 23859 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
45443adant3 1125 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
46 volsn 41819 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (vol‘{𝐵}) = 0)
47 0red 10495 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
4846, 47eqeltrd 2883 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (vol‘{𝐵}) ∈ ℝ)
49483ad2ant2 1127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘{𝐵}) ∈ ℝ)
50 volun 23834 . . . . 5 ((((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐵} ∈ dom vol ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘{𝐵}) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐵})))
5137, 39, 43, 45, 49, 50syl32anc 1371 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐵})))
52 simp1 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
53 simp2 1130 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5452, 53, 31ltled 10640 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
55 volioo 23858 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
5652, 53, 54, 55syl3anc 1364 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
57463ad2ant2 1127 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘{𝐵}) = 0)
5856, 57oveq12d 7039 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐵})) = ((𝐵𝐴) + 0))
5953recnd 10520 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
60143ad2ant1 1126 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
6159, 60subcld 10850 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
6261addid1d 10692 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵𝐴) + 0) = (𝐵𝐴))
6358, 62eqtrd 2831 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐵})) = (𝐵𝐴))
6435, 51, 633eqtrd 2835 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵𝐴))
6520, 21, 27, 64syl3anc 1364 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵𝐴))
6619, 65pm2.61dan 809 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  cun 3861  cin 3862  c0 4215  {csn 4476   class class class wbr 4966  dom cdm 5448  cfv 6230  (class class class)co 7021  cc 10386  cr 10387  0cc0 10388   + caddc 10391  *cxr 10525   < clt 10526  cle 10527  cmin 10722  (,)cioo 12593  (,]cioc 12594  volcvol 23752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fi 8726  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-dju 9181  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-q 12203  df-rp 12245  df-xneg 12362  df-xadd 12363  df-xmul 12364  df-ioo 12597  df-ioc 12598  df-ico 12599  df-icc 12600  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-clim 14684  df-rlim 14685  df-sum 14882  df-rest 16530  df-topgen 16551  df-psmet 20224  df-xmet 20225  df-met 20226  df-bl 20227  df-mopn 20228  df-top 21191  df-topon 21208  df-bases 21243  df-cmp 21684  df-ovol 23753  df-vol 23754
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator