Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volioc 45626
Description: The measure of a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
volioc ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem volioc
StepHypRef Expression
1 vol0 45613 . . . 4 (vol‘∅) = 0
2 oveq2 7421 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,]𝐴) = (𝐴(,]𝐵))
32eqcomd 2732 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,]𝐵) = (𝐴(,]𝐴))
4 leid 11348 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴𝐴)
5 rexr 11298 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 ioc0 13416 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐴) = ∅ ↔ 𝐴𝐴))
75, 5, 6syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴(,]𝐴) = ∅ ↔ 𝐴𝐴))
84, 7mpbird 256 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴(,]𝐴) = ∅)
93, 8sylan9eqr 2788 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) = ∅)
109fveq2d 6894 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (vol‘∅))
11 eqcom 2733 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐴)
1211biimpi 215 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐴)
1312adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = 𝐴)
14 recn 11236 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
1514adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
1613, 15eqeltrd 2826 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
1716, 13subeq0bd 11678 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵𝐴) = 0)
181, 10, 173eqtr4a 2792 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵𝐴))
19183ad2antl1 1182 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵𝐴))
20 simpl1 1188 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
21 simpl2 1189 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
22 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
23 eqcom 2733 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
2423biimpi 215 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
2524necon3bi 2957 . . . . 5 𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)
2625adantl 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝐴)
2720, 21, 22, 26leneltd 11406 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
2853ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
29 rexr 11298 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
30293ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
32 ioounsn 13499 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
3328, 30, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
3433eqcomd 2732 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
3534fveq2d 6894 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
36 ioombl 25579 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
3736a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
38 snmbl 45617 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → {𝐵} ∈ dom vol)
39383ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → {𝐵} ∈ dom vol)
40 ubioo 13401 . . . . . . 7 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
41 disjsn 4710 . . . . . . 7 (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4240, 41mpbir 230 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅
4342a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅)
44 ioovolcl 25584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
45443adant3 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
46 volsn 45621 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (vol‘{𝐵}) = 0)
47 0red 11255 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
4846, 47eqeltrd 2826 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (vol‘{𝐵}) ∈ ℝ)
49483ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘{𝐵}) ∈ ℝ)
50 volun 25559 . . . . 5 ((((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐵} ∈ dom vol ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘{𝐵}) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐵})))
5137, 39, 43, 45, 49, 50syl32anc 1375 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐵})))
52 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
53 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5452, 53, 31ltled 11400 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
55 volioo 25583 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
5652, 53, 54, 55syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
57463ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘{𝐵}) = 0)
5856, 57oveq12d 7431 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐵})) = ((𝐵𝐴) + 0))
5953recnd 11280 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
60143ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
6159, 60subcld 11609 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
6261addridd 11452 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵𝐴) + 0) = (𝐵𝐴))
6358, 62eqtrd 2766 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐵})) = (𝐵𝐴))
6435, 51, 633eqtrd 2770 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵𝐴))
6520, 21, 27, 64syl3anc 1368 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵𝐴))
6619, 65pm2.61dan 811 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,]𝐵)) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  cun 3944  cin 3945  c0 4322  {csn 4623   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  cfv 6543  (class class class)co 7413  cc 11144  cr 11145  0cc0 11146   + caddc 11149  *cxr 11285   < clt 11286  cle 11287  cmin 11482  (,)cioo 13369  (,]cioc 13370  volcvol 25477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-inf2 9674  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8846  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12516  df-z 12602  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13373  df-ioc 13374  df-ico 13375  df-icc 13376  df-fz 13530  df-fzo 13673  df-fl 13803  df-seq 14013  df-exp 14073  df-hash 14340  df-cj 15096  df-re 15097  df-im 15098  df-sqrt 15232  df-abs 15233  df-clim 15482  df-rlim 15483  df-sum 15683  df-rest 17429  df-topgen 17450  df-psmet 21328  df-xmet 21329  df-met 21330  df-bl 21331  df-mopn 21332  df-top 22881  df-topon 22898  df-bases 22934  df-cmp 23376  df-ovol 25478  df-vol 25479
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator