Theorem isinito2 49989

Description: The predicate "is an initial object" of a category, using universal property. (Contributed by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinito2.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)
isinito2.f	⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)

Assertion

Ref	Expression
isinito2	⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)

Proof of Theorem isinito2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinito2.1	. . . 4 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
2		isinito2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
3		initorcl 17948	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
4		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	4	initoo2 49722	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
6	1, 2, 3, 5	isinito2lem 49988	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅))
7	6	ibi 268	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
8		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅ → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
9	8	up1st2nd 49675	. . . . . 6 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅ → 𝐼(⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩(𝐶 UP 1 )∅)∅)
10	9	uprcl2 49679	. . . . 5 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅ → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 1 )(2nd ‘𝐹))
11	10	funcrcl2 49569	. . . 4 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅ → 𝐶 ∈ Cat)
12	9, 4	uprcl4 49681	. . . 4 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅ → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
13	1, 2, 11, 12	isinito2lem 49988	. . 3 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅ → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅))
14	13	ibir 269	. 2 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅ → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
15	7, 14	impbii 210	1 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)

Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∅c0 4261   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1^st c1st 7929  2^nd c2nd 7930  1_oc1o 8388  Basecbs 17170  InitOcinito 17939  SetCatcsetc 18033  Δ_funccdiag 18169   UP cup 49663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-ot 4564  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-cat 17625  df-cid 17626  df-func 17816  df-nat 17904  df-fuc 17905  df-inito 17942  df-setc 18034  df-xpc 18129  df-1stf 18130  df-curf 18171  df-diag 18173  df-up 49664  df-thinc 49908  df-termc 49963

This theorem is referenced by:  isinito3  49990