Theorem isinito2 50277

Description: The predicate "is an initial object" of a category, using universal property. (Contributed by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinito2.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)
isinito2.f	⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)

Assertion

Ref	Expression
isinito2	⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)

Proof of Theorem isinito2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinito2.1	. . . 4 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
2		isinito2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
3		initorcl 18042	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	4	initoo2 50010	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
6	1, 2, 3, 5	isinito2lem 50276	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅))
7	6	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
8		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅ → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
9	8	up1st2nd 49963	. . . . . 6 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅ → 𝐼(⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩(𝐶 UP 1 )∅)∅)
10	9	uprcl2 49967	. . . . 5 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅ → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 1 )(2nd ‘𝐹))
11	10	funcrcl2 49857	. . . 4 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅ → 𝐶 ∈ Cat)
12	9, 4	uprcl4 49969	. . . 4 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅ → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
13	1, 2, 11, 12	isinito2lem 50276	. . 3 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅ → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅))
14	13	ibir 271	. 2 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅ → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
15	7, 14	impbii 212	1 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1^st c1st 7980  2^nd c2nd 7981  1_oc1o 8442  Basecbs 17264  InitOcinito 18033  SetCatcsetc 18127  Δ_funccdiag 18263   UP cup 49951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-hom 17329  df-cco 17330  df-cat 17719  df-cid 17720  df-func 17910  df-nat 17998  df-fuc 17999  df-inito 18036  df-setc 18128  df-xpc 18223  df-1stf 18224  df-curf 18265  df-diag 18267  df-up 49952  df-thinc 50196  df-termc 50251

This theorem is referenced by:  isinito3  50278