Theorem isinito2 49197

Description: The predicate "is an initial object" of a category, using universal property. (Contributed by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinito2.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)
isinito2.f	⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)

Assertion

Ref	Expression
isinito2	⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)∅)

Proof of Theorem isinito2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinito2.1	. . . 4 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
2		isinito2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
3		initorcl 18007	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
4		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	4	initoo2 48983	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
6	1, 2, 3, 5	isinito2lem 49196	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)∅))
7	6	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)∅)
8		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)∅ → 𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)∅)
9	8	up1st2nd 48968	. . . . . 6 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)∅ → 𝐼(⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩(𝐶UP 1 )∅)∅)
10	9	uprcl2 48972	. . . . 5 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)∅ → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 1 )(2nd ‘𝐹))
11	10	funcrcl2 48937	. . . 4 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)∅ → 𝐶 ∈ Cat)
12	9, 4	uprcl4 48974	. . . 4 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)∅ → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
13	1, 2, 11, 12	isinito2lem 49196	. . 3 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)∅ → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)∅))
14	13	ibir 268	. 2 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)∅ → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
15	7, 14	impbii 209	1 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∅c0 4313   class class class wbr 5123  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  1^st c1st 7994  2^nd c2nd 7995  1_oc1o 8481  Basecbs 17230  InitOcinito 17998  SetCatcsetc 18092  Δ_funccdiag 18228  UPcup 48957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17167  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-hom 17298  df-cco 17299  df-cat 17683  df-cid 17684  df-func 17875  df-nat 17963  df-fuc 17964  df-inito 18001  df-setc 18093  df-xpc 18188  df-1stf 18189  df-curf 18230  df-diag 18232  df-up 48958  df-thinc 49119  df-termc 49172

This theorem is referenced by:  isinito3  49198