Theorem usgredgedg 29676

Description: In a simple graph there is a 1-1 onto mapping between the indexed edges containing a fixed vertex and the set of edges containing this vertex. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 11-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ushgredgedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
ushgredgedg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
ushgredgedg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
ushgredgedg.a	⊢ 𝐴 = {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑖)}
ushgredgedg.b	⊢ 𝐵 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}
ushgredgedg.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐼‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
usgredgedg	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑒   𝑒,𝐸,𝑖   𝑒,𝐺,𝑖,𝑥   𝑒,𝐼,𝑖,𝑥   𝑒,𝑁,𝑖,𝑥   𝑒,𝑉,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑒, 𝑖)   𝐵(𝑥, 𝑖)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥, 𝑒, 𝑖)

Proof of Theorem usgredgedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgruspgr 29626	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
2		uspgrushgr 29623	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ USHGraph)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USHGraph)
4		ushgredgedg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
5		ushgredgedg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
6		ushgredgedg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		ushgredgedg.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑖)}
8		ushgredgedg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}
9		ushgredgedg.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐼‘𝑥))
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ushgredgedg 29675	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
11	3, 10	sylan 592	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  Vtxcvtx 29439  iEdgciedg 29440  Edgcedg 29490  USHGraphcushgr 29500  USPGraphcuspgr 29594  USGraphcusgr 29595

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-2 12330  df-edg 29491  df-uhgr 29501  df-ushgr 29502  df-uspgr 29596  df-usgr 29597

This theorem is used by:  usgredgleordALT  29680