MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ustuqtop3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ustuqtop3 23748
Description: Lemma for ustuqtop 23751, similar to elnei 22615. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
utopustuq.1 𝑁 = (𝑝 ∈ 𝑋 ↦ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})))
Assertion
Ref Expression
ustuqtop3 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (π‘β€˜π‘)) β†’ 𝑝 ∈ π‘Ž)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑝,π‘ˆ   𝑋,𝑝,𝑣,π‘Ž   𝑁,π‘Ž,𝑝   𝑣,π‘Ž,π‘ˆ   𝑋,π‘Ž
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑣)

Proof of Theorem ustuqtop3
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnresi 6680 . . . . . . 7 ( I β†Ύ 𝑋) Fn 𝑋
2 fnsnfv 6971 . . . . . . 7 ((( I β†Ύ 𝑋) Fn 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ {(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘)} = (( I β†Ύ 𝑋) β€œ {𝑝}))
31, 2mpan 689 . . . . . 6 (𝑝 ∈ 𝑋 β†’ {(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘)} = (( I β†Ύ 𝑋) β€œ {𝑝}))
43ad4antlr 732 . . . . 5 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (π‘β€˜π‘)) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑝})) β†’ {(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘)} = (( I β†Ύ 𝑋) β€œ {𝑝}))
5 ustdiag 23713 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑀)
65ad5ant14 757 . . . . . 6 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (π‘β€˜π‘)) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑝})) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑀)
7 imass1 6101 . . . . . 6 (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑀 β†’ (( I β†Ύ 𝑋) β€œ {𝑝}) βŠ† (𝑀 β€œ {𝑝}))
86, 7syl 17 . . . . 5 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (π‘β€˜π‘)) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑝})) β†’ (( I β†Ύ 𝑋) β€œ {𝑝}) βŠ† (𝑀 β€œ {𝑝}))
94, 8eqsstrd 4021 . . . 4 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (π‘β€˜π‘)) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑝})) β†’ {(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘)} βŠ† (𝑀 β€œ {𝑝}))
10 fvex 6905 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘) ∈ V
1110snss 4790 . . . 4 ((( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘) ∈ (𝑀 β€œ {𝑝}) ↔ {(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘)} βŠ† (𝑀 β€œ {𝑝}))
129, 11sylibr 233 . . 3 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (π‘β€˜π‘)) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑝})) β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘) ∈ (𝑀 β€œ {𝑝}))
13 fvresi 7171 . . . . 5 (𝑝 ∈ 𝑋 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘) = 𝑝)
1413eqcomd 2739 . . . 4 (𝑝 ∈ 𝑋 β†’ 𝑝 = (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘))
1514ad4antlr 732 . . 3 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (π‘β€˜π‘)) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑝})) β†’ 𝑝 = (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘))
16 simpr 486 . . 3 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (π‘β€˜π‘)) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑝})) β†’ π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑝}))
1712, 15, 163eltr4d 2849 . 2 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (π‘β€˜π‘)) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑝})) β†’ 𝑝 ∈ π‘Ž)
18 utopustuq.1 . . . . 5 𝑁 = (𝑝 ∈ 𝑋 ↦ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})))
1918ustuqtoplem 23744 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ V) β†’ (π‘Ž ∈ (π‘β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑝})))
2019elvd 3482 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Ž ∈ (π‘β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑝})))
2120biimpa 478 . 2 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (π‘β€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑝}))
2217, 21r19.29a 3163 1 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (π‘β€˜π‘)) β†’ 𝑝 ∈ π‘Ž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {csn 4629   ↦ cmpt 5232   I cid 5574  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  β€˜cfv 6544  UnifOncust 23704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ust 23705
This theorem is referenced by:  ustuqtop  23751  utopsnneiplem  23752
  Copyright terms: Public domain W3C validator