Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupvaluz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupvaluz 44509
Description: The superior limit, when the domain of the function is a set of upper integers (the first condition is needed, otherwise the l.h.s. would be -∞ and the r.h.s. would be +∞). (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupvaluz.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
limsupvaluz.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
limsupvaluz.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
limsupvaluz (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝑀(π‘˜)

Proof of Theorem limsupvaluz
Dummy variables 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
2 limsupvaluz.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
3 limsupvaluz.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
43fvexi 6905 . . . . 5 𝑍 ∈ V
54a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
62, 5fexd 7231 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
7 uzssre 12846 . . . . 5 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† ℝ
83, 7eqsstri 4016 . . . 4 𝑍 βŠ† ℝ
98a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
10 limsupvaluz.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
113uzsup 13830 . . . 4 (𝑀 ∈ β„€ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1210, 11syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
131, 6, 9, 12limsupval2 15426 . 2 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = inf(((𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) β€œ 𝑍), ℝ*, < ))
149mptimass 6072 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) β€œ 𝑍) = ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
15 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑛 β†’ (𝑖[,)+∞) = (𝑛[,)+∞))
1615imaeq2d 6059 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 β†’ (𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) = (𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)))
1716ineq1d 4211 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 β†’ ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*))
1817supeq1d 9443 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑛 β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
1918cbvmptv 5261 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
2019a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
21 fimass 6738 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π‘βŸΆβ„* β†’ (𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) βŠ† ℝ*)
222, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) βŠ† ℝ*)
23 df-ss 3965 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) βŠ† ℝ* ↔ ((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)))
2423biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) βŠ† ℝ* β†’ ((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)))
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)))
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)))
27 df-ima 5689 . . . . . . . . . 10 (𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) = ran (𝐹 β†Ύ (𝑛[,)+∞))
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) = ran (𝐹 β†Ύ (𝑛[,)+∞)))
292freld 6723 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Rel 𝐹)
30 resindm 6030 . . . . . . . . . . . . 13 (Rel 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝑛[,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 β†Ύ (𝑛[,)+∞)))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝑛[,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 β†Ύ (𝑛[,)+∞)))
3231adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝑛[,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 β†Ύ (𝑛[,)+∞)))
33 incom 4201 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛[,)+∞) ∩ 𝑍) = (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))
343ineq1i 4208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) = ((β„€β‰₯β€˜π‘€) ∩ (𝑛[,)+∞))
3533, 34eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛[,)+∞) ∩ 𝑍) = ((β„€β‰₯β€˜π‘€) ∩ (𝑛[,)+∞))
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛[,)+∞) ∩ 𝑍) = ((β„€β‰₯β€˜π‘€) ∩ (𝑛[,)+∞)))
372fdmd 6728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
3837ineq2d 4212 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑛[,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝑛[,)+∞) ∩ 𝑍))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛[,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝑛[,)+∞) ∩ 𝑍))
403eleq2i 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4140biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4241adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4342uzinico2 44360 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) = ((β„€β‰₯β€˜π‘€) ∩ (𝑛[,)+∞)))
4436, 39, 433eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛[,)+∞) ∩ dom 𝐹) = (β„€β‰₯β€˜π‘›))
4544reseq2d 5981 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝑛[,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)))
4632, 45eqtr3d 2774 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑛[,)+∞)) = (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)))
4746rneqd 5937 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (𝑛[,)+∞)) = ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)))
4826, 28, 473eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)))
4948supeq1d 9443 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)), ℝ*, < ))
5049mpteq2dva 5248 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)), ℝ*, < )))
5120, 50eqtrd 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)), ℝ*, < )))
5251rneqd 5937 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)), ℝ*, < )))
5314, 52eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) β€œ 𝑍) = ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)), ℝ*, < )))
5453infeq1d 9474 . 2 (πœ‘ β†’ inf(((𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) β€œ 𝑍), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
55 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) = (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
5655reseq2d 5981 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) = (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)))
5756rneqd 5937 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) = ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)))
5857supeq1d 9443 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)), ℝ*, < ))
5958cbvmptv 5261 . . . . 5 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)), ℝ*, < ))
6059rneqi 5936 . . . 4 ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)), ℝ*, < )) = ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)), ℝ*, < ))
6160infeq1i 9475 . . 3 inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
6261a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘›)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6313, 54, 623eqtrd 2776 1 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Rel wrel 5681  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  supcsup 9437  infcinf 9438  β„cr 11111  +∞cpnf 11247  β„*cxr 11249   < clt 11250  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  [,)cico 13328  lim supclsp 15416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-ico 13332  df-fl 13759  df-limsup 15417
This theorem is referenced by:  limsupvaluzmpt  44518  limsupvaluz2  44539  limsupgtlem  44578
  Copyright terms: Public domain W3C validator