Theorem elicopnf 13500

Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elicopnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem elicopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11290	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		elico2 13465	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
4		ltpnf 13173	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 < +∞)
6	5	pm4.71i 569	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
7		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
8	6, 7	bitr4i 281	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞))
9	3, 8	bitr4di 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  +∞cpnf 11267  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271  [,)cico 13402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-ico 13406

This theorem is used by:  elrege0  13509  rexico  15443  limsupgle  15566  limsupgre  15570  rlim3  15587  ello12  15605  lo1bdd2  15613  elo12  15616  lo1resb  15653  rlimresb  15654  o1resb  15655  lo1eq  15657  rlimeq  15658  rlimsqzlem  15738  o1fsum  15902  ovolicopnf  25753  dvfsumrlimge0  26259  dvfsumrlim  26260  dvfsumrlim2  26261  cxp2lim  27211  chebbnd1  27706  chtppilimlem1  27707  chtppilimlem2  27708  chtppilim  27709  chebbnd2  27711  chto1lb  27712  chpchtlim  27713  chpo1ub  27714  vmadivsumb  27717  dchrisumlema  27722  dchrisumlem2  27724  dchrisumlem3  27725  dchrmusumlema  27727  dchrmusum2  27728  dchrvmasumlem2  27732  dchrvmasumiflem1  27735  dchrisum0lema  27748  dchrisum0lem1b  27749  dchrisum0lem2a  27751  dchrisum0lem2  27752  2vmadivsumlem  27774  selbergb  27783  selberg2b  27786  chpdifbndlem1  27787  selberg3lem1  27791  selberg3lem2  27792  selberg4lem1  27794  pntrsumo1  27799  selbergsb  27809  pntrlog2bndlem3  27813  pntpbnd1  27820  pntpbnd2  27821  pntibndlem3  27826  pntlemn  27834  pntlem3  27843  pntleml  27845  pnt2  27847  uzssico  33242  itg2addnclem2  38408  ceilhalfnn  48215  elbigo2  49469  rege1logbrege0  49475  blennnelnn  49493  dignnld  49520