Theorem elicopnf 13372

Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elicopnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem elicopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11218	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		elico2 13338	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
4		ltpnf 13050	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
5	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 < +∞)
6	5	pm4.71i 560	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
7		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
8	6, 7	bitr4i 277	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞))
9	3, 8	bitr4di 288	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  ℝcr 11059  +∞cpnf 11195  ℝ^*cxr 11197   < clt 11198   ≤ cle 11199  [,)cico 13276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-ico 13280

This theorem is referenced by:  elrege0  13381  rexico  15250  limsupgle  15371  limsupgre  15375  rlim3  15392  ello12  15410  lo1bdd2  15418  elo12  15421  lo1resb  15458  rlimresb  15459  o1resb  15460  lo1eq  15462  rlimeq  15463  rlimsqzlem  15545  o1fsum  15709  ovolicopnf  24925  dvfsumrlimge0  25431  dvfsumrlim  25432  dvfsumrlim2  25433  cxp2lim  26363  chebbnd1  26857  chtppilimlem1  26858  chtppilimlem2  26859  chtppilim  26860  chebbnd2  26862  chto1lb  26863  chpchtlim  26864  chpo1ub  26865  vmadivsumb  26868  dchrisumlema  26873  dchrisumlem2  26875  dchrisumlem3  26876  dchrmusumlema  26878  dchrmusum2  26879  dchrvmasumlem2  26883  dchrvmasumiflem1  26886  dchrisum0lema  26899  dchrisum0lem1b  26900  dchrisum0lem2a  26902  dchrisum0lem2  26903  2vmadivsumlem  26925  selbergb  26934  selberg2b  26937  chpdifbndlem1  26938  selberg3lem1  26942  selberg3lem2  26943  selberg4lem1  26945  pntrsumo1  26950  selbergsb  26960  pntrlog2bndlem3  26964  pntpbnd1  26971  pntpbnd2  26972  pntibndlem3  26977  pntlemn  26985  pntlem3  26994  pntleml  26996  pnt2  26998  uzssico  31755  itg2addnclem2  36203  2xp3dxp2ge1d  40687  elbigo2  46758  rege1logbrege0  46764  blennnelnn  46782  dignnld  46809