Theorem elicopnf 13159

Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elicopnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem elicopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11013	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		elico2 13125	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
3	1, 2	mpan2 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
4		ltpnf 12838	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 < +∞)
6	5	pm4.71i 559	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
7		df-3an 1087	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
8	6, 7	bitr4i 277	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞))
9	3, 8	bitr4di 288	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  ℝcr 10854  +∞cpnf 10990  ℝ^*cxr 10992   < clt 10993   ≤ cle 10994  [,)cico 13063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-ico 13067

This theorem is referenced by:  elrege0  13168  rexico  15046  limsupgle  15167  limsupgre  15171  rlim3  15188  ello12  15206  lo1bdd2  15214  elo12  15217  lo1resb  15254  rlimresb  15255  o1resb  15256  lo1eq  15258  rlimeq  15259  rlimsqzlem  15341  o1fsum  15506  ovolicopnf  24669  dvfsumrlimge0  25175  dvfsumrlim  25176  dvfsumrlim2  25177  cxp2lim  26107  chebbnd1  26601  chtppilimlem1  26602  chtppilimlem2  26603  chtppilim  26604  chebbnd2  26606  chto1lb  26607  chpchtlim  26608  chpo1ub  26609  vmadivsumb  26612  dchrisumlema  26617  dchrisumlem2  26619  dchrisumlem3  26620  dchrmusumlema  26622  dchrmusum2  26623  dchrvmasumlem2  26627  dchrvmasumiflem1  26630  dchrisum0lema  26643  dchrisum0lem1b  26644  dchrisum0lem2a  26646  dchrisum0lem2  26647  2vmadivsumlem  26669  selbergb  26678  selberg2b  26681  chpdifbndlem1  26682  selberg3lem1  26686  selberg3lem2  26687  selberg4lem1  26689  pntrsumo1  26694  selbergsb  26704  pntrlog2bndlem3  26708  pntpbnd1  26715  pntpbnd2  26716  pntibndlem3  26721  pntlemn  26729  pntlem3  26738  pntleml  26740  pnt2  26742  uzssico  31084  itg2addnclem2  35808  2xp3dxp2ge1d  40142  elbigo2  45850  rege1logbrege0  45856  blennnelnn  45874  dignnld  45901