MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicopnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicopnf 12472
Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicopnf (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵)))

Proof of Theorem elicopnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10346 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
2 elico2 12439 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞)))
31, 2mpan2 682 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞)))
4 ltpnf 12154 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
54adantr 472 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 < +∞)
65pm4.71i 555 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
7 df-3an 1109 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
86, 7bitr4i 269 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞))
93, 8syl6bbr 280 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107  wcel 2155   class class class wbr 4809  (class class class)co 6842  cr 10188  +∞cpnf 10325  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  [,)cico 12379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-ico 12383
This theorem is referenced by:  elrege0  12482  rexico  14380  limsupgle  14495  limsupgre  14499  rlim3  14516  ello12  14534  lo1bdd2  14542  elo12  14545  lo1resb  14582  rlimresb  14583  o1resb  14584  lo1eq  14586  rlimeq  14587  rlimsqzlem  14666  o1fsum  14831  ovolicopnf  23582  dvfsumrlimge0  24084  dvfsumrlim  24085  dvfsumrlim2  24086  cxp2lim  24994  chebbnd1  25452  chtppilimlem1  25453  chtppilimlem2  25454  chtppilim  25455  chebbnd2  25457  chto1lb  25458  chpchtlim  25459  chpo1ub  25460  vmadivsumb  25463  dchrisumlema  25468  dchrisumlem2  25470  dchrisumlem3  25471  dchrmusumlema  25473  dchrmusum2  25474  dchrvmasumlem2  25478  dchrvmasumiflem1  25481  dchrisum0lema  25494  dchrisum0lem1b  25495  dchrisum0lem2a  25497  dchrisum0lem2  25498  2vmadivsumlem  25520  selbergb  25529  selberg2b  25532  chpdifbndlem1  25533  selberg3lem1  25537  selberg3lem2  25538  selberg4lem1  25540  pntrsumo1  25545  selbergsb  25555  pntrlog2bndlem3  25559  pntpbnd1  25566  pntpbnd2  25567  pntibndlem3  25572  pntlemn  25580  pntlem3  25589  pntleml  25591  pnt2  25593  uzssico  29930  itg2addnclem2  33817  elbigo2  42947  rege1logbrege0  42953  blennnelnn  42971  dignnld  42998
  Copyright terms: Public domain W3C validator