MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicopnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicopnf 12827
Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicopnf (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵)))

Proof of Theorem elicopnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10689 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
2 elico2 12794 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞)))
31, 2mpan2 689 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞)))
4 ltpnf 12509 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
54adantr 483 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 < +∞)
65pm4.71i 562 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
7 df-3an 1085 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
86, 7bitr4i 280 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞))
93, 8syl6bbr 291 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083  wcel 2110   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  cr 10530  +∞cpnf 10666  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670  [,)cico 12734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-ico 12738
This theorem is referenced by:  elrege0  12836  rexico  14707  limsupgle  14828  limsupgre  14832  rlim3  14849  ello12  14867  lo1bdd2  14875  elo12  14878  lo1resb  14915  rlimresb  14916  o1resb  14917  lo1eq  14919  rlimeq  14920  rlimsqzlem  14999  o1fsum  15162  ovolicopnf  24119  dvfsumrlimge0  24621  dvfsumrlim  24622  dvfsumrlim2  24623  cxp2lim  25548  chebbnd1  26042  chtppilimlem1  26043  chtppilimlem2  26044  chtppilim  26045  chebbnd2  26047  chto1lb  26048  chpchtlim  26049  chpo1ub  26050  vmadivsumb  26053  dchrisumlema  26058  dchrisumlem2  26060  dchrisumlem3  26061  dchrmusumlema  26063  dchrmusum2  26064  dchrvmasumlem2  26068  dchrvmasumiflem1  26071  dchrisum0lema  26084  dchrisum0lem1b  26085  dchrisum0lem2a  26087  dchrisum0lem2  26088  2vmadivsumlem  26110  selbergb  26119  selberg2b  26122  chpdifbndlem1  26123  selberg3lem1  26127  selberg3lem2  26128  selberg4lem1  26130  pntrsumo1  26135  selbergsb  26145  pntrlog2bndlem3  26149  pntpbnd1  26156  pntpbnd2  26157  pntibndlem3  26162  pntlemn  26170  pntlem3  26179  pntleml  26181  pnt2  26183  uzssico  30501  itg2addnclem2  34938  elbigo2  44606  rege1logbrege0  44612  blennnelnn  44630  dignnld  44657
  Copyright terms: Public domain W3C validator