Theorem elicopnf 13451

Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elicopnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem elicopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11238	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		elico2 13416	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
3	1, 2	mpan2 701	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
4		ltpnf 13124	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
5	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 < +∞)
6	5	pm4.71i 567	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
7		df-3an 1101	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
8	6, 7	bitr4i 280	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞))
9	3, 8	bitr4di 291	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7398  ℝcr 11074  +∞cpnf 11215  ℝ^*cxr 11217   < clt 11218   ≤ cle 11219  [,)cico 13353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-po 5557  df-so 5558  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-ico 13357

This theorem is referenced by:  elrege0  13460  rexico  15383  limsupgle  15506  limsupgre  15510  rlim3  15527  ello12  15545  lo1bdd2  15553  elo12  15556  lo1resb  15593  rlimresb  15594  o1resb  15595  lo1eq  15597  rlimeq  15598  rlimsqzlem  15678  o1fsum  15843  ovolicopnf  25588  dvfsumrlimge0  26094  dvfsumrlim  26095  dvfsumrlim2  26096  cxp2lim  27043  chebbnd1  27538  chtppilimlem1  27539  chtppilimlem2  27540  chtppilim  27541  chebbnd2  27543  chto1lb  27544  chpchtlim  27545  chpo1ub  27546  vmadivsumb  27549  dchrisumlema  27554  dchrisumlem2  27556  dchrisumlem3  27557  dchrmusumlema  27559  dchrmusum2  27560  dchrvmasumlem2  27564  dchrvmasumiflem1  27567  dchrisum0lema  27580  dchrisum0lem1b  27581  dchrisum0lem2a  27583  dchrisum0lem2  27584  2vmadivsumlem  27606  selbergb  27615  selberg2b  27618  chpdifbndlem1  27619  selberg3lem1  27623  selberg3lem2  27624  selberg4lem1  27626  pntrsumo1  27631  selbergsb  27641  pntrlog2bndlem3  27645  pntpbnd1  27652  pntpbnd2  27653  pntibndlem3  27658  pntlemn  27666  pntlem3  27675  pntleml  27677  pnt2  27679  uzssico  32988  itg2addnclem2  38176  ceilhalfnn  47939  elbigo2  49179  rege1logbrege0  49185  blennnelnn  49203  dignnld  49230