Theorem elicopnf 13478

Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elicopnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem elicopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11269	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		elico2 13443	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
3	1, 2	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
4		ltpnf 13151	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
5	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 < +∞)
6	5	pm4.71i 568	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
7		df-3an 1104	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
8	6, 7	bitr4i 281	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞))
9	3, 8	bitr4di 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  +∞cpnf 11246  ℝ^*cxr 11248   < clt 11249   ≤ cle 11250  [,)cico 13380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-ico 13384

This theorem is used by:  elrege0  13487  rexico  15412  limsupgle  15535  limsupgre  15539  rlim3  15556  ello12  15574  lo1bdd2  15582  elo12  15585  lo1resb  15622  rlimresb  15623  o1resb  15624  lo1eq  15626  rlimeq  15627  rlimsqzlem  15707  o1fsum  15872  ovolicopnf  25694  dvfsumrlimge0  26200  dvfsumrlim  26201  dvfsumrlim2  26202  cxp2lim  27152  chebbnd1  27647  chtppilimlem1  27648  chtppilimlem2  27649  chtppilim  27650  chebbnd2  27652  chto1lb  27653  chpchtlim  27654  chpo1ub  27655  vmadivsumb  27658  dchrisumlema  27663  dchrisumlem2  27665  dchrisumlem3  27666  dchrmusumlema  27668  dchrmusum2  27669  dchrvmasumlem2  27673  dchrvmasumiflem1  27676  dchrisum0lema  27689  dchrisum0lem1b  27690  dchrisum0lem2a  27692  dchrisum0lem2  27693  2vmadivsumlem  27715  selbergb  27724  selberg2b  27727  chpdifbndlem1  27728  selberg3lem1  27732  selberg3lem2  27733  selberg4lem1  27735  pntrsumo1  27740  selbergsb  27750  pntrlog2bndlem3  27754  pntpbnd1  27761  pntpbnd2  27762  pntibndlem3  27767  pntlemn  27775  pntlem3  27784  pntleml  27786  pnt2  27788  uzssico  33140  itg2addnclem2  38351  ceilhalfnn  48105  elbigo2  49360  rege1logbrege0  49366  blennnelnn  49384  dignnld  49411