Theorem elicopnf 12565

Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elicopnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem elicopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 10417	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		elico2 12532	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
3	1, 2	mpan2 682	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
4		ltpnf 12247	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
5	4	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 < +∞)
6	5	pm4.71i 555	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
7		df-3an 1113	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
8	6, 7	bitr4i 270	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞))
9	3, 8	syl6bbr 281	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4875  (class class class)co 6910  ℝcr 10258  +∞cpnf 10395  ℝ^*cxr 10397   < clt 10398   ≤ cle 10399  [,)cico 12472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-ico 12476

This theorem is referenced by:  elrege0  12575  rexico  14477  limsupgle  14592  limsupgre  14596  rlim3  14613  ello12  14631  lo1bdd2  14639  elo12  14642  lo1resb  14679  rlimresb  14680  o1resb  14681  lo1eq  14683  rlimeq  14684  rlimsqzlem  14763  o1fsum  14926  ovolicopnf  23697  dvfsumrlimge0  24199  dvfsumrlim  24200  dvfsumrlim2  24201  cxp2lim  25123  chebbnd1  25581  chtppilimlem1  25582  chtppilimlem2  25583  chtppilim  25584  chebbnd2  25586  chto1lb  25587  chpchtlim  25588  chpo1ub  25589  vmadivsumb  25592  dchrisumlema  25597  dchrisumlem2  25599  dchrisumlem3  25600  dchrmusumlema  25602  dchrmusum2  25603  dchrvmasumlem2  25607  dchrvmasumiflem1  25610  dchrisum0lema  25623  dchrisum0lem1b  25624  dchrisum0lem2a  25626  dchrisum0lem2  25627  2vmadivsumlem  25649  selbergb  25658  selberg2b  25661  chpdifbndlem1  25662  selberg3lem1  25666  selberg3lem2  25667  selberg4lem1  25669  pntrsumo1  25674  selbergsb  25684  pntrlog2bndlem3  25688  pntpbnd1  25695  pntpbnd2  25696  pntibndlem3  25701  pntlemn  25709  pntlem3  25718  pntleml  25720  pnt2  25722  uzssico  30089  itg2addnclem2  34004  elbigo2  43211  rege1logbrege0  43217  blennnelnn  43235  dignnld  43262