Theorem elicopnf 13600

Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elicopnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem elicopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11387	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		elico2 13565	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
4		ltpnf 13273	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 < +∞)
6	5	pm4.71i 569	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
7		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
8	6, 7	bitr4i 281	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞))
9	3, 8	bitr4di 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  +∞cpnf 11364  ℝ^*cxr 11366   < clt 11367   ≤ cle 11368  [,)cico 13502

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-ico 13506

This theorem is used by:  elrege0  13609  rexico  15547  limsupgle  15670  limsupgre  15674  rlim3  15691  ello12  15709  lo1bdd2  15717  elo12  15720  lo1resb  15757  rlimresb  15758  o1resb  15759  lo1eq  15761  rlimeq  15762  rlimsqzlem  15842  o1fsum  16006  ovolicopnf  25872  dvfsumrlimge0  26377  dvfsumrlim  26378  dvfsumrlim2  26379  cxp2lim  27331  chebbnd1  27826  chtppilimlem1  27827  chtppilimlem2  27828  chtppilim  27829  chebbnd2  27831  chto1lb  27832  chpchtlim  27833  chpo1ub  27834  vmadivsumb  27837  dchrisumlema  27842  dchrisumlem2  27844  dchrisumlem3  27845  dchrmusumlema  27847  dchrmusum2  27848  dchrvmasumlem2  27852  dchrvmasumiflem1  27855  dchrisum0lema  27868  dchrisum0lem1b  27869  dchrisum0lem2a  27871  dchrisum0lem2  27872  2vmadivsumlem  27894  selbergb  27903  selberg2b  27906  chpdifbndlem1  27907  selberg3lem1  27911  selberg3lem2  27912  selberg4lem1  27914  pntrsumo1  27919  selbergsb  27929  pntrlog2bndlem3  27933  pntpbnd1  27940  pntpbnd2  27941  pntibndlem3  27946  pntlemn  27954  pntlem3  27963  pntleml  27965  pnt2  27967  uzssico  33443  itg2addnclem2  38781  ceilhalfnn  48613  elbigo2  49867  rege1logbrege0  49873  blennnelnn  49891  dignnld  49918