Theorem elicopnf 12832

Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elicopnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem elicopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 10694	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		elico2 12799	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
4		ltpnf 12514	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
5	4	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 < +∞)
6	5	pm4.71i 562	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
7		df-3an 1085	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
8	6, 7	bitr4i 280	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞))
9	3, 8	syl6bbr 291	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065  (class class class)co 7155  ℝcr 10535  +∞cpnf 10671  ℝ^*cxr 10673   < clt 10674   ≤ cle 10675  [,)cico 12739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-ico 12743

This theorem is referenced by:  elrege0  12841  rexico  14712  limsupgle  14833  limsupgre  14837  rlim3  14854  ello12  14872  lo1bdd2  14880  elo12  14883  lo1resb  14920  rlimresb  14921  o1resb  14922  lo1eq  14924  rlimeq  14925  rlimsqzlem  15004  o1fsum  15167  ovolicopnf  24124  dvfsumrlimge0  24626  dvfsumrlim  24627  dvfsumrlim2  24628  cxp2lim  25553  chebbnd1  26047  chtppilimlem1  26048  chtppilimlem2  26049  chtppilim  26050  chebbnd2  26052  chto1lb  26053  chpchtlim  26054  chpo1ub  26055  vmadivsumb  26058  dchrisumlema  26063  dchrisumlem2  26065  dchrisumlem3  26066  dchrmusumlema  26068  dchrmusum2  26069  dchrvmasumlem2  26073  dchrvmasumiflem1  26076  dchrisum0lema  26089  dchrisum0lem1b  26090  dchrisum0lem2a  26092  dchrisum0lem2  26093  2vmadivsumlem  26115  selbergb  26124  selberg2b  26127  chpdifbndlem1  26128  selberg3lem1  26132  selberg3lem2  26133  selberg4lem1  26135  pntrsumo1  26140  selbergsb  26150  pntrlog2bndlem3  26154  pntpbnd1  26161  pntpbnd2  26162  pntibndlem3  26167  pntlemn  26175  pntlem3  26184  pntleml  26186  pnt2  26188  uzssico  30506  itg2addnclem2  34943  elbigo2  44611  rege1logbrege0  44617  blennnelnn  44635  dignnld  44662