Theorem elicopnf 12823

Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elicopnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem elicopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 10684	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		elico2 12789	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
3	1, 2	mpan2 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
4		ltpnf 12503	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
5	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 < +∞)
6	5	pm4.71i 563	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
7		df-3an 1086	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
8	6, 7	bitr4i 281	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞))
9	3, 8	syl6bbr 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  [,)cico 12728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ico 12732

This theorem is referenced by:  elrege0  12832  rexico  14705  limsupgle  14826  limsupgre  14830  rlim3  14847  ello12  14865  lo1bdd2  14873  elo12  14876  lo1resb  14913  rlimresb  14914  o1resb  14915  lo1eq  14917  rlimeq  14918  rlimsqzlem  14997  o1fsum  15160  ovolicopnf  24128  dvfsumrlimge0  24633  dvfsumrlim  24634  dvfsumrlim2  24635  cxp2lim  25562  chebbnd1  26056  chtppilimlem1  26057  chtppilimlem2  26058  chtppilim  26059  chebbnd2  26061  chto1lb  26062  chpchtlim  26063  chpo1ub  26064  vmadivsumb  26067  dchrisumlema  26072  dchrisumlem2  26074  dchrisumlem3  26075  dchrmusumlema  26077  dchrmusum2  26078  dchrvmasumlem2  26082  dchrvmasumiflem1  26085  dchrisum0lema  26098  dchrisum0lem1b  26099  dchrisum0lem2a  26101  dchrisum0lem2  26102  2vmadivsumlem  26124  selbergb  26133  selberg2b  26136  chpdifbndlem1  26137  selberg3lem1  26141  selberg3lem2  26142  selberg4lem1  26144  pntrsumo1  26149  selbergsb  26159  pntrlog2bndlem3  26163  pntpbnd1  26170  pntpbnd2  26171  pntibndlem3  26176  pntlemn  26184  pntlem3  26193  pntleml  26195  pnt2  26197  uzssico  30533  itg2addnclem2  35109  2xp3dxp2ge1d  39387  elbigo2  44966  rege1logbrege0  44972  blennnelnn  44990  dignnld  45017