Theorem elicopnf 13227

Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elicopnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem elicopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11079	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		elico2 13193	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
4		ltpnf 12906	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
5	4	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 < +∞)
6	5	pm4.71i 561	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
7		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
8	6, 7	bitr4i 278	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞))
9	3, 8	bitr4di 289	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  (class class class)co 7307  ℝcr 10920  +∞cpnf 11056  ℝ^*cxr 11058   < clt 11059   ≤ cle 11060  [,)cico 13131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-ico 13135

This theorem is referenced by:  elrege0  13236  rexico  15114  limsupgle  15235  limsupgre  15239  rlim3  15256  ello12  15274  lo1bdd2  15282  elo12  15285  lo1resb  15322  rlimresb  15323  o1resb  15324  lo1eq  15326  rlimeq  15327  rlimsqzlem  15409  o1fsum  15574  ovolicopnf  24737  dvfsumrlimge0  25243  dvfsumrlim  25244  dvfsumrlim2  25245  cxp2lim  26175  chebbnd1  26669  chtppilimlem1  26670  chtppilimlem2  26671  chtppilim  26672  chebbnd2  26674  chto1lb  26675  chpchtlim  26676  chpo1ub  26677  vmadivsumb  26680  dchrisumlema  26685  dchrisumlem2  26687  dchrisumlem3  26688  dchrmusumlema  26690  dchrmusum2  26691  dchrvmasumlem2  26695  dchrvmasumiflem1  26698  dchrisum0lema  26711  dchrisum0lem1b  26712  dchrisum0lem2a  26714  dchrisum0lem2  26715  2vmadivsumlem  26737  selbergb  26746  selberg2b  26749  chpdifbndlem1  26750  selberg3lem1  26754  selberg3lem2  26755  selberg4lem1  26757  pntrsumo1  26762  selbergsb  26772  pntrlog2bndlem3  26776  pntpbnd1  26783  pntpbnd2  26784  pntibndlem3  26789  pntlemn  26797  pntlem3  26806  pntleml  26808  pnt2  26810  uzssico  31154  itg2addnclem2  35877  2xp3dxp2ge1d  40362  elbigo2  46142  rege1logbrege0  46148  blennnelnn  46166  dignnld  46193