Theorem elicopnf 13426

Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elicopnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem elicopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11272	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		elico2 13392	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
3	1, 2	mpan2 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
4		ltpnf 13104	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
5	4	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 < +∞)
6	5	pm4.71i 558	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
7		df-3an 1087	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
8	6, 7	bitr4i 277	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞))
9	3, 8	bitr4di 288	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  +∞cpnf 11249  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253  [,)cico 13330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ico 13334

This theorem is referenced by:  elrege0  13435  rexico  15304  limsupgle  15425  limsupgre  15429  rlim3  15446  ello12  15464  lo1bdd2  15472  elo12  15475  lo1resb  15512  rlimresb  15513  o1resb  15514  lo1eq  15516  rlimeq  15517  rlimsqzlem  15599  o1fsum  15763  ovolicopnf  25273  dvfsumrlimge0  25782  dvfsumrlim  25783  dvfsumrlim2  25784  cxp2lim  26717  chebbnd1  27211  chtppilimlem1  27212  chtppilimlem2  27213  chtppilim  27214  chebbnd2  27216  chto1lb  27217  chpchtlim  27218  chpo1ub  27219  vmadivsumb  27222  dchrisumlema  27227  dchrisumlem2  27229  dchrisumlem3  27230  dchrmusumlema  27232  dchrmusum2  27233  dchrvmasumlem2  27237  dchrvmasumiflem1  27240  dchrisum0lema  27253  dchrisum0lem1b  27254  dchrisum0lem2a  27256  dchrisum0lem2  27257  2vmadivsumlem  27279  selbergb  27288  selberg2b  27291  chpdifbndlem1  27292  selberg3lem1  27296  selberg3lem2  27297  selberg4lem1  27299  pntrsumo1  27304  selbergsb  27314  pntrlog2bndlem3  27318  pntpbnd1  27325  pntpbnd2  27326  pntibndlem3  27331  pntlemn  27339  pntlem3  27348  pntleml  27350  pnt2  27352  uzssico  32262  itg2addnclem2  36843  2xp3dxp2ge1d  41328  elbigo2  47325  rege1logbrege0  47331  blennnelnn  47349  dignnld  47376