Theorem xpsfrn 17550

Description: A short expression for the indexed cartesian product on two indices. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpsfrn	⊢ ran 𝐹 = X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝐵,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem xpsfrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsff1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
2	1	xpsff1o 17549	. 2 ⊢ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)
3		f1ofo 6846	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
4		forn 6814	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → ran 𝐹 = X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
5	2, 3, 4	mp2b 10	1 ⊢ ran 𝐹 = X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1534  ∅c0 4323  ifcif 4529  {cpr 4631  ⟨cop 4635   × cxp 5676  ran crn 5679  –onto→wfo 6546  –1-1-onto→wf1o 6547   ∈ cmpo 7422  1_oc1o 8480  2_oc2o 8481  Xcixp 8916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-1o 8487  df-2o 8488  df-ixp 8917  df-en 8965  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  xpsrnbas  17553