Theorem xpsfrn 17489

Description: A short expression for the indexed cartesian product on two indices. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpsfrn	⊢ ran 𝐹 = X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝐵,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem xpsfrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsff1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
2	1	xpsff1o 17488	. 2 ⊢ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)
3		f1ofo 6781	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
4		forn 6749	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → ran 𝐹 = X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
5	2, 3, 4	mp2b 10	1 ⊢ ran 𝐹 = X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1541  ∅c0 4285  ifcif 4479  {cpr 4582  ⟨cop 4586   × cxp 5622  ran crn 5625  –onto→wfo 6490  –1-1-onto→wf1o 6491   ∈ cmpo 7360  1_oc1o 8390  2_oc2o 8391  Xcixp 8835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-1o 8397  df-2o 8398  df-ixp 8836  df-en 8884  df-fin 8887

This theorem is referenced by:  xpsrnbas  17492