Theorem xpsff1o2 17533

Description: The function appearing in xpsval 17534 is a bijection from the cartesian product to the indexed cartesian product indexed on the pair 2_o = {∅, 1_o}. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpsff1o2	⊢ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem xpsff1o2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsff1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
2	1	xpsff1o 17531	. 2 ⊢ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)
3		f1of1 6779	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
4		f1f1orn 6791	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹)
5	2, 3, 4	mp2b 10	1 ⊢ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹

Syntax hints:   = wceq 1542  ∅c0 4273  ifcif 4466  {cpr 4569  ⟨cop 4573   × cxp 5629  ran crn 5632  –1-1→wf1 6495  –1-1-onto→wf1o 6497   ∈ cmpo 7369  1_oc1o 8398  2_oc2o 8399  Xcixp 8845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-1o 8405  df-2o 8406  df-ixp 8846  df-en 8894  df-fin 8897

This theorem is referenced by:  xpsbas  17536  xpsaddlem  17537  xpsadd  17538  xpsmul  17539  xpssca  17540  xpsvsca  17541  xpsless  17542  xpsle  17543  xpsmnd  18745  xpsgrp  19035  xpsrngd  20160  xpsringd  20312  xpstps  23775  xpstopnlem2  23776  xpsdsfn  24342  xpsxmet  24345  xpsdsval  24346  xpsmet  24347  xpsxms  24499  xpsms  24500