Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsff1o2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsff1o2 16844
 Description: The function appearing in xpsval 16845 is a bijection from the cartesian product to the indexed cartesian product indexed on the pair 2o = {∅, 1o}. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsff1o.f 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
Assertion
Ref Expression
xpsff1o2 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem xpsff1o2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsff1o.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
21xpsff1o 16842 . 2 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-ontoX𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)
3 f1of1 6607 . 2 (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-ontoX𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
4 f1f1orn 6619 . 2 (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹)
52, 3, 4mp2b 10 1 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538  ∅c0 4276  ifcif 4450  {cpr 4552  ⟨cop 4556   × cxp 5541  ran crn 5544  –1-1→wf1 6342  –1-1-onto→wf1o 6344   ∈ cmpo 7153  1oc1o 8093  2oc2o 8094  Xcixp 8459 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511 This theorem is referenced by:  xpsbas  16847  xpsaddlem  16848  xpsadd  16849  xpsmul  16850  xpssca  16851  xpsvsca  16852  xpsless  16853  xpsle  16854  xpsmnd  17953  xpsgrp  18220  xpstps  22424  xpstopnlem2  22425  xpsdsfn  22993  xpsxmet  22996  xpsdsval  22997  xpsmet  22998  xpsxms  23150  xpsms  23151
 Copyright terms: Public domain W3C validator