Theorem xpsff1o2 17570

Description: The function appearing in xpsval 17571 is a bijection from the cartesian product to the indexed cartesian product indexed on the pair 2_o = {∅, 1_o}. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpsff1o2	⊢ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem xpsff1o2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsff1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
2	1	xpsff1o 17568	. 2 ⊢ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)
3		f1of1 6837	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
4		f1f1orn 6849	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹)
5	2, 3, 4	mp2b 10	1 ⊢ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹

Syntax hints:   = wceq 1533  ∅c0 4322  ifcif 4530  {cpr 4632  ⟨cop 4636   × cxp 5676  ran crn 5679  –1-1→wf1 6546  –1-1-onto→wf1o 6548   ∈ cmpo 7421  1_oc1o 8480  2_oc2o 8481  Xcixp 8916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-1o 8487  df-2o 8488  df-ixp 8917  df-en 8965  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  xpsbas  17573  xpsaddlem  17574  xpsadd  17575  xpsmul  17576  xpssca  17577  xpsvsca  17578  xpsless  17579  xpsle  17580  xpsmnd  18753  xpsgrp  19039  xpsrngd  20148  xpsringd  20297  xpstps  23775  xpstopnlem2  23776  xpsdsfn  24344  xpsxmet  24347  xpsdsval  24348  xpsmet  24349  xpsxms  24504  xpsms  24505