MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsff1o2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsff1o2 17452
Description: The function appearing in xpsval 17453 is a bijection from the cartesian product to the indexed cartesian product indexed on the pair 2o = {βˆ…, 1o}. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsff1o.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
Assertion
Ref Expression
xpsff1o2 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐡)–1-1-ontoβ†’ran 𝐹
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem xpsff1o2
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsff1o.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
21xpsff1o 17450 . 2 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐡)–1-1-ontoβ†’Xπ‘˜ ∈ 2o if(π‘˜ = βˆ…, 𝐴, 𝐡)
3 f1of1 6784 . 2 (𝐹:(𝐴 Γ— 𝐡)–1-1-ontoβ†’Xπ‘˜ ∈ 2o if(π‘˜ = βˆ…, 𝐴, 𝐡) β†’ 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐡)–1-1β†’Xπ‘˜ ∈ 2o if(π‘˜ = βˆ…, 𝐴, 𝐡))
4 f1f1orn 6796 . 2 (𝐹:(𝐴 Γ— 𝐡)–1-1β†’Xπ‘˜ ∈ 2o if(π‘˜ = βˆ…, 𝐴, 𝐡) β†’ 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐡)–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)
52, 3, 4mp2b 10 1 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐡)–1-1-ontoβ†’ran 𝐹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593   Γ— cxp 5632  ran crn 5635  β€“1-1β†’wf1 6494  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496   ∈ cmpo 7360  1oc1o 8406  2oc2o 8407  Xcixp 8836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-1o 8413  df-2o 8414  df-ixp 8837  df-en 8885  df-fin 8888
This theorem is referenced by:  xpsbas  17455  xpsaddlem  17456  xpsadd  17457  xpsmul  17458  xpssca  17459  xpsvsca  17460  xpsless  17461  xpsle  17462  xpsmnd  18597  xpsgrp  18867  xpstps  23164  xpstopnlem2  23165  xpsdsfn  23733  xpsxmet  23736  xpsdsval  23737  xpsmet  23738  xpsxms  23893  xpsms  23894
  Copyright terms: Public domain W3C validator