Theorem xpsff1o2 17773

Description: The function appearing in xpsval 17774 is a bijection from the cartesian product to the indexed cartesian product indexed on the pair 2_o = {∅, 1_o}. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpsff1o2	⊢ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶1-1ontoran 𝐹

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem xpsff1o2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsff1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
2	1	xpsff1o 17771	. 2 ⊢ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶1-1ontoX𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)
3		f1of1 6848	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶1-1ontoX𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶1-1X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
4		f1f1orn 6861	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶1-1X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶1-1ontoran 𝐹)
5	2, 3, 4	mp2b 10	1 ⊢ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶1-1ontoran 𝐹

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ∅c0 4281  ifcif 4485  {cpr 4590  ⟨cop 4838   × cxp 5654  ran crn 5657  ⟶1-1wf1 6558  ⟶1-1ontowf1o 6560   ∈ cmpo 7448  1_oc1o 8500  2_oc2o 8501  Xcixp 8956

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-1o 8507  df-2o 8508  df-ixp 8957  df-en 9005  df-fin 9008

This theorem is used by:  xpsbas  17776  xpsaddlem  17777  xpsadd  17778  xpsmul  17779  xpssca  17780  xpsvsca  17781  xpsless  17782  xpsle  17783  xpsmnd  19003  xpsgrp  19301  xpsrngd  20434  xpsringd  20595  xpstps  24162  xpstopnlem2  24163  xpsdsfn  24729  xpsxmet  24732  xpsdsval  24733  xpsmet  24734  xpsxms  24886  xpsms  24887