MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramcl2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramcl2lem 16977
Description: Lemma for extended real closure of the Ramsey number function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c 𝐢 = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
ramval.t 𝑇 = {𝑛 ∈ β„•0 ∣ βˆ€π‘ (𝑛 ≀ (β™―β€˜π‘ ) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐢𝑀))βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))}
Assertion
Ref Expression
ramcl2lem ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,π‘₯,𝐢   𝑛,𝑐,𝑠,𝐹,𝑓,π‘₯   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,π‘₯,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,π‘₯   𝑉,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑖,𝑛,𝑠,π‘Ž,𝑏)   𝑅(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑇(π‘₯,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝐹(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑖,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem ramcl2lem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2737 . 2 (+∞ = if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < ))))
2 eqeq2 2737 . 2 (inf(𝑇, ℝ, < ) = if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ) ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < ))))
3 ramval.c . . . 4 𝐢 = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
4 ramval.t . . . 4 𝑇 = {𝑛 ∈ β„•0 ∣ βˆ€π‘ (𝑛 ≀ (β™―β€˜π‘ ) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐢𝑀))βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))}
53, 4ramval 16976 . . 3 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ*, < ))
6 infeq1 9499 . . . 4 (𝑇 = βˆ… β†’ inf(𝑇, ℝ*, < ) = inf(βˆ…, ℝ*, < ))
7 xrinf0 13349 . . . 4 inf(βˆ…, ℝ*, < ) = +∞
86, 7eqtrdi 2781 . . 3 (𝑇 = βˆ… β†’ inf(𝑇, ℝ*, < ) = +∞)
95, 8sylan9eq 2785 . 2 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 = βˆ…) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
10 df-ne 2931 . . 3 (𝑇 β‰  βˆ… ↔ Β¬ 𝑇 = βˆ…)
115adantr 479 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ*, < ))
12 xrltso 13152 . . . . . 6 < Or ℝ*
1312a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ < Or ℝ*)
144ssrab3 4072 . . . . . . . 8 𝑇 βŠ† β„•0
15 nn0ssre 12506 . . . . . . . 8 β„•0 βŠ† ℝ
1614, 15sstri 3982 . . . . . . 7 𝑇 βŠ† ℝ
17 nn0uz 12894 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
1814, 17sseqtri 4009 . . . . . . . . 9 𝑇 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0)
1918a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ 𝑇 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0))
20 infssuzcl 12946 . . . . . . . 8 ((𝑇 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
2119, 20sylan 578 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
2216, 21sselid 3970 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2322rexrd 11294 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
2422adantr 479 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) β†’ inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2516a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ 𝑇 βŠ† ℝ)
2625sselda 3972 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
27 simpr 483 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) β†’ 𝑧 ∈ 𝑇)
28 infssuzle 12945 . . . . . . 7 ((𝑇 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) β†’ inf(𝑇, ℝ, < ) ≀ 𝑧)
2918, 27, 28sylancr 585 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) β†’ inf(𝑇, ℝ, < ) ≀ 𝑧)
3024, 26, 29lensymd 11395 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) β†’ Β¬ 𝑧 < inf(𝑇, ℝ, < ))
3113, 23, 21, 30infmin 9517 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ inf(𝑇, ℝ*, < ) = inf(𝑇, ℝ, < ))
3211, 31eqtrd 2765 . . 3 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
3310, 32sylan2br 593 . 2 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
341, 2, 9, 33ifbothda 4562 1 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  π’« cpw 4598  {csn 4624   class class class wbr 5143   Or wor 5583  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   ↑m cmap 8843  infcinf 9464  β„cr 11137  0cc0 11138  +∞cpnf 11275  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279  β„•0cn0 12502  β„€β‰₯cuz 12852  β™―chash 14321   Ramsey cram 16967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-ram 16969
This theorem is referenced by:  ramtcl  16978  ramtcl2  16979  ramtub  16980  ramcl2  16984
  Copyright terms: Public domain W3C validator