Theorem ramcl2lem 17064

Description: Lemma for extended real closure of the Ramsey number function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ramval.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
ramval.t	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))}

Assertion

Ref	Expression
ramcl2lem	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑥,𝐶   𝑛,𝑐,𝑠,𝐹,𝑓,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑥,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑛,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramcl2lem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2775	. 2 ⊢ (+∞ = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < ))))
2		eqeq2 2775	. 2 ⊢ (inf(𝑇, ℝ, < ) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ) ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < ))))
3		ramval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
4		ramval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))}
5	3, 4	ramval 17063	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ*, < ))
6		infeq1 9433	. . . 4 ⊢ (𝑇 = ∅ → inf(𝑇, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
7		xrinf0 13360	. . . 4 ⊢ inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
8	6, 7	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (𝑇 = ∅ → inf(𝑇, ℝ*, < ) = +∞)
9	5, 8	sylan9eq 2818	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 = ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
10		df-ne 2959	. . 3 ⊢ (𝑇 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑇 = ∅)
11	5	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ*, < ))
12		xrltso 13161	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → < Or ℝ*)
14	4	ssrab3 4036	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ0
15		nn0ssre 12503	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
16	14, 15	sstri 3946	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ ℝ
17		nn0uz 12895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
18	14, 17	sseqtri 3985	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0)
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0))
20		infssuzcl 12951	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
21	19, 20	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
22	16, 21	sselid 3935	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11254	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
24	22	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ ℝ)
26	25	sselda 3937	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → 𝑧 ∈ ℝ)
27		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → 𝑧 ∈ 𝑇)
28		infssuzle 12950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
29	18, 27, 28	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
30	24, 26, 29	lensymd 11356	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → ¬ 𝑧 < inf(𝑇, ℝ, < ))
31	13, 23, 21, 30	infmin 9452	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ*, < ) = inf(𝑇, ℝ, < ))
32	11, 31	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
33	10, 32	sylan2br 606	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
34	1, 2, 9, 33	ifbothda 4526	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ifcif 4487  𝒫 cpw 4562  {csn 4589   class class class wbr 5109   Or wor 5568  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412   ↑_m cmap 8820  infcinf 9397  ℝcr 11094  0cc0 11095  +∞cpnf 11235  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239  ℕ₀cn0 12499  ℤ_≥cuz 12857  ♯chash 14362   Ramsey cram 17054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-ram 17056

This theorem is referenced by:  ramtcl  17065  ramtcl2  17066  ramtub  17067  ramcl2  17071