MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramcl2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramcl2lem 16951
Description: Lemma for extended real closure of the Ramsey number function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c 𝐢 = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
ramval.t 𝑇 = {𝑛 ∈ β„•0 ∣ βˆ€π‘ (𝑛 ≀ (β™―β€˜π‘ ) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐢𝑀))βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))}
Assertion
Ref Expression
ramcl2lem ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,π‘₯,𝐢   𝑛,𝑐,𝑠,𝐹,𝑓,π‘₯   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,π‘₯,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,π‘₯   𝑉,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑖,𝑛,𝑠,π‘Ž,𝑏)   𝑅(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑇(π‘₯,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝐹(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑖,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem ramcl2lem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2738 . 2 (+∞ = if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < ))))
2 eqeq2 2738 . 2 (inf(𝑇, ℝ, < ) = if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ) ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < ))))
3 ramval.c . . . 4 𝐢 = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
4 ramval.t . . . 4 𝑇 = {𝑛 ∈ β„•0 ∣ βˆ€π‘ (𝑛 ≀ (β™―β€˜π‘ ) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐢𝑀))βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))}
53, 4ramval 16950 . . 3 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ*, < ))
6 infeq1 9473 . . . 4 (𝑇 = βˆ… β†’ inf(𝑇, ℝ*, < ) = inf(βˆ…, ℝ*, < ))
7 xrinf0 13323 . . . 4 inf(βˆ…, ℝ*, < ) = +∞
86, 7eqtrdi 2782 . . 3 (𝑇 = βˆ… β†’ inf(𝑇, ℝ*, < ) = +∞)
95, 8sylan9eq 2786 . 2 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 = βˆ…) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
10 df-ne 2935 . . 3 (𝑇 β‰  βˆ… ↔ Β¬ 𝑇 = βˆ…)
115adantr 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ*, < ))
12 xrltso 13126 . . . . . 6 < Or ℝ*
1312a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ < Or ℝ*)
144ssrab3 4075 . . . . . . . 8 𝑇 βŠ† β„•0
15 nn0ssre 12480 . . . . . . . 8 β„•0 βŠ† ℝ
1614, 15sstri 3986 . . . . . . 7 𝑇 βŠ† ℝ
17 nn0uz 12868 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
1814, 17sseqtri 4013 . . . . . . . . 9 𝑇 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0)
1918a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ 𝑇 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0))
20 infssuzcl 12920 . . . . . . . 8 ((𝑇 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
2119, 20sylan 579 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
2216, 21sselid 3975 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2322rexrd 11268 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
2422adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) β†’ inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2516a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ 𝑇 βŠ† ℝ)
2625sselda 3977 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
27 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) β†’ 𝑧 ∈ 𝑇)
28 infssuzle 12919 . . . . . . 7 ((𝑇 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) β†’ inf(𝑇, ℝ, < ) ≀ 𝑧)
2918, 27, 28sylancr 586 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) β†’ inf(𝑇, ℝ, < ) ≀ 𝑧)
3024, 26, 29lensymd 11369 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) β†’ Β¬ 𝑧 < inf(𝑇, ℝ, < ))
3113, 23, 21, 30infmin 9491 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ inf(𝑇, ℝ*, < ) = inf(𝑇, ℝ, < ))
3211, 31eqtrd 2766 . . 3 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
3310, 32sylan2br 594 . 2 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
341, 2, 9, 33ifbothda 4561 1 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  π’« cpw 4597  {csn 4623   class class class wbr 5141   Or wor 5580  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ↑m cmap 8822  infcinf 9438  β„cr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  β„€β‰₯cuz 12826  β™―chash 14295   Ramsey cram 16941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-ram 16943
This theorem is referenced by:  ramtcl  16952  ramtcl2  16953  ramtub  16954  ramcl2  16958
  Copyright terms: Public domain W3C validator