Theorem ramcl2lem 17036

Description: Lemma for extended real closure of the Ramsey number function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ramval.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
ramval.t	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))}

Assertion

Ref	Expression
ramcl2lem	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑥,𝐶   𝑛,𝑐,𝑠,𝐹,𝑓,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑥,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑛,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramcl2lem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2773	. 2 ⊢ (+∞ = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < ))))
2		eqeq2 2773	. 2 ⊢ (inf(𝑇, ℝ, < ) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ) ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < ))))
3		ramval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
4		ramval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))}
5	3, 4	ramval 17035	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ*, < ))
6		infeq1 9417	. . . 4 ⊢ (𝑇 = ∅ → inf(𝑇, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
7		xrinf0 13336	. . . 4 ⊢ inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
8	6, 7	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (𝑇 = ∅ → inf(𝑇, ℝ*, < ) = +∞)
9	5, 8	sylan9eq 2816	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 = ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
10		df-ne 2957	. . 3 ⊢ (𝑇 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑇 = ∅)
11	5	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ*, < ))
12		xrltso 13137	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → < Or ℝ*)
14	4	ssrab3 4033	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ0
15		nn0ssre 12479	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
16	14, 15	sstri 3943	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ ℝ
17		nn0uz 12871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
18	14, 17	sseqtri 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0)
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0))
20		infssuzcl 12927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
21	19, 20	sylan 589	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
22	16, 21	sselid 3932	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11226	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
24	22	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ ℝ)
26	25	sselda 3934	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → 𝑧 ∈ ℝ)
27		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → 𝑧 ∈ 𝑇)
28		infssuzle 12926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
29	18, 27, 28	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
30	24, 26, 29	lensymd 11328	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → ¬ 𝑧 < inf(𝑇, ℝ, < ))
31	13, 23, 21, 30	infmin 9436	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ*, < ) = inf(𝑇, ℝ, < ))
32	11, 31	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
33	10, 32	sylan2br 604	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
34	1, 2, 9, 33	ifbothda 4516	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097  ∀wal 1557   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  {crab 3413  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  ifcif 4477  𝒫 cpw 4552  {csn 4579   class class class wbr 5097   Or wor 5550  ^◡ccnv 5642   “ cima 5646  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ∈ cmpo 7393   ↑_m cmap 8802  infcinf 9381  ℝcr 11066  0cc0 11067  +∞cpnf 11207  ℝ^*cxr 11209   < clt 11210   ≤ cle 11211  ℕ₀cn0 12475  ℤ_≥cuz 12833  ♯chash 14337   Ramsey cram 17026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-ram 17028

This theorem is referenced by:  ramtcl  17037  ramtcl2  17038  ramtub  17039  ramcl2  17043