MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramcl2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramcl2lem 17011
Description: Lemma for extended real closure of the Ramsey number function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
ramval.t 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))}
Assertion
Ref Expression
ramcl2lem ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑥,𝐶   𝑛,𝑐,𝑠,𝐹,𝑓,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑥,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑛,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramcl2lem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2738 . 2 (+∞ = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < ))))
2 eqeq2 2738 . 2 (inf(𝑇, ℝ, < ) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ) ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < ))))
3 ramval.c . . . 4 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
4 ramval.t . . . 4 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))}
53, 4ramval 17010 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ*, < ))
6 infeq1 9519 . . . 4 (𝑇 = ∅ → inf(𝑇, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
7 xrinf0 13371 . . . 4 inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
86, 7eqtrdi 2782 . . 3 (𝑇 = ∅ → inf(𝑇, ℝ*, < ) = +∞)
95, 8sylan9eq 2786 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 = ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
10 df-ne 2931 . . 3 (𝑇 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑇 = ∅)
115adantr 479 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ*, < ))
12 xrltso 13174 . . . . . 6 < Or ℝ*
1312a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → < Or ℝ*)
144ssrab3 4079 . . . . . . . 8 𝑇 ⊆ ℕ0
15 nn0ssre 12528 . . . . . . . 8 0 ⊆ ℝ
1614, 15sstri 3989 . . . . . . 7 𝑇 ⊆ ℝ
17 nn0uz 12916 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
1814, 17sseqtri 4016 . . . . . . . . 9 𝑇 ⊆ (ℤ‘0)
1918a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑇 ⊆ (ℤ‘0))
20 infssuzcl 12968 . . . . . . . 8 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
2119, 20sylan 578 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
2216, 21sselid 3977 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2322rexrd 11314 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
2422adantr 479 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2516a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ ℝ)
2625sselda 3979 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑇) → 𝑧 ∈ ℝ)
27 simpr 483 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑇) → 𝑧𝑇)
28 infssuzle 12967 . . . . . . 7 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘0) ∧ 𝑧𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
2918, 27, 28sylancr 585 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
3024, 26, 29lensymd 11415 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑇) → ¬ 𝑧 < inf(𝑇, ℝ, < ))
3113, 23, 21, 30infmin 9537 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ*, < ) = inf(𝑇, ℝ, < ))
3211, 31eqtrd 2766 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
3310, 32sylan2br 593 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
341, 2, 9, 33ifbothda 4571 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084  wal 1532   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3462  wss 3947  c0 4325  ifcif 4533  𝒫 cpw 4607  {csn 4633   class class class wbr 5153   Or wor 5593  ccnv 5681  cima 5685  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cmpo 7426  m cmap 8855  infcinf 9484  cr 11157  0cc0 11158  +∞cpnf 11295  *cxr 11297   < clt 11298  cle 11299  0cn0 12524  cuz 12874  chash 14347   Ramsey cram 17001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-ram 17003
This theorem is referenced by:  ramtcl  17012  ramtcl2  17013  ramtub  17014  ramcl2  17018
  Copyright terms: Public domain W3C validator