Theorem ramcl2lem 17042

Description: Lemma for extended real closure of the Ramsey number function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ramval.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
ramval.t	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))}

Assertion

Ref	Expression
ramcl2lem	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑥,𝐶   𝑛,𝑐,𝑠,𝐹,𝑓,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑥,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑛,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramcl2lem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2746	. 2 ⊢ (+∞ = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < ))))
2		eqeq2 2746	. 2 ⊢ (inf(𝑇, ℝ, < ) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ) ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < ))))
3		ramval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
4		ramval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))}
5	3, 4	ramval 17041	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ*, < ))
6		infeq1 9513	. . . 4 ⊢ (𝑇 = ∅ → inf(𝑇, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
7		xrinf0 13376	. . . 4 ⊢ inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
8	6, 7	eqtrdi 2790	. . 3 ⊢ (𝑇 = ∅ → inf(𝑇, ℝ*, < ) = +∞)
9	5, 8	sylan9eq 2794	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 = ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
10		df-ne 2938	. . 3 ⊢ (𝑇 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑇 = ∅)
11	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ*, < ))
12		xrltso 13179	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → < Or ℝ*)
14	4	ssrab3 4091	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ0
15		nn0ssre 12527	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
16	14, 15	sstri 4004	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ ℝ
17		nn0uz 12917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
18	14, 17	sseqtri 4031	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0)
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0))
20		infssuzcl 12971	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
21	19, 20	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
22	16, 21	sselid 3992	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11308	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
24	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ ℝ)
26	25	sselda 3994	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → 𝑧 ∈ ℝ)
27		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → 𝑧 ∈ 𝑇)
28		infssuzle 12970	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
29	18, 27, 28	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
30	24, 26, 29	lensymd 11409	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → ¬ 𝑧 < inf(𝑇, ℝ, < ))
31	13, 23, 21, 30	infmin 9531	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ*, < ) = inf(𝑇, ℝ, < ))
32	11, 31	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
33	10, 32	sylan2br 595	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
34	1, 2, 9, 33	ifbothda 4568	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1534   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338  ifcif 4530  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   class class class wbr 5147   Or wor 5595  ^◡ccnv 5687   “ cima 5691  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ∈ cmpo 7432   ↑_m cmap 8864  infcinf 9478  ℝcr 11151  0cc0 11152  +∞cpnf 11289  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292   ≤ cle 11293  ℕ₀cn0 12523  ℤ_≥cuz 12875  ♯chash 14365   Ramsey cram 17032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-ram 17034

This theorem is referenced by:  ramtcl  17043  ramtcl2  17044  ramtub  17045  ramcl2  17049