Theorem ramcl2lem 16710

Description: Lemma for extended real closure of the Ramsey number function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ramval.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
ramval.t	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))}

Assertion

Ref	Expression
ramcl2lem	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑥,𝐶   𝑛,𝑐,𝑠,𝐹,𝑓,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑥,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑛,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramcl2lem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2750	. 2 ⊢ (+∞ = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < ))))
2		eqeq2 2750	. 2 ⊢ (inf(𝑇, ℝ, < ) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ) ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < ))))
3		ramval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
4		ramval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))}
5	3, 4	ramval 16709	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ*, < ))
6		infeq1 9235	. . . 4 ⊢ (𝑇 = ∅ → inf(𝑇, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
7		xrinf0 13072	. . . 4 ⊢ inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
8	6, 7	eqtrdi 2794	. . 3 ⊢ (𝑇 = ∅ → inf(𝑇, ℝ*, < ) = +∞)
9	5, 8	sylan9eq 2798	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 = ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
10		df-ne 2944	. . 3 ⊢ (𝑇 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑇 = ∅)
11	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ*, < ))
12		xrltso 12875	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → < Or ℝ*)
14	4	ssrab3 4015	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ0
15		nn0ssre 12237	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
16	14, 15	sstri 3930	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ ℝ
17		nn0uz 12620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
18	14, 17	sseqtri 3957	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0)
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0))
20		infssuzcl 12672	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
21	19, 20	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
22	16, 21	sselid 3919	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11025	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
24	22	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ ℝ)
26	25	sselda 3921	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → 𝑧 ∈ ℝ)
27		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → 𝑧 ∈ 𝑇)
28		infssuzle 12671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
29	18, 27, 28	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
30	24, 26, 29	lensymd 11126	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → ¬ 𝑧 < inf(𝑇, ℝ, < ))
31	13, 23, 21, 30	infmin 9253	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ*, < ) = inf(𝑇, ℝ, < ))
32	11, 31	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
33	10, 32	sylan2br 595	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
34	1, 2, 9, 33	ifbothda 4497	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ifcif 4459  𝒫 cpw 4533  {csn 4561   class class class wbr 5074   Or wor 5502  ^◡ccnv 5588   “ cima 5592  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277   ↑_m cmap 8615  infcinf 9200  ℝcr 10870  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℕ₀cn0 12233  ℤ_≥cuz 12582  ♯chash 14044   Ramsey cram 16700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-ram 16702

This theorem is referenced by:  ramtcl  16711  ramtcl2  16712  ramtub  16713  ramcl2  16717