Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrralrecnnge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrralrecnnge 44685
Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xrralrecnnge.n 𝑛𝜑
xrralrecnnge.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
xrralrecnnge.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xrralrecnnge (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem xrralrecnnge
StepHypRef Expression
1 xrralrecnnge.n . . . . 5 𝑛𝜑
2 nfv 1910 . . . . 5 𝑛 𝐴𝐵
31, 2nfan 1895 . . . 4 𝑛(𝜑𝐴𝐵)
4 xrralrecnnge.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
54adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 nnrecre 12270 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
76adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
85, 7resubcld 11658 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
98rexrd 11280 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
109adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
11 xrralrecnnge.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1211ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
134rexrd 11280 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1413ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
15 nnrp 13003 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
1615rpreccld 13044 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1716adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
185, 17ltsubrpd 13066 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
1918adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
20 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴𝐵)
2110, 14, 12, 19, 20xrltletrd 13158 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
2210, 12, 21xrltled 13147 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
2322ex 412 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
243, 23ralrimi 3249 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
2524ex 412 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
26 pnfxr 11284 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
284ltpnfd 13119 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < +∞)
2913, 27, 28xrltled 13147 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≤ +∞)
3029ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
31 id 22 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → 𝐵 = +∞)
3231eqcomd 2733 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → +∞ = 𝐵)
3332adantl 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ = 𝐵)
3430, 33breqtrd 5168 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴𝐵)
3511ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
36 1nn 12239 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → 1 ∈ ℕ)
38 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
39 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
4039oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 1 → (𝐴 − (1 / 𝑛)) = (𝐴 − (1 / 1)))
4140breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵))
4241rspcva 3605 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
4337, 38, 42syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
4443adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
45 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
4644, 45breqtrd 5168 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
4746adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
48 1red 11231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
49 ax-1ne0 11193 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 0
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≠ 0)
5148, 48, 50redivcld 12058 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 1) ∈ ℝ)
524, 51resubcld 11658 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 − (1 / 1)) ∈ ℝ)
5352mnfltd 13122 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -∞ < (𝐴 − (1 / 1)))
54 mnfxr 11287 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
5652rexrd 11280 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 − (1 / 1)) ∈ ℝ*)
5755, 56xrltnled 44658 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-∞ < (𝐴 − (1 / 1)) ↔ ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞))
5853, 57mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
6047, 59pm2.65da 816 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 = -∞)
6160neqned 2942 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐵 ≠ -∞)
6261adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
63 neqne 2943 . . . . . . 7 𝐵 = +∞ → 𝐵 ≠ +∞)
6463adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
6535, 62, 64xrred 44660 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
66 nfv 1910 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝐵 ∈ ℝ
671, 66nfan 1895 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6813adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
69 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
7067, 68, 69xrralrecnnle 44678 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
715adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
726adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
7369adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
7471, 72, 73lesubaddd 11827 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
7574bicomd 222 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
7667, 75ralbida 3262 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
7770, 76bitr2d 280 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐴𝐵))
7877biimpd 228 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐴𝐵))
7978imp 406 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵)
8079an32s 651 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴𝐵)
8165, 80syldan 590 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴𝐵)
8234, 81pm2.61dan 812 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵)
8382ex 412 . 2 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐴𝐵))
8425, 83impbid 211 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wne 2935  wral 3056   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127  +∞cpnf 11261  -∞cmnf 11262  *cxr 11263   < clt 11264  cle 11265  cmin 11460   / cdiv 11887  cn 12228  +crp 12992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-fl 13775
This theorem is referenced by:  preimageiingt  46021
  Copyright terms: Public domain W3C validator