Theorem xrralrecnnge 42026

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrralrecnnge.n	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
xrralrecnnge.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
xrralrecnnge.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xrralrecnnge	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem xrralrecnnge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrralrecnnge.n	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐴 ≤ 𝐵
3	1, 2	nfan 1900	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)
4		xrralrecnnge.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		nnrecre 11667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
7	6	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
8	5, 7	resubcld 11057	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 10680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
10	9	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
11		xrralrecnnge.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	11	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13	4	rexrd 10680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
14	13	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
15		nnrp 12388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
16	15	rpreccld 12429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
17	16	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
18	5, 17	ltsubrpd 12451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
19	18	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
20		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ 𝐵)
21	10, 14, 12, 19, 20	xrltletrd 12542	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
22	10, 12, 21	xrltled 12531	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
23	22	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
24	3, 23	ralrimi 3180	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
25	24	ex 416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
26		pnfxr 10684	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
28	4	ltpnfd 12504	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)
29	13, 27, 28	xrltled 12531	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ +∞)
30	29	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
31		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → 𝐵 = +∞)
32	31	eqcomd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → +∞ = 𝐵)
33	32	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ = 𝐵)
34	30, 33	breqtrd 5056	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
35	11	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
36		1nn 11636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → 1 ∈ ℕ)
38		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
39		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
40	39	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴 − (1 / 𝑛)) = (𝐴 − (1 / 1)))
41	40	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵))
42	41	rspcva 3569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
43	37, 38, 42	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
44	43	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
45		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
46	44, 45	breqtrd 5056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
47	46	adantll 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
48		1red 10631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
49		ax-1ne0 10595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
51	48, 48, 50	redivcld 11457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 1) ∈ ℝ)
52	4, 51	resubcld 11057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (1 / 1)) ∈ ℝ)
53	52	mnfltd 12507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝐴 − (1 / 1)))
54		mnfxr 10687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
56	52	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (1 / 1)) ∈ ℝ*)
57	55, 56	xrltnled 41995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-∞ < (𝐴 − (1 / 1)) ↔ ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞))
58	53, 57	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
59	58	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
60	47, 59	pm2.65da 816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 = -∞)
61	60	neqned 2994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐵 ≠ -∞)
62	61	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
63		neqne 2995	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 = +∞ → 𝐵 ≠ +∞)
64	63	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
65	35, 62, 64	xrred 41997	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
66		nfv 1915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐵 ∈ ℝ
67	1, 66	nfan 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ)
68	13	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
69		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
70	67, 68, 69	xrralrecnnle 42017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
71	5	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
72	6	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
73	69	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
74	71, 72, 73	lesubaddd 11226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
75	74	bicomd 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
76	67, 75	ralbida 3194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
77	70, 76	bitr2d 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
78	77	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
79	78	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
80	79	an32s 651	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ 𝐵)
81	65, 80	syldan 594	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
82	34, 81	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
83	82	ex 416	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
84	25, 83	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  +∞cpnf 10661  -∞cmnf 10662  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℝ⁺crp 12377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fl 13157

This theorem is referenced by:  preimageiingt  43355