Theorem xrralrecnnge 44831

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrralrecnnge.n	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
xrralrecnnge.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
xrralrecnnge.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xrralrecnnge	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem xrralrecnnge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrralrecnnge.n	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		nfv 1909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐴 ≤ 𝐵
3	1, 2	nfan 1894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)
4		xrralrecnnge.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		nnrecre 12279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
7	6	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
8	5, 7	resubcld 11667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
10	9	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
11		xrralrecnnge.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	11	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13	4	rexrd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
14	13	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
15		nnrp 13012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
16	15	rpreccld 13053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
17	16	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
18	5, 17	ltsubrpd 13075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
19	18	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
20		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ 𝐵)
21	10, 14, 12, 19, 20	xrltletrd 13167	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
22	10, 12, 21	xrltled 13156	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
23	22	ex 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
24	3, 23	ralrimi 3245	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
25	24	ex 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
26		pnfxr 11293	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
28	4	ltpnfd 13128	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)
29	13, 27, 28	xrltled 13156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ +∞)
30	29	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
31		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → 𝐵 = +∞)
32	31	eqcomd 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → +∞ = 𝐵)
33	32	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ = 𝐵)
34	30, 33	breqtrd 5170	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
35	11	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
36		1nn 12248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → 1 ∈ ℕ)
38		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
39		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
40	39	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴 − (1 / 𝑛)) = (𝐴 − (1 / 1)))
41	40	breq1d 5154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵))
42	41	rspcva 3601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
43	37, 38, 42	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
44	43	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
45		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
46	44, 45	breqtrd 5170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
47	46	adantll 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
48		1red 11240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
49		ax-1ne0 11202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
51	48, 48, 50	redivcld 12067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 1) ∈ ℝ)
52	4, 51	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (1 / 1)) ∈ ℝ)
53	52	mnfltd 13131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝐴 − (1 / 1)))
54		mnfxr 11296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
56	52	rexrd 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (1 / 1)) ∈ ℝ*)
57	55, 56	xrltnled 44804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-∞ < (𝐴 − (1 / 1)) ↔ ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞))
58	53, 57	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
59	58	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
60	47, 59	pm2.65da 815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 = -∞)
61	60	neqned 2937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐵 ≠ -∞)
62	61	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
63		neqne 2938	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 = +∞ → 𝐵 ≠ +∞)
64	63	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
65	35, 62, 64	xrred 44806	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
66		nfv 1909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐵 ∈ ℝ
67	1, 66	nfan 1894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ)
68	13	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
69		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
70	67, 68, 69	xrralrecnnle 44824	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
71	5	adantlr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
72	6	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
73	69	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
74	71, 72, 73	lesubaddd 11836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
75	74	bicomd 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
76	67, 75	ralbida 3258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
77	70, 76	bitr2d 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
78	77	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
79	78	imp 405	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
80	79	an32s 650	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ 𝐵)
81	65, 80	syldan 589	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
82	34, 81	pm2.61dan 811	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
83	82	ex 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
84	25, 83	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∀wral 3051   class class class wbr 5144  (class class class)co 7413  ℝcr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136  +∞cpnf 11270  -∞cmnf 11271  ℝ^*cxr 11272   < clt 11273   ≤ cle 11274   − cmin 11469   / cdiv 11896  ℕcn 12237  ℝ⁺crp 13001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-fl 13784

This theorem is referenced by:  preimageiingt  46167