Theorem xrralrecnnge 46105

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrralrecnnge.n	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
xrralrecnnge.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
xrralrecnnge.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xrralrecnnge	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem xrralrecnnge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrralrecnnge.n	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		nfv 1944	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐴 ≤ 𝐵
3	1, 2	nfan 1929	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)
4		xrralrecnnge.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		nnrecre 12273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
7	6	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
8	5, 7	resubcld 11637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
10	9	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
11		xrralrecnnge.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	11	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13	4	rexrd 11254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
14	13	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
15		nnrp 13023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
16	15	rpreccld 13065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
17	16	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
18	5, 17	ltsubrpd 13087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
19	18	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
20		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ 𝐵)
21	10, 14, 12, 19, 20	xrltletrd 13181	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
22	10, 12, 21	xrltled 13170	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
23	22	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
24	3, 23	ralrimi 3263	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
25	24	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
26		pnfxr 11258	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
28	4	ltpnfd 13141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)
29	13, 27, 28	xrltled 13170	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ +∞)
30	29	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
31		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → 𝐵 = +∞)
32	31	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → +∞ = 𝐵)
33	32	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ = 𝐵)
34	30, 33	breqtrd 5137	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
35	11	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
36		1nn 12239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → 1 ∈ ℕ)
38		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
39		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
40	39	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴 − (1 / 𝑛)) = (𝐴 − (1 / 1)))
41	40	breq1d 5119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵))
42	41	rspcva 3579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
43	37, 38, 42	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
44	43	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
45		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
46	44, 45	breqtrd 5137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
47	46	adantll 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
48		1red 11204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
49		ax-1ne0 11164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
51	48, 48, 50	redivcld 12038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 1) ∈ ℝ)
52	4, 51	resubcld 11637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (1 / 1)) ∈ ℝ)
53	52	mnfltd 13144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝐴 − (1 / 1)))
54		mnfxr 11261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
56	52	rexrd 11254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (1 / 1)) ∈ ℝ*)
57	55, 56	xrltnled 11272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-∞ < (𝐴 − (1 / 1)) ↔ ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞))
58	53, 57	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
59	58	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
60	47, 59	pm2.65da 828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 = -∞)
61	60	neqned 2965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐵 ≠ -∞)
62	61	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
63		neqne 2966	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 = +∞ → 𝐵 ≠ +∞)
64	63	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
65	35, 62, 64	xrred 46080	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
66		nfv 1944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐵 ∈ ℝ
67	1, 66	nfan 1929	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ)
68	13	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
69		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
70	67, 68, 69	xrralrecnnle 46098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
71	5	adantlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
72	6	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
73	69	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
74	71, 72, 73	lesubaddd 11806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
75	74	bicomd 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
76	67, 75	ralbida 3276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
77	70, 76	bitr2d 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
78	77	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
79	78	imp 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
80	79	an32s 664	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ 𝐵)
81	65, 80	syldan 602	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
82	34, 81	pm2.61dan 824	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
83	82	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
84	25, 83	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  Ⅎwnf 1813   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098  +∞cpnf 11235  -∞cmnf 11236  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436   / cdiv 11866  ℕcn 12228  ℝ⁺crp 13011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-fl 13821

This theorem is referenced by:  preimageiingt  47434