Theorem xrralrecnnge 41669

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrralrecnnge.n	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
xrralrecnnge.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
xrralrecnnge.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xrralrecnnge	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem xrralrecnnge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrralrecnnge.n	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐴 ≤ 𝐵
3	1, 2	nfan 1900	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)
4		xrralrecnnge.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		nnrecre 11682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
7	6	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
8	5, 7	resubcld 11070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 10693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
10	9	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
11		xrralrecnnge.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	11	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13	4	rexrd 10693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
14	13	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
15		nnrp 12403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
16	15	rpreccld 12444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
17	16	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
18	5, 17	ltsubrpd 12466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
19	18	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
20		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ 𝐵)
21	10, 14, 12, 19, 20	xrltletrd 12557	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
22	10, 12, 21	xrltled 12546	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
23	22	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
24	3, 23	ralrimi 3218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
25	24	ex 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
26		pnfxr 10697	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
28	4	ltpnfd 12519	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)
29	13, 27, 28	xrltled 12546	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ +∞)
30	29	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
31		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → 𝐵 = +∞)
32	31	eqcomd 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → +∞ = 𝐵)
33	32	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ = 𝐵)
34	30, 33	breqtrd 5094	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
35	11	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
36		1nn 11651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → 1 ∈ ℕ)
38		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
39		oveq2 7166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
40	39	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴 − (1 / 𝑛)) = (𝐴 − (1 / 1)))
41	40	breq1d 5078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵))
42	41	rspcva 3623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
43	37, 38, 42	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
44	43	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
45		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
46	44, 45	breqtrd 5094	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
47	46	adantll 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
48		1red 10644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
49		ax-1ne0 10608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
51	48, 48, 50	redivcld 11470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 1) ∈ ℝ)
52	4, 51	resubcld 11070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (1 / 1)) ∈ ℝ)
53	52	mnfltd 12522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝐴 − (1 / 1)))
54		mnfxr 10700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
56	52	rexrd 10693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (1 / 1)) ∈ ℝ*)
57	55, 56	xrltnled 41638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-∞ < (𝐴 − (1 / 1)) ↔ ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞))
58	53, 57	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
59	58	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
60	47, 59	pm2.65da 815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 = -∞)
61	60	neqned 3025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐵 ≠ -∞)
62	61	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
63		neqne 3026	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 = +∞ → 𝐵 ≠ +∞)
64	63	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
65	35, 62, 64	xrred 41640	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
66		nfv 1915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐵 ∈ ℝ
67	1, 66	nfan 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ)
68	13	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
69		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
70	67, 68, 69	xrralrecnnle 41660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
71	5	adantlr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
72	6	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
73	69	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
74	71, 72, 73	lesubaddd 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
75	74	bicomd 225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
76	67, 75	ralbida 3232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
77	70, 76	bitr2d 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
78	77	biimpd 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
79	78	imp 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
80	79	an32s 650	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ 𝐵)
81	65, 80	syldan 593	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
82	34, 81	pm2.61dan 811	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
83	82	ex 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
84	25, 83	impbid 214	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542  +∞cpnf 10674  -∞cmnf 10675  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872   / cdiv 11299  ℕcn 11640  ℝ⁺crp 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-fl 13165

This theorem is referenced by:  preimageiingt  43005