Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrralrecnnge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrralrecnnge 41641
Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xrralrecnnge.n 𝑛𝜑
xrralrecnnge.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
xrralrecnnge.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xrralrecnnge (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem xrralrecnnge
StepHypRef Expression
1 xrralrecnnge.n . . . . 5 𝑛𝜑
2 nfv 1908 . . . . 5 𝑛 𝐴𝐵
31, 2nfan 1893 . . . 4 𝑛(𝜑𝐴𝐵)
4 xrralrecnnge.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
54adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 nnrecre 11671 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
76adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
85, 7resubcld 11060 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
98rexrd 10683 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
109adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
11 xrralrecnnge.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1211ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
134rexrd 10683 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1413ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
15 nnrp 12392 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
1615rpreccld 12433 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1716adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
185, 17ltsubrpd 12455 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
1918adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
20 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴𝐵)
2110, 14, 12, 19, 20xrltletrd 12546 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
2210, 12, 21xrltled 12535 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
2322ex 415 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
243, 23ralrimi 3214 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
2524ex 415 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
26 pnfxr 10687 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
284ltpnfd 12508 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < +∞)
2913, 27, 28xrltled 12535 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≤ +∞)
3029ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
31 id 22 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → 𝐵 = +∞)
3231eqcomd 2825 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → +∞ = 𝐵)
3332adantl 484 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ = 𝐵)
3430, 33breqtrd 5083 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴𝐵)
3511ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
36 1nn 11641 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → 1 ∈ ℕ)
38 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
39 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
4039oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 1 → (𝐴 − (1 / 𝑛)) = (𝐴 − (1 / 1)))
4140breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵))
4241rspcva 3619 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
4337, 38, 42syl2anc 586 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
4443adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
45 simpr 487 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
4644, 45breqtrd 5083 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
4746adantll 712 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
48 1red 10634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
49 ax-1ne0 10598 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 0
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≠ 0)
5148, 48, 50redivcld 11460 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 1) ∈ ℝ)
524, 51resubcld 11060 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 − (1 / 1)) ∈ ℝ)
5352mnfltd 12511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -∞ < (𝐴 − (1 / 1)))
54 mnfxr 10690 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
5652rexrd 10683 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 − (1 / 1)) ∈ ℝ*)
5755, 56xrltnled 41610 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-∞ < (𝐴 − (1 / 1)) ↔ ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞))
5853, 57mpbid 234 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
5958ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
6047, 59pm2.65da 815 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 = -∞)
6160neqned 3021 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐵 ≠ -∞)
6261adantr 483 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
63 neqne 3022 . . . . . . 7 𝐵 = +∞ → 𝐵 ≠ +∞)
6463adantl 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
6535, 62, 64xrred 41612 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
66 nfv 1908 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝐵 ∈ ℝ
671, 66nfan 1893 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6813adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
69 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
7067, 68, 69xrralrecnnle 41632 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
715adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
726adantl 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
7369adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
7471, 72, 73lesubaddd 11229 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
7574bicomd 225 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
7667, 75ralbida 3228 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
7770, 76bitr2d 282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐴𝐵))
7877biimpd 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐴𝐵))
7978imp 409 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵)
8079an32s 650 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴𝐵)
8165, 80syldan 593 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴𝐵)
8234, 81pm2.61dan 811 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵)
8382ex 415 . 2 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐴𝐵))
8425, 83impbid 214 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wnf 1777  wcel 2107  wne 3014  wral 3136   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  +∞cpnf 10664  -∞cmnf 10665  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862   / cdiv 11289  cn 11630  +crp 12381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-fl 13154
This theorem is referenced by:  preimageiingt  42978
  Copyright terms: Public domain W3C validator