Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrralrecnnge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrralrecnnge 45401
Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xrralrecnnge.n 𝑛𝜑
xrralrecnnge.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
xrralrecnnge.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xrralrecnnge (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem xrralrecnnge
StepHypRef Expression
1 xrralrecnnge.n . . . . 5 𝑛𝜑
2 nfv 1914 . . . . 5 𝑛 𝐴𝐵
31, 2nfan 1899 . . . 4 𝑛(𝜑𝐴𝐵)
4 xrralrecnnge.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
54adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 nnrecre 12308 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
76adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
85, 7resubcld 11691 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
98rexrd 11311 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
109adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
11 xrralrecnnge.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1211ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
134rexrd 11311 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1413ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
15 nnrp 13046 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
1615rpreccld 13087 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1716adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
185, 17ltsubrpd 13109 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
1918adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
20 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴𝐵)
2110, 14, 12, 19, 20xrltletrd 13203 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
2210, 12, 21xrltled 13192 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
2322ex 412 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
243, 23ralrimi 3257 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
2524ex 412 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
26 pnfxr 11315 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
284ltpnfd 13163 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < +∞)
2913, 27, 28xrltled 13192 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≤ +∞)
3029ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
31 id 22 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → 𝐵 = +∞)
3231eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → +∞ = 𝐵)
3332adantl 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ = 𝐵)
3430, 33breqtrd 5169 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴𝐵)
3511ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
36 1nn 12277 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → 1 ∈ ℕ)
38 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
39 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
4039oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 1 → (𝐴 − (1 / 𝑛)) = (𝐴 − (1 / 1)))
4140breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵))
4241rspcva 3620 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
4337, 38, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
4443adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
45 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
4644, 45breqtrd 5169 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
4746adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
48 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
49 ax-1ne0 11224 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 0
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≠ 0)
5148, 48, 50redivcld 12095 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 1) ∈ ℝ)
524, 51resubcld 11691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 − (1 / 1)) ∈ ℝ)
5352mnfltd 13166 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -∞ < (𝐴 − (1 / 1)))
54 mnfxr 11318 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
5652rexrd 11311 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 − (1 / 1)) ∈ ℝ*)
5755, 56xrltnled 45374 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-∞ < (𝐴 − (1 / 1)) ↔ ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞))
5853, 57mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
5958ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
6047, 59pm2.65da 817 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 = -∞)
6160neqned 2947 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐵 ≠ -∞)
6261adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
63 neqne 2948 . . . . . . 7 𝐵 = +∞ → 𝐵 ≠ +∞)
6463adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
6535, 62, 64xrred 45376 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
66 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝐵 ∈ ℝ
671, 66nfan 1899 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6813adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
69 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
7067, 68, 69xrralrecnnle 45394 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
715adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
726adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
7369adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
7471, 72, 73lesubaddd 11860 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
7574bicomd 223 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
7667, 75ralbida 3270 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
7770, 76bitr2d 280 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐴𝐵))
7877biimpd 229 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐴𝐵))
7978imp 406 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵)
8079an32s 652 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴𝐵)
8165, 80syldan 591 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴𝐵)
8234, 81pm2.61dan 813 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵)
8382ex 412 . 2 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐴𝐵))
8425, 83impbid 212 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wne 2940  wral 3061   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  +crp 13034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fl 13832
This theorem is referenced by:  preimageiingt  46735
  Copyright terms: Public domain W3C validator