Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrpnf 40228
Description: An extended real is plus infinity iff it's larger than all real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
xrpnf (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem xrpnf
StepHypRef Expression
1 rexr 10286 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
21adantl 467 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
4 pnfxr 10293 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → +∞ ∈ ℝ*)
63, 5eqeltrd 2850 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
76adantr 466 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 ltpnf 12158 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
98adantl 467 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 < +∞)
10 simpl 468 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = +∞)
119, 10breqtrrd 4814 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 < 𝐴)
122, 7, 11xrltled 40000 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥𝐴)
1312ralrimiva 3115 . . 3 (𝐴 = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴)
1413adantl 467 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = +∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴)
15 simpll 742 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16 0red 10242 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴 → 0 ∈ ℝ)
17 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴 → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴)
18 breq1 4789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐴 ↔ 0 ≤ 𝐴))
1918rspcva 3458 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
2016, 17, 19syl2anc 565 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴 → 0 ≤ 𝐴)
2120adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴𝐴 = -∞) → 0 ≤ 𝐴)
22 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
2321, 22breqtrd 4812 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴𝐴 = -∞) → 0 ≤ -∞)
2423adantll 685 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ -∞)
25 mnflt0 12163 . . . . . . . . . 10 -∞ < 0
26 mnfxr 10297 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
27 0xr 10287 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
28 xrltnle 10306 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
2926, 27, 28mp2an 664 . . . . . . . . . 10 (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
3025, 29mpbi 220 . . . . . . . . 9 ¬ 0 ≤ -∞
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → ¬ 0 ≤ -∞)
3224, 31pm2.65da 800 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) → ¬ 𝐴 = -∞)
3332neqned 2950 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
3433adantr 466 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
35 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
364a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
37 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < +∞) → 𝐴 < +∞)
3835, 36, 37xrltned 40085 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
3938adantlr 686 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
4015, 34, 39xrred 40093 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
41 peano2re 10410 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
4241adantl 467 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
43 simpl 468 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴𝐴 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴)
44 breq1 4789 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴 + 1) → (𝑥𝐴 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
4544rspcva 3458 . . . . . . 7 (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
4642, 43, 45syl2anc 565 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
47 ltp1 11062 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
48 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
4948, 41ltnled 10385 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (𝐴 + 1) ↔ ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
5047, 49mpbid 222 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
5150adantl 467 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
5246, 51pm2.65da 800 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5352ad2antlr 698 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5440, 53pm2.65da 800 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) → ¬ 𝐴 < +∞)
55 nltpnft 12199 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
5655adantr 466 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
5754, 56mpbird 247 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴) → 𝐴 = +∞)
5814, 57impbida 794 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061   class class class wbr 4786  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140  +∞cpnf 10272  -∞cmnf 10273  *cxr 10274   < clt 10275  cle 10276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470
This theorem is referenced by:  meaiuninc3v  41214
  Copyright terms: Public domain W3C validator