Theorem xrpnf 46439

Description: An extended real is plus infinity iff it's larger than all real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
xrpnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem xrpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11336	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2	1	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
4		pnfxr 11344	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → +∞ ∈ ℝ*)
6	3, 5	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		ltpnf 13230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
9	8	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 < +∞)
10		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = +∞)
11	9, 10	breqtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 < 𝐴)
12	2, 7, 11	xrltled 13260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ 𝐴)
13	12	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
14	13	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = +∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
15		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16		0red 11292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → 0 ∈ ℝ)
17		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
18		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝐴))
19	18	rspcva 3575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
20	16, 17, 19	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → 0 ≤ 𝐴)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ 𝐴)
22		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
23	21, 22	breqtrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ -∞)
24	23	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ -∞)
25		mnflt0 13235	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ < 0
26		mnfxr 11347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
27		0xr 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
28		xrltnle 11357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
29	26, 27, 28	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
30	25, 29	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 ≤ -∞
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → ¬ 0 ≤ -∞)
32	24, 31	pm2.65da 829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 = -∞)
33	32	neqned 2963	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
34	33	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
35		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
36	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
37		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 < +∞)
38	35, 36, 37	xrltned 46313	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
39	38	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
40	15, 34, 39	xrred 46320	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
41		peano2re 11464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
42	41	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
43		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
44		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + 1) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
45	44	rspcva 3575	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
46	42, 43, 45	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
47		ltp1 12138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
48		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
49	48, 41	ltnled 11438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (𝐴 + 1) ↔ ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
50	47, 49	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
51	50	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
52	46, 51	pm2.65da 829	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
53	52	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
54	40, 53	pm2.65da 829	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 < +∞)
55		nltpnft 13275	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
56	55	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
57	54, 56	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝐴 = +∞)
58	14, 57	impbida 813	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184  +∞cpnf 11321  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525

This theorem is used by:  meaiuninc3v  47438