Theorem xrpnf 46321

Description: An extended real is plus infinity iff it's larger than all real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
xrpnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem xrpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2	1	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
4		pnfxr 11291	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → +∞ ∈ ℝ*)
6	3, 5	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		ltpnf 13175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
9	8	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 < +∞)
10		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = +∞)
11	9, 10	breqtrrd 5137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 < 𝐴)
12	2, 7, 11	xrltled 13205	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ 𝐴)
13	12	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
14	13	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = +∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
15		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16		0red 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → 0 ∈ ℝ)
17		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
18		breq1 5110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝐴))
19	18	rspcva 3577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
20	16, 17, 19	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → 0 ≤ 𝐴)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ 𝐴)
22		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
23	21, 22	breqtrd 5135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ -∞)
24	23	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ -∞)
25		mnflt0 13180	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ < 0
26		mnfxr 11294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
27		0xr 11284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
28		xrltnle 11304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
29	26, 27, 28	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
30	25, 29	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 ≤ -∞
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → ¬ 0 ≤ -∞)
32	24, 31	pm2.65da 829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 = -∞)
33	32	neqned 2964	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
34	33	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
35		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
36	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
37		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 < +∞)
38	35, 36, 37	xrltned 46195	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
39	38	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
40	15, 34, 39	xrred 46202	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
41		peano2re 11411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
42	41	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
43		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
44		breq1 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + 1) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
45	44	rspcva 3577	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
46	42, 43, 45	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
47		ltp1 12083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
48		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
49	48, 41	ltnled 11385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (𝐴 + 1) ↔ ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
50	47, 49	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
51	50	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
52	46, 51	pm2.65da 829	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
53	52	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
54	40, 53	pm2.65da 829	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 < +∞)
55		nltpnft 13220	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
56	55	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
57	54, 56	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝐴 = +∞)
58	14, 57	impbida 813	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131  +∞cpnf 11268  -∞cmnf 11269  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   ≤ cle 11272

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472

This theorem is used by:  meaiuninc3v  47320