Theorem xrpnf 45512

Description: An extended real is plus infinity iff it's larger than all real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
xrpnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem xrpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11281	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
4		pnfxr 11289	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → +∞ ∈ ℝ*)
6	3, 5	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		ltpnf 13136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 < +∞)
10		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = +∞)
11	9, 10	breqtrrd 5147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 < 𝐴)
12	2, 7, 11	xrltled 13166	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ 𝐴)
13	12	ralrimiva 3132	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = +∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
15		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16		0red 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → 0 ∈ ℝ)
17		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
18		breq1 5122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝐴))
19	18	rspcva 3599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
20	16, 17, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → 0 ≤ 𝐴)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ 𝐴)
22		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
23	21, 22	breqtrd 5145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ -∞)
24	23	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ -∞)
25		mnflt0 13141	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ < 0
26		mnfxr 11292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
27		0xr 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
28		xrltnle 11302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
29	26, 27, 28	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
30	25, 29	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 ≤ -∞
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → ¬ 0 ≤ -∞)
32	24, 31	pm2.65da 816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 = -∞)
33	32	neqned 2939	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
34	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
35		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
36	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
37		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 < +∞)
38	35, 36, 37	xrltned 45384	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
39	38	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
40	15, 34, 39	xrred 45392	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
41		peano2re 11408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
42	41	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
43		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
44		breq1 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + 1) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
45	44	rspcva 3599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
46	42, 43, 45	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
47		ltp1 12081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
48		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
49	48, 41	ltnled 11382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (𝐴 + 1) ↔ ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
50	47, 49	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
51	50	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
52	46, 51	pm2.65da 816	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
53	52	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
54	40, 53	pm2.65da 816	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 < +∞)
55		nltpnft 13180	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
56	55	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
57	54, 56	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝐴 = +∞)
58	14, 57	impbida 800	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132  +∞cpnf 11266  -∞cmnf 11267  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is referenced by:  meaiuninc3v  46513