Theorem xrpnf 42980

Description: An extended real is plus infinity iff it's larger than all real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
xrpnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem xrpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11005	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
4		pnfxr 11013	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → +∞ ∈ ℝ*)
6	3, 5	eqeltrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		ltpnf 12838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 < +∞)
10		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = +∞)
11	9, 10	breqtrrd 5106	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 < 𝐴)
12	2, 7, 11	xrltled 12866	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ 𝐴)
13	12	ralrimiva 3109	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = +∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
15		simpll 763	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16		0red 10962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → 0 ∈ ℝ)
17		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
18		breq1 5081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝐴))
19	18	rspcva 3558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
20	16, 17, 19	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → 0 ≤ 𝐴)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ 𝐴)
22		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
23	21, 22	breqtrd 5104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ -∞)
24	23	adantll 710	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ -∞)
25		mnflt0 12843	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ < 0
26		mnfxr 11016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
27		0xr 11006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
28		xrltnle 11026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
29	26, 27, 28	mp2an 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
30	25, 29	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 ≤ -∞
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → ¬ 0 ≤ -∞)
32	24, 31	pm2.65da 813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 = -∞)
33	32	neqned 2951	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
34	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
35		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
36	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
37		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 < +∞)
38	35, 36, 37	xrltned 42850	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
39	38	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
40	15, 34, 39	xrred 42858	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
41		peano2re 11131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
42	41	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
43		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
44		breq1 5081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + 1) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
45	44	rspcva 3558	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
46	42, 43, 45	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
47		ltp1 11798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
48		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
49	48, 41	ltnled 11105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (𝐴 + 1) ↔ ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
50	47, 49	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
51	50	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
52	46, 51	pm2.65da 813	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
53	52	ad2antlr 723	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
54	40, 53	pm2.65da 813	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 < +∞)
55		nltpnft 12880	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
56	55	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
57	54, 56	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝐴 = +∞)
58	14, 57	impbida 797	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  ∀wral 3065   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  ℝcr 10854  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858  +∞cpnf 10990  -∞cmnf 10991  ℝ^*cxr 10992   < clt 10993   ≤ cle 10994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191

This theorem is referenced by:  meaiuninc3v  43976