Theorem xrpnf 46023

Description: An extended real is plus infinity iff it's larger than all real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
xrpnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem xrpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11225	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2	1	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
4		pnfxr 11233	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → +∞ ∈ ℝ*)
6	3, 5	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		ltpnf 13119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
9	8	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 < +∞)
10		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = +∞)
11	9, 10	breqtrrd 5127	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 < 𝐴)
12	2, 7, 11	xrltled 13149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ 𝐴)
13	12	ralrimiva 3153	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
14	13	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = +∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
15		simpll 776	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16		0red 11181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → 0 ∈ ℝ)
17		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
18		breq1 5102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝐴))
19	18	rspcva 3579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
20	16, 17, 19	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → 0 ≤ 𝐴)
21	20	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ 𝐴)
22		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
23	21, 22	breqtrd 5125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ -∞)
24	23	adantll 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → 0 ≤ -∞)
25		mnflt0 13124	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ < 0
26		mnfxr 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
27		0xr 11226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
28		xrltnle 11246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
29	26, 27, 28	mp2an 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
30	25, 29	mpbi 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 ≤ -∞
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → ¬ 0 ≤ -∞)
32	24, 31	pm2.65da 826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 = -∞)
33	32	neqned 2963	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
34	33	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
35		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
36	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
37		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 < +∞)
38	35, 36, 37	xrltned 45897	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
39	38	adantlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
40	15, 34, 39	xrred 45904	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
41		peano2re 11353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
42	41	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
43		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴)
44		breq1 5102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + 1) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
45	44	rspcva 3579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
46	42, 43, 45	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
47		ltp1 12028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
48		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
49	48, 41	ltnled 11327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (𝐴 + 1) ↔ ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
50	47, 49	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
51	50	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
52	46, 51	pm2.65da 826	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
53	52	ad2antlr 737	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < +∞) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
54	40, 53	pm2.65da 826	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 < +∞)
55		nltpnft 13164	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
56	55	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
57	54, 56	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝐴 = +∞)
58	14, 57	impbida 810	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073  +∞cpnf 11210  -∞cmnf 11211  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213   ≤ cle 11214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414

This theorem is referenced by:  meaiuninc3v  47022