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Theorem climxrrelem 45199
Description: If a sequence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxrrelem.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climxrrelem.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climxrrelem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
climxrrelem.c (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
climxrrelem.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
climxrrelem.p ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐷 ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
climxrrelem.n ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐷 ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
climxrrelem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐷,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   πœ‘,𝑗

Proof of Theorem climxrrelem
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . . . 5 β„²π‘˜πœ‘
2 nfv 1909 . . . . . 6 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑍
3 nfra1 3272 . . . . . 6 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
42, 3nfan 1894 . . . . 5 β„²π‘˜(𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))
51, 4nfan 1894 . . . 4 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)))
6 climxrrelem.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
76uztrn2 12869 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
87adantll 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
9 climxrrelem.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
109fdmd 6727 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
1110ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
128, 11eleqtrrd 2828 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
1312adantlrr 719 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
14 simpll 765 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
158adantlrr 719 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
16 rspa 3236 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))
1716adantll 712 . . . . . . 7 (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))
1817adantll 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))
199ffvelcdmda 7088 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
20193adant3 1129 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
21 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ πœ‘)
22 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞)
23 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2422, 23eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ -∞ ∈ β„‚)
2524adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ -∞ ∈ β„‚)
26 climxrrelem.n . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐷 ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
2721, 25, 26syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ 𝐷 ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
2827adantlrr 719 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ 𝐷 ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
29 fvoveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘˜) = -∞ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
3029adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
31 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
3230, 31eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . 13 (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
3332adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
3433adantlrl 718 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
35 climxrrelem.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
366fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑍 ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
389, 37fexd 7234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
39 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
4038, 39clim 15468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))))
4135, 40mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)))
4241simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4342ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4425, 43subcld 11599 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (-∞ βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
4544abscld 15413 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
4645adantlrr 719 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
47 climxrrelem.d . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
4847rpred 13046 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
4948ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
5046, 49ltnled 11389 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ ((absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ↔ Β¬ 𝐷 ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴))))
5134, 50mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ Β¬ 𝐷 ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
5228, 51pm2.65da 815 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞)
53523adant2 1128 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞)
5453neqned 2937 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  -∞)
55 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ πœ‘)
56 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞)
57 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5856, 57eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ +∞ ∈ β„‚)
5958adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ +∞ ∈ β„‚)
60 climxrrelem.p . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐷 ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
6155, 59, 60syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ 𝐷 ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
6261adantlrr 719 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ 𝐷 ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
63 fvoveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘˜) = +∞ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
6463adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
65 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
6664, 65eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . 13 (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
6766adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
6867adantlrl 718 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
6942ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7059, 69subcld 11599 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (+∞ βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
7170abscld 15413 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
7271adantlrr 719 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
7348ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
7472, 73ltnled 11389 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ ((absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ↔ Β¬ 𝐷 ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴))))
7568, 74mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ Β¬ 𝐷 ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
7662, 75pm2.65da 815 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞)
77763adant2 1128 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞)
7877neqned 2937 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  +∞)
7920, 54, 78xrred 44809 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8014, 15, 18, 79syl3anc 1368 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8113, 80jca 510 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
825, 81ralrimia 3246 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
839ffund 6720 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
84 ffvresb 7129 . . . . 5 (Fun 𝐹 β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
8583, 84syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
8685adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
8782, 86mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
88 breq2 5147 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐷 β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))
8988anbi2d 628 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐷 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)))
9089rexralbidv 3211 . . . 4 (π‘₯ = 𝐷 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)))
9141simprd 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
9290, 91, 47rspcdva 3603 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))
93 climxrrelem.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
946rexuz3 15325 . . . 4 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)))
9593, 94syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)))
9692, 95mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))
9787, 96reximddv 3161 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   class class class wbr 5143  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  β„cr 11135  +∞cpnf 11273  -∞cmnf 11274  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472  β„€cz 12586  β„€β‰₯cuz 12850  β„+crp 13004  abscabs 15211   ⇝ cli 15458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462
This theorem is referenced by:  climxrre  45200
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