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Theorem climxrrelem 45275
Description: If a sequence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxrrelem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climxrrelem.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climxrrelem.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
climxrrelem.c (𝜑𝐹𝐴)
climxrrelem.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
climxrrelem.p ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
climxrrelem.n ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
climxrrelem (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐷,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗

Proof of Theorem climxrrelem
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . . . 5 𝑘𝜑
2 nfv 1909 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑍
3 nfra1 3271 . . . . . 6 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)
42, 3nfan 1894 . . . . 5 𝑘(𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
51, 4nfan 1894 . . . 4 𝑘(𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
6 climxrrelem.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
76uztrn2 12874 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
87adantll 712 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
9 climxrrelem.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
109fdmd 6733 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
1110ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → dom 𝐹 = 𝑍)
128, 11eleqtrrd 2828 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
1312adantlrr 719 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
14 simpll 765 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
158adantlrr 719 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
16 rspa 3235 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
1716adantll 712 . . . . . . 7 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
1817adantll 712 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
199ffvelcdmda 7093 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
20193adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
21 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝜑)
22 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (𝐹𝑘) = -∞)
23 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2422, 23eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → -∞ ∈ ℂ)
2524adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → -∞ ∈ ℂ)
26 climxrrelem.n . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
2721, 25, 26syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
2827adantlrr 719 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
29 fvoveq1 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) = -∞ → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(-∞ − 𝐴)))
3029adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(-∞ − 𝐴)))
31 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)
3230, 31eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) < 𝐷)
3332adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) < 𝐷)
3433adantlrl 718 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) < 𝐷)
35 climxrrelem.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹𝐴)
366fvexi 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑍 ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑍 ∈ V)
389, 37fexd 7239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 ∈ V)
39 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
4038, 39clim 15474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
4135, 40mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
4241simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4342ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝐴 ∈ ℂ)
4425, 43subcld 11603 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (-∞ − 𝐴) ∈ ℂ)
4544abscld 15419 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
4645adantlrr 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
47 climxrrelem.d . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
4847rpred 13051 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
4948ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
5046, 49ltnled 11393 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → ((abs‘(-∞ − 𝐴)) < 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴))))
5134, 50mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → ¬ 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
5228, 51pm2.65da 815 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → ¬ (𝐹𝑘) = -∞)
53523adant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → ¬ (𝐹𝑘) = -∞)
5453neqned 2936 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → (𝐹𝑘) ≠ -∞)
55 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝜑)
56 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (𝐹𝑘) = +∞)
57 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5856, 57eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → +∞ ∈ ℂ)
5958adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → +∞ ∈ ℂ)
60 climxrrelem.p . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
6155, 59, 60syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
6261adantlrr 719 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
63 fvoveq1 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) = +∞ → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(+∞ − 𝐴)))
6463adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(+∞ − 𝐴)))
65 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)
6664, 65eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) < 𝐷)
6766adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) < 𝐷)
6867adantlrl 718 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) < 𝐷)
6942ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝐴 ∈ ℂ)
7059, 69subcld 11603 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (+∞ − 𝐴) ∈ ℂ)
7170abscld 15419 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
7271adantlrr 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
7348ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
7472, 73ltnled 11393 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → ((abs‘(+∞ − 𝐴)) < 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴))))
7568, 74mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → ¬ 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
7662, 75pm2.65da 815 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → ¬ (𝐹𝑘) = +∞)
77763adant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → ¬ (𝐹𝑘) = +∞)
7877neqned 2936 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → (𝐹𝑘) ≠ +∞)
7920, 54, 78xrred 44885 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8014, 15, 18, 79syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8113, 80jca 510 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
825, 81ralrimia 3245 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
839ffund 6727 . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝐹)
84 ffvresb 7134 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
8583, 84syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
8685adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
8782, 86mpbird 256 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
88 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐷 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
8988anbi2d 628 . . . . 5 (𝑥 = 𝐷 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
9089rexralbidv 3210 . . . 4 (𝑥 = 𝐷 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
9141simprd 494 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
9290, 91, 47rspcdva 3607 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
93 climxrrelem.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
946rexuz3 15331 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
9593, 94syl 17 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
9692, 95mpbird 256 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
9787, 96reximddv 3160 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461   class class class wbr 5149  dom cdm 5678  cres 5680  Fun wfun 6543  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  +∞cpnf 11277  -∞cmnf 11278  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476  cz 12591  cuz 12855  +crp 13009  abscabs 15217  cli 15464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468
This theorem is referenced by:  climxrre  45276
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