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Theorem climxrrelem 42378
 Description: If a seqence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxrrelem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climxrrelem.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climxrrelem.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
climxrrelem.c (𝜑𝐹𝐴)
climxrrelem.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
climxrrelem.p ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
climxrrelem.n ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
climxrrelem (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐷,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗

Proof of Theorem climxrrelem
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . . . . 5 𝑘𝜑
2 nfv 1915 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑍
3 nfra1 3186 . . . . . 6 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)
42, 3nfan 1900 . . . . 5 𝑘(𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
51, 4nfan 1900 . . . 4 𝑘(𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
6 climxrrelem.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
76uztrn2 12254 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
87adantll 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
9 climxrrelem.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
109fdmd 6501 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
1110ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → dom 𝐹 = 𝑍)
128, 11eleqtrrd 2896 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
1312adantlrr 720 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
14 simpll 766 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
158adantlrr 720 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
16 rspa 3174 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
1716adantll 713 . . . . . . 7 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
1817adantll 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
199ffvelrnda 6832 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
20193adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
21 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝜑)
22 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (𝐹𝑘) = -∞)
23 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2422, 23eqeltrrd 2894 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → -∞ ∈ ℂ)
2524adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → -∞ ∈ ℂ)
26 climxrrelem.n . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
2721, 25, 26syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
2827adantlrr 720 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
29 fvoveq1 7162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) = -∞ → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(-∞ − 𝐴)))
3029adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(-∞ − 𝐴)))
31 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)
3230, 31eqbrtrrd 5057 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) < 𝐷)
3332adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) < 𝐷)
3433adantlrl 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) < 𝐷)
35 climxrrelem.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹𝐴)
366fvexi 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑍 ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑍 ∈ V)
389, 37fexd 6971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 ∈ V)
39 eqidd 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
4038, 39clim 14846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
4135, 40mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
4241simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝐴 ∈ ℂ)
4425, 43subcld 10990 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (-∞ − 𝐴) ∈ ℂ)
4544abscld 14791 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
4645adantlrr 720 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
47 climxrrelem.d . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
4847rpred 12423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
5046, 49ltnled 10780 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → ((abs‘(-∞ − 𝐴)) < 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴))))
5134, 50mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → ¬ 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
5228, 51pm2.65da 816 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → ¬ (𝐹𝑘) = -∞)
53523adant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → ¬ (𝐹𝑘) = -∞)
5453neqned 2997 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → (𝐹𝑘) ≠ -∞)
55 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝜑)
56 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (𝐹𝑘) = +∞)
57 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5856, 57eqeltrrd 2894 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → +∞ ∈ ℂ)
5958adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → +∞ ∈ ℂ)
60 climxrrelem.p . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
6155, 59, 60syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
6261adantlrr 720 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
63 fvoveq1 7162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) = +∞ → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(+∞ − 𝐴)))
6463adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(+∞ − 𝐴)))
65 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)
6664, 65eqbrtrrd 5057 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) < 𝐷)
6766adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) < 𝐷)
6867adantlrl 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) < 𝐷)
6942ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝐴 ∈ ℂ)
7059, 69subcld 10990 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (+∞ − 𝐴) ∈ ℂ)
7170abscld 14791 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
7271adantlrr 720 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
7348ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
7472, 73ltnled 10780 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → ((abs‘(+∞ − 𝐴)) < 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴))))
7568, 74mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → ¬ 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
7662, 75pm2.65da 816 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → ¬ (𝐹𝑘) = +∞)
77763adant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → ¬ (𝐹𝑘) = +∞)
7877neqned 2997 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → (𝐹𝑘) ≠ +∞)
7920, 54, 78xrred 41984 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8014, 15, 18, 79syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8113, 80jca 515 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
825, 81ralrimia 41754 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
839ffund 6495 . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝐹)
84 ffvresb 6869 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
8583, 84syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
8685adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
8782, 86mpbird 260 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
88 breq2 5037 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐷 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
8988anbi2d 631 . . . . 5 (𝑥 = 𝐷 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
9089rexralbidv 3263 . . . 4 (𝑥 = 𝐷 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
9141simprd 499 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
9290, 91, 47rspcdva 3576 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
93 climxrrelem.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
946rexuz3 14703 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
9593, 94syl 17 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
9692, 95mpbird 260 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
9787, 96reximddv 3237 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  Vcvv 3444   class class class wbr 5033  dom cdm 5523   ↾ cres 5525  Fun wfun 6322  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  +∞cpnf 10665  -∞cmnf 10666  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  ℝ+crp 12381  abscabs 14588   ⇝ cli 14836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840 This theorem is referenced by:  climxrre  42379
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