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Theorem climxrrelem 44080
Description: If a sequence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxrrelem.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climxrrelem.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climxrrelem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
climxrrelem.c (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
climxrrelem.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
climxrrelem.p ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐷 ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
climxrrelem.n ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐷 ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
climxrrelem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐷,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   πœ‘,𝑗

Proof of Theorem climxrrelem
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘˜πœ‘
2 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑍
3 nfra1 3266 . . . . . 6 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
42, 3nfan 1903 . . . . 5 β„²π‘˜(𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))
51, 4nfan 1903 . . . 4 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)))
6 climxrrelem.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
76uztrn2 12790 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
87adantll 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
9 climxrrelem.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
109fdmd 6683 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
1110ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
128, 11eleqtrrd 2837 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
1312adantlrr 720 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
14 simpll 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
158adantlrr 720 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
16 rspa 3230 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))
1716adantll 713 . . . . . . 7 (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))
1817adantll 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))
199ffvelcdmda 7039 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
20193adant3 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
21 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ πœ‘)
22 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞)
23 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2422, 23eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ -∞ ∈ β„‚)
2524adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ -∞ ∈ β„‚)
26 climxrrelem.n . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐷 ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
2721, 25, 26syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ 𝐷 ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
2827adantlrr 720 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ 𝐷 ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
29 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘˜) = -∞ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
3029adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
31 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
3230, 31eqbrtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . 13 (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
3332adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
3433adantlrl 719 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
35 climxrrelem.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
366fvexi 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑍 ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
389, 37fexd 7181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
39 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
4038, 39clim 15385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))))
4135, 40mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)))
4241simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4425, 43subcld 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (-∞ βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
4544abscld 15330 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
4645adantlrr 720 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
47 climxrrelem.d . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
4847rpred 12965 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
5046, 49ltnled 11310 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ ((absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ↔ Β¬ 𝐷 ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴))))
5134, 50mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞) β†’ Β¬ 𝐷 ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
5228, 51pm2.65da 816 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞)
53523adant2 1132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = -∞)
5453neqned 2947 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  -∞)
55 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ πœ‘)
56 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞)
57 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5856, 57eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ +∞ ∈ β„‚)
5958adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ +∞ ∈ β„‚)
60 climxrrelem.p . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐷 ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
6155, 59, 60syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ 𝐷 ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
6261adantlrr 720 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ 𝐷 ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
63 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘˜) = +∞ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
6463adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
65 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
6664, 65eqbrtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . 13 (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
6766adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
6867adantlrl 719 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)
6942ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7059, 69subcld 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (+∞ βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
7170abscld 15330 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
7271adantlrr 720 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
7348ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
7472, 73ltnled 11310 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ ((absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) < 𝐷 ↔ Β¬ 𝐷 ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴))))
7568, 74mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞) β†’ Β¬ 𝐷 ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
7662, 75pm2.65da 816 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞)
77763adant2 1132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = +∞)
7877neqned 2947 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  +∞)
7920, 54, 78xrred 43690 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8014, 15, 18, 79syl3anc 1372 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8113, 80jca 513 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
825, 81ralrimia 3240 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
839ffund 6676 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
84 ffvresb 7076 . . . . 5 (Fun 𝐹 β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
8583, 84syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
8685adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
8782, 86mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
88 breq2 5113 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐷 β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))
8988anbi2d 630 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐷 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)))
9089rexralbidv 3211 . . . 4 (π‘₯ = 𝐷 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)))
9141simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
9290, 91, 47rspcdva 3584 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))
93 climxrrelem.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
946rexuz3 15242 . . . 4 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)))
9593, 94syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷)))
9692, 95mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝐷))
9787, 96reximddv 3165 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   class class class wbr 5109  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  +∞cpnf 11194  -∞cmnf 11195  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  abscabs 15128   ⇝ cli 15375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379
This theorem is referenced by:  climxrre  44081
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