Theorem elfix 5788

Description: Membership in the fixed points of a relationship. (Contributed by SF, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfix	⊢ (A ∈ Fix R ↔ ARA)

Proof of Theorem elfix

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2868	. 2 ⊢ (A ∈ Fix R → A ∈ V)
2		brex 4690	. . 3 ⊢ (ARA → (A ∈ V ∧ A ∈ V))
3	2	simpld 445	. 2 ⊢ (ARA → A ∈ V)
4		eleq1 2413	. . 3 ⊢ (x = A → (x ∈ Fix R ↔ A ∈ Fix R))
5		breq12 4645	. . . 4 ⊢ ((x = A ∧ x = A) → (xRx ↔ ARA))
6	5	anidms 626	. . 3 ⊢ (x = A → (xRx ↔ ARA))
7		df-fix 5741	. . . . 5 ⊢ Fix R = ran (R ∩ I )
8	7	eleq2i 2417	. . . 4 ⊢ (x ∈ Fix R ↔ x ∈ ran (R ∩ I ))
9		elrn 4897	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ran (R ∩ I ) ↔ ∃y y(R ∩ I )x)
10		brin 4694	. . . . . . 7 ⊢ (y(R ∩ I )x ↔ (yRx ∧ y I x))
11		ancom 437	. . . . . . 7 ⊢ ((yRx ∧ y I x) ↔ (y I x ∧ yRx))
12		vex 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ x ∈ V
13	12	ideq 4871	. . . . . . . 8 ⊢ (y I x ↔ y = x)
14	13	anbi1i 676	. . . . . . 7 ⊢ ((y I x ∧ yRx) ↔ (y = x ∧ yRx))
15	10, 11, 14	3bitri 262	. . . . . 6 ⊢ (y(R ∩ I )x ↔ (y = x ∧ yRx))
16	15	exbii 1582	. . . . 5 ⊢ (∃y y(R ∩ I )x ↔ ∃y(y = x ∧ yRx))
17	9, 16	bitri 240	. . . 4 ⊢ (x ∈ ran (R ∩ I ) ↔ ∃y(y = x ∧ yRx))
18		breq1 4643	. . . . 5 ⊢ (y = x → (yRx ↔ xRx))
19	12, 18	ceqsexv 2895	. . . 4 ⊢ (∃y(y = x ∧ yRx) ↔ xRx)
20	8, 17, 19	3bitri 262	. . 3 ⊢ (x ∈ Fix R ↔ xRx)
21	4, 6, 20	vtoclbg 2916	. 2 ⊢ (A ∈ V → (A ∈ Fix R ↔ ARA))
22	1, 3, 21	pm5.21nii 342	1 ⊢ (A ∈ Fix R ↔ ARA)

Syntax hints:   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2860   ∩ cin 3209   class class class wbr 4640   I cid 4764  ran crn 4774   Fix cfix 5740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-ima 4728  df-id 4768  df-rn 4787  df-fix 5741

This theorem is referenced by:  epprc  5828  clos1ex  5877  nnltp1clem1  6262  addccan2nclem2  6265  nchoicelem10  6299