Theorem elpmg 6013

Description: The predicate "is a partial function." (Contributed by set.mm contributors, 14-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elpmg	⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ W ∧ C ∈ X) → (C ∈ (A ↑pm B) ↔ (Fun C ∧ C ⊆ (B × A))))

Proof of Theorem elpmg

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmvalg 6010	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ W) → (A ↑pm B) = {g ∈ ℘(B × A) ∣ Fun g})
2	1	eleq2d 2420	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ W) → (C ∈ (A ↑pm B) ↔ C ∈ {g ∈ ℘(B × A) ∣ Fun g}))
3		funeq 5127	. . . . 5 ⊢ (g = C → (Fun g ↔ Fun C))
4	3	elrab 2994	. . . 4 ⊢ (C ∈ {g ∈ ℘(B × A) ∣ Fun g} ↔ (C ∈ ℘(B × A) ∧ Fun C))
5	2, 4	syl6bb 252	. . 3 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ W) → (C ∈ (A ↑pm B) ↔ (C ∈ ℘(B × A) ∧ Fun C)))
6	5	3adant3 975	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ W ∧ C ∈ X) → (C ∈ (A ↑pm B) ↔ (C ∈ ℘(B × A) ∧ Fun C)))
7		elpwg 3729	. . . . 5 ⊢ (C ∈ X → (C ∈ ℘(B × A) ↔ C ⊆ (B × A)))
8	7	anbi1d 685	. . . 4 ⊢ (C ∈ X → ((C ∈ ℘(B × A) ∧ Fun C) ↔ (C ⊆ (B × A) ∧ Fun C)))
9		ancom 437	. . . 4 ⊢ ((C ⊆ (B × A) ∧ Fun C) ↔ (Fun C ∧ C ⊆ (B × A)))
10	8, 9	syl6bb 252	. . 3 ⊢ (C ∈ X → ((C ∈ ℘(B × A) ∧ Fun C) ↔ (Fun C ∧ C ⊆ (B × A))))
11	10	3ad2ant3 978	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ W ∧ C ∈ X) → ((C ∈ ℘(B × A) ∧ Fun C) ↔ (Fun C ∧ C ⊆ (B × A))))
12	6, 11	bitrd 244	1 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ W ∧ C ∈ X) → (C ∈ (A ↑pm B) ↔ (Fun C ∧ C ⊆ (B × A))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   ∈ wcel 1710  {crab 2618   ⊆ wss 3257  ℘cpw 3722   × cxp 4770  Fun wfun 4775  (class class class)co 5525   ↑_pm cpm 6000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-pm 6002

This theorem is referenced by:  elpm2g  6014  pmfun  6015  elpm  6019