New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  ov GIF version

Theorem ov 5595
 Description: The value of an operation class abstraction. (Unnecessary distinct variable restrictions were removed by David Abernethy, 19-Jun-2012.) (Contributed by set.mm contributors, 16-May-1995.) (Revised by set.mm contributors, 24-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ov.1 C V
ov.2 (x = A → (φψ))
ov.3 (y = B → (ψχ))
ov.4 (z = C → (χθ))
ov.5 ((x R y S) → ∃!zφ)
ov.6 F = {x, y, z ((x R y S) φ)}
Assertion
Ref Expression
ov ((A R B S) → ((AFB) = Cθ))
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,y,z   x,R,y,z   x,S,y,z   θ,x,y,z
Allowed substitution hints:   φ(x,y,z)   ψ(x,y,z)   χ(x,y,z)   F(x,y,z)

Proof of Theorem ov
StepHypRef Expression
1 df-ov 5526 . . . . 5 (AFB) = (FA, B)
2 ov.6 . . . . . 6 F = {x, y, z ((x R y S) φ)}
32fveq1i 5329 . . . . 5 (FA, B) = ({x, y, z ((x R y S) φ)} ‘A, B)
41, 3eqtri 2373 . . . 4 (AFB) = ({x, y, z ((x R y S) φ)} ‘A, B)
54eqeq1i 2360 . . 3 ((AFB) = C ↔ ({x, y, z ((x R y S) φ)} ‘A, B) = C)
6 ov.5 . . . . . 6 ((x R y S) → ∃!zφ)
76fnoprab 5586 . . . . 5 {x, y, z ((x R y S) φ)} Fn {x, y (x R y S)}
8 eleq1 2413 . . . . . . . 8 (x = A → (x RA R))
98anbi1d 685 . . . . . . 7 (x = A → ((x R y S) ↔ (A R y S)))
10 eleq1 2413 . . . . . . . 8 (y = B → (y SB S))
1110anbi2d 684 . . . . . . 7 (y = B → ((A R y S) ↔ (A R B S)))
129, 11opelopabg 4705 . . . . . 6 ((A R B S) → (A, B {x, y (x R y S)} ↔ (A R B S)))
1312ibir 233 . . . . 5 ((A R B S) → A, B {x, y (x R y S)})
14 fnopfvb 5359 . . . . 5 (({x, y, z ((x R y S) φ)} Fn {x, y (x R y S)} A, B {x, y (x R y S)}) → (({x, y, z ((x R y S) φ)} ‘A, B) = CA, B, C {x, y, z ((x R y S) φ)}))
157, 13, 14sylancr 644 . . . 4 ((A R B S) → (({x, y, z ((x R y S) φ)} ‘A, B) = CA, B, C {x, y, z ((x R y S) φ)}))
16 ov.1 . . . . 5 C V
17 ov.2 . . . . . . 7 (x = A → (φψ))
189, 17anbi12d 691 . . . . . 6 (x = A → (((x R y S) φ) ↔ ((A R y S) ψ)))
19 ov.3 . . . . . . 7 (y = B → (ψχ))
2011, 19anbi12d 691 . . . . . 6 (y = B → (((A R y S) ψ) ↔ ((A R B S) χ)))
21 ov.4 . . . . . . 7 (z = C → (χθ))
2221anbi2d 684 . . . . . 6 (z = C → (((A R B S) χ) ↔ ((A R B S) θ)))
2318, 20, 22eloprabg 5579 . . . . 5 ((A R B S C V) → (A, B, C {x, y, z ((x R y S) φ)} ↔ ((A R B S) θ)))
2416, 23mp3an3 1266 . . . 4 ((A R B S) → (A, B, C {x, y, z ((x R y S) φ)} ↔ ((A R B S) θ)))
2515, 24bitrd 244 . . 3 ((A R B S) → (({x, y, z ((x R y S) φ)} ‘A, B) = C ↔ ((A R B S) θ)))
265, 25syl5bb 248 . 2 ((A R B S) → ((AFB) = C ↔ ((A R B S) θ)))
2726bianabs 850 1 ((A R B S) → ((AFB) = Cθ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃!weu 2204  Vcvv 2859  ⟨cop 4561  {copab 4622   Fn wfn 4776   ‘cfv 4781  (class class class)co 5525  {coprab 5527 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789  df-fn 4790  df-fv 4795  df-ov 5526  df-oprab 5528 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator