NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  trd GIF version

Theorem trd 5922
Description: Transitivity law in natural deduction form. (Contributed by SF, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
trd.1 (φR Trans A)
trd.2 (φX A)
trd.3 (φY A)
trd.4 (φZ A)
trd.5 (φXRY)
trd.6 (φYRZ)
Assertion
Ref Expression
trd (φXRZ)

Proof of Theorem trd
Dummy variables a r x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trd.5 . 2 (φXRY)
2 trd.6 . 2 (φYRZ)
3 trd.1 . . . 4 (φR Trans A)
4 brex 4690 . . . . . 6 (R Trans A → (R V A V))
5 breq 4642 . . . . . . . . . . 11 (r = R → (xryxRy))
6 breq 4642 . . . . . . . . . . 11 (r = R → (yrzyRz))
75, 6anbi12d 691 . . . . . . . . . 10 (r = R → ((xry yrz) ↔ (xRy yRz)))
8 breq 4642 . . . . . . . . . 10 (r = R → (xrzxRz))
97, 8imbi12d 311 . . . . . . . . 9 (r = R → (((xry yrz) → xrz) ↔ ((xRy yRz) → xRz)))
109ralbidv 2635 . . . . . . . 8 (r = R → (z a ((xry yrz) → xrz) ↔ z a ((xRy yRz) → xRz)))
11102ralbidv 2657 . . . . . . 7 (r = R → (x a y a z a ((xry yrz) → xrz) ↔ x a y a z a ((xRy yRz) → xRz)))
12 raleq 2808 . . . . . . . . 9 (a = A → (z a ((xRy yRz) → xRz) ↔ z A ((xRy yRz) → xRz)))
1312raleqbi1dv 2816 . . . . . . . 8 (a = A → (y a z a ((xRy yRz) → xRz) ↔ y A z A ((xRy yRz) → xRz)))
1413raleqbi1dv 2816 . . . . . . 7 (a = A → (x a y a z a ((xRy yRz) → xRz) ↔ x A y A z A ((xRy yRz) → xRz)))
15 df-trans 5900 . . . . . . 7 Trans = {r, a x a y a z a ((xry yrz) → xrz)}
1611, 14, 15brabg 4707 . . . . . 6 ((R V A V) → (R Trans Ax A y A z A ((xRy yRz) → xRz)))
174, 16syl 15 . . . . 5 (R Trans A → (R Trans Ax A y A z A ((xRy yRz) → xRz)))
1817ibi 232 . . . 4 (R Trans Ax A y A z A ((xRy yRz) → xRz))
193, 18syl 15 . . 3 (φx A y A z A ((xRy yRz) → xRz))
20 trd.2 . . . 4 (φX A)
21 trd.3 . . . 4 (φY A)
22 trd.4 . . . 4 (φZ A)
23 breq1 4643 . . . . . . 7 (x = X → (xRyXRy))
2423anbi1d 685 . . . . . 6 (x = X → ((xRy yRz) ↔ (XRy yRz)))
25 breq1 4643 . . . . . 6 (x = X → (xRzXRz))
2624, 25imbi12d 311 . . . . 5 (x = X → (((xRy yRz) → xRz) ↔ ((XRy yRz) → XRz)))
27 breq2 4644 . . . . . . 7 (y = Y → (XRyXRY))
28 breq1 4643 . . . . . . 7 (y = Y → (yRzYRz))
2927, 28anbi12d 691 . . . . . 6 (y = Y → ((XRy yRz) ↔ (XRY YRz)))
3029imbi1d 308 . . . . 5 (y = Y → (((XRy yRz) → XRz) ↔ ((XRY YRz) → XRz)))
31 breq2 4644 . . . . . . 7 (z = Z → (YRzYRZ))
3231anbi2d 684 . . . . . 6 (z = Z → ((XRY YRz) ↔ (XRY YRZ)))
33 breq2 4644 . . . . . 6 (z = Z → (XRzXRZ))
3432, 33imbi12d 311 . . . . 5 (z = Z → (((XRY YRz) → XRz) ↔ ((XRY YRZ) → XRZ)))
3526, 30, 34rspc3v 2965 . . . 4 ((X A Y A Z A) → (x A y A z A ((xRy yRz) → xRz) → ((XRY YRZ) → XRZ)))
3620, 21, 22, 35syl3anc 1182 . . 3 (φ → (x A y A z A ((xRy yRz) → xRz) → ((XRY YRZ) → XRZ)))
3719, 36mpd 14 . 2 (φ → ((XRY YRZ) → XRZ))
381, 2, 37mp2and 660 1 (φXRZ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 176   wa 358   = wceq 1642   wcel 1710  wral 2615  Vcvv 2860   class class class wbr 4640   Trans ctrans 5889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-trans 5900
This theorem is referenced by:  ertr  5955  ertrd  5956
  Copyright terms: Public domain W3C validator