Theorem 2lgslem1b 15237

Description: Lemma 2 for 2lgslem1 15239. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lgslem1b.i	|- I = ( A ... B )
2lgslem1b.f	|- F = ( j e. I |-> ( j x. 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1b	|- F : I -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. I x = ( i x. 2 ) }

Distinct variable group:   i, I, j, x

Allowed substitution hints:   A( x, i, j)   B( x, i, j)   F( x, i, j)

Proof of Theorem 2lgslem1b

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem1b.f	. . . 4 |- F = ( j e. I |-> ( j x. 2 ) )
2		eqeq1 2200	. . . . . 6 |- ( x = ( j x. 2 ) -> ( x = ( i x. 2 ) <-> ( j x. 2 ) = ( i x. 2 ) ) )
3	2	rexbidv 2495	. . . . 5 |- ( x = ( j x. 2 ) -> ( E. i e. I x = ( i x. 2 ) <-> E. i e. I ( j x. 2 ) = ( i x. 2 ) ) )
4		elfzelz 10094	. . . . . . 7 |- ( j e. ( A ... B ) -> j e. ZZ )
5		2lgslem1b.i	. . . . . . 7 |- I = ( A ... B )
6	4, 5	eleq2s 2288	. . . . . 6 |- ( j e. I -> j e. ZZ )
7		2z 9348	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
8	7	a1i 9	. . . . . 6 |- ( j e. I -> 2 e. ZZ )
9	6, 8	zmulcld 9448	. . . . 5 |- ( j e. I -> ( j x. 2 ) e. ZZ )
10		id 19	. . . . . 6 |- ( j e. I -> j e. I )
11		oveq1 5926	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( i x. 2 ) = ( j x. 2 ) )
12	11	eqeq2d 2205	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( ( j x. 2 ) = ( i x. 2 ) <-> ( j x. 2 ) = ( j x. 2 ) ) )
13	12	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( j e. I /\ i = j ) -> ( ( j x. 2 ) = ( i x. 2 ) <-> ( j x. 2 ) = ( j x. 2 ) ) )
14		eqidd 2194	. . . . . 6 |- ( j e. I -> ( j x. 2 ) = ( j x. 2 ) )
15	10, 13, 14	rspcedvd 2871	. . . . 5 |- ( j e. I -> E. i e. I ( j x. 2 ) = ( i x. 2 ) )
16	3, 9, 15	elrabd 2919	. . . 4 |- ( j e. I -> ( j x. 2 ) e. { x e. ZZ | E. i e. I x = ( i x. 2 ) } )
17	1, 16	fmpti 5711	. . 3 |- F : I --> { x e. ZZ | E. i e. I x = ( i x. 2 ) }
18		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( j = y -> ( j x. 2 ) = ( y x. 2 ) )
19		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( y e. I /\ z e. I ) -> y e. I )
20		elfzelz 10094	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( A ... B ) -> y e. ZZ )
21	20, 5	eleq2s 2288	. . . . . . . . 9 |- ( y e. I -> y e. ZZ )
22		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ZZ -> y e. ZZ )
23	7	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ZZ -> 2 e. ZZ )
24	22, 23	zmulcld 9448	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> ( y x. 2 ) e. ZZ )
25	21, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( y e. I -> ( y x. 2 ) e. ZZ )
26	25	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( y e. I /\ z e. I ) -> ( y x. 2 ) e. ZZ )
27	1, 18, 19, 26	fvmptd3 5652	. . . . . 6 |- ( ( y e. I /\ z e. I ) -> ( F ` y ) = ( y x. 2 ) )
28		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( j = z -> ( j x. 2 ) = ( z x. 2 ) )
29		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( y e. I /\ z e. I ) -> z e. I )
30		elfzelz 10094	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( A ... B ) -> z e. ZZ )
31	30, 5	eleq2s 2288	. . . . . . . . 9 |- ( z e. I -> z e. ZZ )
32	7	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( z e. I -> 2 e. ZZ )
33	31, 32	zmulcld 9448	. . . . . . . 8 |- ( z e. I -> ( z x. 2 ) e. ZZ )
34	33	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( y e. I /\ z e. I ) -> ( z x. 2 ) e. ZZ )
35	1, 28, 29, 34	fvmptd3 5652	. . . . . 6 |- ( ( y e. I /\ z e. I ) -> ( F ` z ) = ( z x. 2 ) )
36	27, 35	eqeq12d 2208	. . . . 5 |- ( ( y e. I /\ z e. I ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> ( y x. 2 ) = ( z x. 2 ) ) )
37	21	zcnd 9443	. . . . . . . 8 |- ( y e. I -> y e. CC )
38	37	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( y e. I /\ z e. I ) -> y e. CC )
39	31	zcnd 9443	. . . . . . . 8 |- ( z e. I -> z e. CC )
40	39	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( y e. I /\ z e. I ) -> z e. CC )
41		2cnd 9057	. . . . . . 7 |- ( ( y e. I /\ z e. I ) -> 2 e. CC )
42		2ap0 9077	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
43	42	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( y e. I /\ z e. I ) -> 2 # 0 )
44	38, 40, 41, 43	mulcanap2d 8683	. . . . . 6 |- ( ( y e. I /\ z e. I ) -> ( ( y x. 2 ) = ( z x. 2 ) <-> y = z ) )
45	44	biimpd 144	. . . . 5 |- ( ( y e. I /\ z e. I ) -> ( ( y x. 2 ) = ( z x. 2 ) -> y = z ) )
46	36, 45	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( y e. I /\ z e. I ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
47	46	rgen2 2580	. . 3 |- A. y e. I A. z e. I ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z )
48		dff13 5812	. . 3 |- ( F : I -1-1-> { x e. ZZ | E. i e. I x = ( i x. 2 ) } <-> ( F : I --> { x e. ZZ | E. i e. I x = ( i x. 2 ) } /\ A. y e. I A. z e. I ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) ) )
49	17, 47, 48	mpbir2an 944	. 2 |- F : I -1-1-> { x e. ZZ | E. i e. I x = ( i x. 2 ) }
50		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( j = i -> ( j x. 2 ) = ( i x. 2 ) )
51	50	eqeq2d 2205	. . . . . 6 |- ( j = i -> ( x = ( j x. 2 ) <-> x = ( i x. 2 ) ) )
52	51	cbvrexvw 2731	. . . . 5 |- ( E. j e. I x = ( j x. 2 ) <-> E. i e. I x = ( i x. 2 ) )
53		elfzelz 10094	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( A ... B ) -> i e. ZZ )
54	7	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( A ... B ) -> 2 e. ZZ )
55	53, 54	zmulcld 9448	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( A ... B ) -> ( i x. 2 ) e. ZZ )
56	55, 5	eleq2s 2288	. . . . . . . 8 |- ( i e. I -> ( i x. 2 ) e. ZZ )
57		eleq1 2256	. . . . . . . 8 |- ( x = ( i x. 2 ) -> ( x e. ZZ <-> ( i x. 2 ) e. ZZ ) )
58	56, 57	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 |- ( i e. I -> ( x = ( i x. 2 ) -> x e. ZZ ) )
59	58	rexlimiv 2605	. . . . . 6 |- ( E. i e. I x = ( i x. 2 ) -> x e. ZZ )
60	59	pm4.71ri 392	. . . . 5 |- ( E. i e. I x = ( i x. 2 ) <-> ( x e. ZZ /\ E. i e. I x = ( i x. 2 ) ) )
61	52, 60	bitri 184	. . . 4 |- ( E. j e. I x = ( j x. 2 ) <-> ( x e. ZZ /\ E. i e. I x = ( i x. 2 ) ) )
62	61	abbii 2309	. . 3 |- { x | E. j e. I x = ( j x. 2 ) } = { x | ( x e. ZZ /\ E. i e. I x = ( i x. 2 ) ) }
63	1	rnmpt 4911	. . 3 |- ran F = { x | E. j e. I x = ( j x. 2 ) }
64		df-rab 2481	. . 3 |- { x e. ZZ | E. i e. I x = ( i x. 2 ) } = { x | ( x e. ZZ /\ E. i e. I x = ( i x. 2 ) ) }
65	62, 63, 64	3eqtr4i 2224	. 2 |- ran F = { x e. ZZ | E. i e. I x = ( i x. 2 ) }
66		dff1o5 5510	. 2 |- ( F : I -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. I x = ( i x. 2 ) } <-> ( F : I -1-1-> { x e. ZZ | E. i e. I x = ( i x. 2 ) } /\ ran F = { x e. ZZ | E. i e. I x = ( i x. 2 ) } ) )
67	49, 65, 66	mpbir2an 944	1 |- F : I -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. I x = ( i x. 2 ) }

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   E.wrex 2473   {crab 2476   class class class wbr 4030   |-> cmpt 4091   ran crn 4661   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   0cc0 7874   x. cmul 7879   # cap 8602   2c2 9035   ZZcz 9320   ...cfz 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078

This theorem is referenced by:  2lgslem1  15239