Theorem 2lgslem1b 15776

Description: Lemma 2 for 2lgslem1 15778. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lgslem1b.i	⊢ 𝐼 = (𝐴...𝐵)
2lgslem1b.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 · 2))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1b	⊢ 𝐹:𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}

Distinct variable group:   𝑖,𝐼,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐵(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem 2lgslem1b

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem1b.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 · 2))
2		eqeq1 2236	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑗 · 2) → (𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2)))
3	2	rexbidv 2531	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑗 · 2) → (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2)))
4		elfzelz 10229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑗 ∈ ℤ)
5		2lgslem1b.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝐴...𝐵)
6	4, 5	eleq2s 2324	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 𝑗 ∈ ℤ)
7		2z 9482	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
8	7	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 2 ∈ ℤ)
9	6, 8	zmulcld 9583	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (𝑗 · 2) ∈ ℤ)
10		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 𝑗 ∈ 𝐼)
11		oveq1 6014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 · 2) = (𝑗 · 2))
12	11	eqeq2d 2241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑗 · 2) = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2)))
13	12	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑖 = 𝑗) → ((𝑗 · 2) = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2)))
14		eqidd 2230	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2))
15	10, 13, 14	rspcedvd 2913	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2))
16	3, 9, 15	elrabd 2961	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (𝑗 · 2) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)})
17	1, 16	fmpti 5789	. . 3 ⊢ 𝐹:𝐼⟶{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
18		oveq1 6014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝑗 · 2) = (𝑦 · 2))
19		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
20		elfzelz 10229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
21	20, 5	eleq2s 2324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → 𝑦 ∈ ℤ)
22		id 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℤ)
23	7	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
24	22, 23	zmulcld 9583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 2) ∈ ℤ)
25	21, 24	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → (𝑦 · 2) ∈ ℤ)
26	25	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑦 · 2) ∈ ℤ)
27	1, 18, 19, 26	fvmptd3 5730	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 2))
28		oveq1 6014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑗 · 2) = (𝑧 · 2))
29		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ 𝐼)
30		elfzelz 10229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑧 ∈ ℤ)
31	30, 5	eleq2s 2324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → 𝑧 ∈ ℤ)
32	7	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → 2 ∈ ℤ)
33	31, 32	zmulcld 9583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → (𝑧 · 2) ∈ ℤ)
34	33	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑧 · 2) ∈ ℤ)
35	1, 28, 29, 34	fvmptd3 5730	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 · 2))
36	27, 35	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 · 2) = (𝑧 · 2)))
37	21	zcnd 9578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → 𝑦 ∈ ℂ)
38	37	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ ℂ)
39	31	zcnd 9578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → 𝑧 ∈ ℂ)
40	39	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ ℂ)
41		2cnd 9191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 2 ∈ ℂ)
42		2ap0 9211	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
43	42	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 2 # 0)
44	38, 40, 41, 43	mulcanap2d 8817	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑦 · 2) = (𝑧 · 2) ↔ 𝑦 = 𝑧))
45	44	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑦 · 2) = (𝑧 · 2) → 𝑦 = 𝑧))
46	36, 45	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
47	46	rgen2 2616	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
48		dff13 5898	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ (𝐹:𝐼⟶{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
49	17, 47, 48	mpbir2an 948	. 2 ⊢ 𝐹:𝐼–1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
50		oveq1 6014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2))
51	50	eqeq2d 2241	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ 𝑥 = (𝑖 · 2)))
52	51	cbvrexvw 2770	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))
53		elfzelz 10229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑖 ∈ ℤ)
54	7	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → 2 ∈ ℤ)
55	53, 54	zmulcld 9583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
56	55, 5	eleq2s 2324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
57		eleq1 2292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → (𝑥 ∈ ℤ ↔ (𝑖 · 2) ∈ ℤ))
58	56, 57	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 → (𝑥 = (𝑖 · 2) → 𝑥 ∈ ℤ))
59	58	rexlimiv 2642	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) → 𝑥 ∈ ℤ)
60	59	pm4.71ri 392	. . . . 5 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)))
61	52, 60	bitri 184	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)))
62	61	abbii 2345	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))}
63	1	rnmpt 4972	. . 3 ⊢ ran 𝐹 = {𝑥 ∣ ∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2)}
64		df-rab 2517	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))}
65	62, 63, 64	3eqtr4i 2260	. 2 ⊢ ran 𝐹 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
66		dff1o5 5583	. 2 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ (𝐹:𝐼–1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ∧ ran 𝐹 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}))
67	49, 65, 66	mpbir2an 948	1 ⊢ 𝐹:𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  {crab 2512   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145  ran crn 4720  ⟶wf 5314  –1-1→wf1 5315  –1-1-onto→wf1o 5317  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  0cc0 8007   · cmul 8012   # cap 8736  2c2 9169  ℤcz 9454  ...cfz 10212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-inn 9119  df-2 9177  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-fz 10213

This theorem is referenced by:  2lgslem1  15778