Theorem 2lgslem1b 15949

Description: Lemma 2 for 2lgslem1 15951. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lgslem1b.i	⊢ 𝐼 = (𝐴...𝐵)
2lgslem1b.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 · 2))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1b	⊢ 𝐹:𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}

Distinct variable group:   𝑖,𝐼,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐵(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem 2lgslem1b

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem1b.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 · 2))
2		eqeq1 2239	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑗 · 2) → (𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2)))
3	2	rexbidv 2543	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑗 · 2) → (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2)))
4		elfzelz 10355	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑗 ∈ ℤ)
5		2lgslem1b.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝐴...𝐵)
6	4, 5	eleq2s 2327	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 𝑗 ∈ ℤ)
7		2z 9601	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
8	7	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 2 ∈ ℤ)
9	6, 8	zmulcld 9702	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (𝑗 · 2) ∈ ℤ)
10		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 𝑗 ∈ 𝐼)
11		oveq1 6056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 · 2) = (𝑗 · 2))
12	11	eqeq2d 2244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑗 · 2) = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2)))
13	12	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑖 = 𝑗) → ((𝑗 · 2) = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2)))
14		eqidd 2233	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2))
15	10, 13, 14	rspcedvd 2926	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2))
16	3, 9, 15	elrabd 2974	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (𝑗 · 2) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)})
17	1, 16	fmpti 5828	. . 3 ⊢ 𝐹:𝐼⟶{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
18		oveq1 6056	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝑗 · 2) = (𝑦 · 2))
19		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
20		elfzelz 10355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
21	20, 5	eleq2s 2327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → 𝑦 ∈ ℤ)
22		id 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℤ)
23	7	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
24	22, 23	zmulcld 9702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 2) ∈ ℤ)
25	21, 24	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → (𝑦 · 2) ∈ ℤ)
26	25	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑦 · 2) ∈ ℤ)
27	1, 18, 19, 26	fvmptd3 5770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 2))
28		oveq1 6056	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑗 · 2) = (𝑧 · 2))
29		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ 𝐼)
30		elfzelz 10355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑧 ∈ ℤ)
31	30, 5	eleq2s 2327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → 𝑧 ∈ ℤ)
32	7	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → 2 ∈ ℤ)
33	31, 32	zmulcld 9702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → (𝑧 · 2) ∈ ℤ)
34	33	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑧 · 2) ∈ ℤ)
35	1, 28, 29, 34	fvmptd3 5770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 · 2))
36	27, 35	eqeq12d 2247	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 · 2) = (𝑧 · 2)))
37	21	zcnd 9697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → 𝑦 ∈ ℂ)
38	37	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ ℂ)
39	31	zcnd 9697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → 𝑧 ∈ ℂ)
40	39	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ ℂ)
41		2cnd 9306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 2 ∈ ℂ)
42		2ap0 9326	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
43	42	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 2 # 0)
44	38, 40, 41, 43	mulcanap2d 8932	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑦 · 2) = (𝑧 · 2) ↔ 𝑦 = 𝑧))
45	44	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑦 · 2) = (𝑧 · 2) → 𝑦 = 𝑧))
46	36, 45	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
47	46	rgen2 2628	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
48		dff13 5940	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ (𝐹:𝐼⟶{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
49	17, 47, 48	mpbir2an 951	. 2 ⊢ 𝐹:𝐼–1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
50		oveq1 6056	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2))
51	50	eqeq2d 2244	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ 𝑥 = (𝑖 · 2)))
52	51	cbvrexvw 2782	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))
53		elfzelz 10355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑖 ∈ ℤ)
54	7	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → 2 ∈ ℤ)
55	53, 54	zmulcld 9702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
56	55, 5	eleq2s 2327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
57		eleq1 2295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → (𝑥 ∈ ℤ ↔ (𝑖 · 2) ∈ ℤ))
58	56, 57	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 → (𝑥 = (𝑖 · 2) → 𝑥 ∈ ℤ))
59	58	rexlimiv 2654	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) → 𝑥 ∈ ℤ)
60	59	pm4.71ri 392	. . . . 5 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)))
61	52, 60	bitri 184	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)))
62	61	abbii 2348	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))}
63	1	rnmpt 5004	. . 3 ⊢ ran 𝐹 = {𝑥 ∣ ∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2)}
64		df-rab 2529	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))}
65	62, 63, 64	3eqtr4i 2263	. 2 ⊢ ran 𝐹 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
66		dff1o5 5622	. 2 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ (𝐹:𝐼–1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ∧ ran 𝐹 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}))
67	49, 65, 66	mpbir2an 951	1 ⊢ 𝐹:𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {cab 2218  ∀wral 2520  ∃wrex 2521  {crab 2524   class class class wbr 4108   ↦ cmpt 4170  ran crn 4749  ⟶wf 5347  –1-1→wf1 5348  –1-1-onto→wf1o 5350  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8121  0cc0 8123   · cmul 8128   # cap 8851  2c2 9284  ℤcz 9573  ...cfz 10338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-inn 9234  df-2 9292  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-fz 10339

This theorem is referenced by:  2lgslem1  15951