Theorem 2lgslem1c 15238

Description: Lemma 3 for 2lgslem1 15239. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1c	|- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )

Proof of Theorem 2lgslem1c

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12251	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
2		nnnn0 9250	. . . 4 |- ( P e. NN -> P e. NN0 )
3		oddnn02np1 12024	. . . 4 |- ( P e. NN0 -> ( -. 2 || P <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = P ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 |- ( P e. Prime -> ( -. 2 || P <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = P ) )
5		iftrue 3563	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 || n -> if ( 2 || n , ( n / 2 ) , ( ( n - 1 ) / 2 ) ) = ( n / 2 ) )
6	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 || n /\ n e. NN0 ) -> if ( 2 || n , ( n / 2 ) , ( ( n - 1 ) / 2 ) ) = ( n / 2 ) )
7		2nn 9146	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
8		nn0ledivnn 9836	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN0 /\ 2 e. NN ) -> ( n / 2 ) <_ n )
9	7, 8	mpan2 425	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( n / 2 ) <_ n )
10	9	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 || n /\ n e. NN0 ) -> ( n / 2 ) <_ n )
11	6, 10	eqbrtrd 4052	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 || n /\ n e. NN0 ) -> if ( 2 || n , ( n / 2 ) , ( ( n - 1 ) / 2 ) ) <_ n )
12	11	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 -> ( 2 || n -> if ( 2 || n , ( n / 2 ) , ( ( n - 1 ) / 2 ) ) <_ n ) )
13		iffalse 3566	. . . . . . . . . 10 |- ( -. 2 || n -> if ( 2 || n , ( n / 2 ) , ( ( n - 1 ) / 2 ) ) = ( ( n - 1 ) / 2 ) )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. 2 || n /\ n e. NN0 ) -> if ( 2 || n , ( n / 2 ) , ( ( n - 1 ) / 2 ) ) = ( ( n - 1 ) / 2 ) )
15		nn0re 9252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> n e. RR )
16		peano2rem 8288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. RR -> ( n - 1 ) e. RR )
17	16	rehalfcld 9232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. RR -> ( ( n - 1 ) / 2 ) e. RR )
18	15, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( ( n - 1 ) / 2 ) e. RR )
19	15	rehalfcld 9232	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( n / 2 ) e. RR )
20	15	lem1d 8954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( n - 1 ) <_ n )
21	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( n - 1 ) e. RR )
22		2re 9054	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
23		2pos 9075	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
24	22, 23	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
26		lediv1 8890	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n - 1 ) e. RR /\ n e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( n - 1 ) <_ n <-> ( ( n - 1 ) / 2 ) <_ ( n / 2 ) ) )
27	21, 15, 25, 26	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( ( n - 1 ) <_ n <-> ( ( n - 1 ) / 2 ) <_ ( n / 2 ) ) )
28	20, 27	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( ( n - 1 ) / 2 ) <_ ( n / 2 ) )
29	18, 19, 15, 28, 9	letrd 8145	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( ( n - 1 ) / 2 ) <_ n )
30	29	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. 2 || n /\ n e. NN0 ) -> ( ( n - 1 ) / 2 ) <_ n )
31	14, 30	eqbrtrd 4052	. . . . . . . 8 |- ( ( -. 2 || n /\ n e. NN0 ) -> if ( 2 || n , ( n / 2 ) , ( ( n - 1 ) / 2 ) ) <_ n )
32	31	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 -> ( -. 2 || n -> if ( 2 || n , ( n / 2 ) , ( ( n - 1 ) / 2 ) ) <_ n ) )
33		nn0z 9340	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
34		zeo3 12012	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> ( 2 || n \/ -. 2 || n ) )
35	33, 34	syl 14	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 -> ( 2 || n \/ -. 2 || n ) )
36	12, 32, 35	mpjaod 719	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 -> if ( 2 || n , ( n / 2 ) , ( ( n - 1 ) / 2 ) ) <_ n )
37	36	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( P e. Prime /\ n e. NN0 ) /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = P ) -> if ( 2 || n , ( n / 2 ) , ( ( n - 1 ) / 2 ) ) <_ n )
38	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ n e. NN0 ) -> n e. ZZ )
39		eqcom 2195	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = P <-> P = ( ( 2 x. n ) + 1 ) )
40	39	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = P -> P = ( ( 2 x. n ) + 1 ) )
41		flodddiv4 12078	. . . . . 6 |- ( ( n e. ZZ /\ P = ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = if ( 2 || n , ( n / 2 ) , ( ( n - 1 ) / 2 ) ) )
42	38, 40, 41	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ( P e. Prime /\ n e. NN0 ) /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = P ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = if ( 2 || n , ( n / 2 ) , ( ( n - 1 ) / 2 ) ) )
43		oveq1 5926	. . . . . . . . . 10 |- ( P = ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( P - 1 ) = ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) )
44	43	eqcoms 2196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = P -> ( P - 1 ) = ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) )
45	44	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. Prime /\ n e. NN0 ) /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = P ) -> ( P - 1 ) = ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) )
46		2nn0 9260	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> 2 e. NN0 )
48		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> n e. NN0 )
49	47, 48	nn0mulcld 9301	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( 2 x. n ) e. NN0 )
50	49	nn0cnd 9298	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( 2 x. n ) e. CC )
51		pncan1 8398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. n ) e. CC -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. n ) )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. n ) )
53	52	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. Prime /\ n e. NN0 ) /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = P ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. n ) )
54	45, 53	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. Prime /\ n e. NN0 ) /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = P ) -> ( P - 1 ) = ( 2 x. n ) )
55	54	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. Prime /\ n e. NN0 ) /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) = ( ( 2 x. n ) / 2 ) )
56		nn0cn 9253	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 -> n e. CC )
57		2cnd 9057	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 -> 2 e. CC )
58		2ap0 9077	. . . . . . . . 9 |- 2 # 0
59	58	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 -> 2 # 0 )
60	56, 57, 59	divcanap3d 8816	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 -> ( ( 2 x. n ) / 2 ) = n )
61	60	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. Prime /\ n e. NN0 ) /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = P ) -> ( ( 2 x. n ) / 2 ) = n )
62	55, 61	eqtrd 2226	. . . . 5 |- ( ( ( P e. Prime /\ n e. NN0 ) /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) = n )
63	37, 42, 62	3brtr4d 4062	. . . 4 |- ( ( ( P e. Prime /\ n e. NN0 ) /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = P ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
64	63	rexlimdva2 2614	. . 3 |- ( P e. Prime -> ( E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = P -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
65	4, 64	sylbid 150	. 2 |- ( P e. Prime -> ( -. 2 || P -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
66	65	imp 124	1 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   ifcif 3558   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   RRcr 7873   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   x. cmul 7879   < clt 8056   <_ cle 8057   - cmin 8192   # cap 8602   / cdiv 8693   NNcn 8984   2c2 9035   4c4 9037   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   |_cfl 10340   || cdvds 11933   Primecprime 12248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-q 9688  df-rp 9723  df-fl 10342  df-dvds 11934  df-prm 12249

This theorem is referenced by:  2lgslem1  15239