Theorem 2lgslem1 15778

Description: Lemma 1 for 2lgs 15791. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1	|- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( x = ( i x. 2 ) /\ ( P / 2 ) < ( x mod P ) ) } ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )

Distinct variable group:   P, i, x

Proof of Theorem 2lgslem1

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem1a 15775	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> { x e. ZZ | E. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( x = ( i x. 2 ) /\ ( P / 2 ) < ( x mod P ) ) } = { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } )
2	1	fveq2d 5633	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( x = ( i x. 2 ) /\ ( P / 2 ) < ( x mod P ) ) } ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
3		prmz 12641	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
4		4nn 9282	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
5		znq 9827	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> ( P / 4 ) e. QQ )
7	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
8	7	flqcld 10505	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
9	8	peano2zd 9580	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. ZZ )
10		nnoddn2prmb 12793	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) )
11		oddprm 12790	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
12	10, 11	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
13	12	nnzd 9576	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
14	9, 13	fzfigd 10661	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin )
15	14	mptexd 5870	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) e. _V )
16		eqid 2229	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) )
17		eqid 2229	. . . . 5 |- ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) = ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) )
18	16, 17	2lgslem1b 15776	. . . 4 |- ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) }
19		f1oeq1 5562	. . . . 5 |- ( f = ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) -> ( f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } <-> ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
20	19	spcegv 2891	. . . 4 |- ( ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) e. _V -> ( ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } -> E. f f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
21	15, 18, 20	mpisyl 1489	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> E. f f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } )
22		fihasheqf1oi 11017	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin /\ f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
23	22	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin -> ( f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) ) )
24	23	exlimdv 1865	. . 3 |- ( ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin -> ( E. f f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) ) )
25	14, 21, 24	sylc 62	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
26	6	flqcld 10505	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
27	26	adantr 276	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
28		oddm1d2 12411	. . . . . 6 |- ( P e. ZZ -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
29	3, 28	syl 14	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
30	29	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
31		2lgslem1c 15777	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
32		eluz2 9736	. . . 4 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
33	27, 30, 31, 32	syl3anbrc 1205	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
34		hashfzp1 11054	. . 3 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
35	33, 34	syl 14	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
36	2, 25, 35	3eqtr2d 2268	1 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( x = ( i x. 2 ) /\ ( P / 2 ) < ( x mod P ) ) } ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   E.wrex 2509   {crab 2512   _Vcvv 2799   \ cdif 3194   {csn 3666   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Fincfn 6895   1c1 8008   + caddc 8010   x. cmul 8012   < clt 8189   <_ cle 8190   - cmin 8325   / cdiv 8827   NNcn 9118   2c2 9169   4c4 9171   ZZcz 9454   ZZ>=cuz 9730   QQcq 9822   ...cfz 10212   |_cfl 10496   mod cmo 10552  ♯chash 11005   || cdvds 12306   Primecprime 12637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fl 10498  df-mod 10553  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-ihash 11006  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-dvds 12307  df-prm 12638

This theorem is referenced by:  2lgs  15791