Theorem 2lgslem1 15735

Description: Lemma 1 for 2lgs 15748. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1	|- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( x = ( i x. 2 ) /\ ( P / 2 ) < ( x mod P ) ) } ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )

Distinct variable group:   P, i, x

Proof of Theorem 2lgslem1

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem1a 15732	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> { x e. ZZ | E. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( x = ( i x. 2 ) /\ ( P / 2 ) < ( x mod P ) ) } = { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } )
2	1	fveq2d 5607	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( x = ( i x. 2 ) /\ ( P / 2 ) < ( x mod P ) ) } ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
3		prmz 12599	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
4		4nn 9242	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
5		znq 9787	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> ( P / 4 ) e. QQ )
7	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
8	7	flqcld 10464	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
9	8	peano2zd 9540	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. ZZ )
10		nnoddn2prmb 12751	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) )
11		oddprm 12748	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
12	10, 11	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
13	12	nnzd 9536	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
14	9, 13	fzfigd 10620	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin )
15	14	mptexd 5839	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) e. _V )
16		eqid 2209	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) )
17		eqid 2209	. . . . 5 |- ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) = ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) )
18	16, 17	2lgslem1b 15733	. . . 4 |- ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) }
19		f1oeq1 5536	. . . . 5 |- ( f = ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) -> ( f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } <-> ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
20	19	spcegv 2871	. . . 4 |- ( ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) e. _V -> ( ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } -> E. f f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
21	15, 18, 20	mpisyl 1469	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> E. f f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } )
22		fihasheqf1oi 10976	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin /\ f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
23	22	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin -> ( f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) ) )
24	23	exlimdv 1845	. . 3 |- ( ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin -> ( E. f f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) ) )
25	14, 21, 24	sylc 62	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
26	6	flqcld 10464	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
27	26	adantr 276	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
28		oddm1d2 12369	. . . . . 6 |- ( P e. ZZ -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
29	3, 28	syl 14	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
30	29	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
31		2lgslem1c 15734	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
32		eluz2 9696	. . . 4 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
33	27, 30, 31, 32	syl3anbrc 1186	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
34		hashfzp1 11013	. . 3 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
35	33, 34	syl 14	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
36	2, 25, 35	3eqtr2d 2248	1 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( x = ( i x. 2 ) /\ ( P / 2 ) < ( x mod P ) ) } ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1375   E.wex 1518   e. wcel 2180   E.wrex 2489   {crab 2492   _Vcvv 2779   \ cdif 3174   {csn 3646   class class class wbr 4062   |-> cmpt 4124   -1-1-onto->wf1o 5293   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   Fincfn 6857   1c1 7968   + caddc 7970   x. cmul 7972   < clt 8149   <_ cle 8150   - cmin 8285   / cdiv 8787   NNcn 9078   2c2 9129   4c4 9131   ZZcz 9414   ZZ>=cuz 9690   QQcq 9782   ...cfz 10172   |_cfl 10455   mod cmo 10511  ♯chash 10964   || cdvds 12264   Primecprime 12595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-xor 1398  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-1o 6532  df-2o 6533  df-er 6650  df-en 6858  df-dom 6859  df-fin 6860  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fl 10457  df-mod 10512  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-ihash 10965  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-dvds 12265  df-prm 12596

This theorem is referenced by:  2lgs  15748