Theorem 2lgslem1 15849

Description: Lemma 1 for 2lgs 15862. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1	|- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( x = ( i x. 2 ) /\ ( P / 2 ) < ( x mod P ) ) } ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )

Distinct variable group:   P, i, x

Proof of Theorem 2lgslem1

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem1a 15846	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> { x e. ZZ | E. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( x = ( i x. 2 ) /\ ( P / 2 ) < ( x mod P ) ) } = { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } )
2	1	fveq2d 5646	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( x = ( i x. 2 ) /\ ( P / 2 ) < ( x mod P ) ) } ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
3		prmz 12706	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
4		4nn 9312	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
5		znq 9863	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> ( P / 4 ) e. QQ )
7	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
8	7	flqcld 10543	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
9	8	peano2zd 9610	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. ZZ )
10		nnoddn2prmb 12858	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) )
11		oddprm 12855	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
12	10, 11	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
13	12	nnzd 9606	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
14	9, 13	fzfigd 10699	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin )
15	14	mptexd 5886	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) e. _V )
16		eqid 2230	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) )
17		eqid 2230	. . . . 5 |- ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) = ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) )
18	16, 17	2lgslem1b 15847	. . . 4 |- ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) }
19		f1oeq1 5574	. . . . 5 |- ( f = ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) -> ( f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } <-> ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
20	19	spcegv 2893	. . . 4 |- ( ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) e. _V -> ( ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } -> E. f f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
21	15, 18, 20	mpisyl 1491	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> E. f f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } )
22		fihasheqf1oi 11055	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin /\ f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
23	22	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin -> ( f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) ) )
24	23	exlimdv 1866	. . 3 |- ( ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin -> ( E. f f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) ) )
25	14, 21, 24	sylc 62	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
26	6	flqcld 10543	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
27	26	adantr 276	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
28		oddm1d2 12476	. . . . . 6 |- ( P e. ZZ -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
29	3, 28	syl 14	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
30	29	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
31		2lgslem1c 15848	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
32		eluz2 9766	. . . 4 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
33	27, 30, 31, 32	syl3anbrc 1207	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
34		hashfzp1 11094	. . 3 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
35	33, 34	syl 14	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
36	2, 25, 35	3eqtr2d 2269	1 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( x = ( i x. 2 ) /\ ( P / 2 ) < ( x mod P ) ) } ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2201   E.wrex 2510   {crab 2513   _Vcvv 2801   \ cdif 3196   {csn 3670   class class class wbr 4089   |-> cmpt 4151   -1-1-onto->wf1o 5327   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   Fincfn 6914   1c1 8038   + caddc 8040   x. cmul 8042   < clt 8219   <_ cle 8220   - cmin 8355   / cdiv 8857   NNcn 9148   2c2 9199   4c4 9201   ZZcz 9484   ZZ>=cuz 9760   QQcq 9858   ...cfz 10248   |_cfl 10534   mod cmo 10590  ♯chash 11043   || cdvds 12371   Primecprime 12702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-xor 1420  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-1o 6587  df-2o 6588  df-er 6707  df-en 6915  df-dom 6916  df-fin 6917  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fz 10249  df-fl 10536  df-mod 10591  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-ihash 11044  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-dvds 12372  df-prm 12703

This theorem is referenced by:  2lgs  15862