Theorem 2lgslem1 16093

Description: Lemma 1 for 2lgs 16106. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1	|- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( x = ( i x. 2 ) /\ ( P / 2 ) < ( x mod P ) ) } ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )

Distinct variable group:   P, i, x

Proof of Theorem 2lgslem1

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem1a 16090	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> { x e. ZZ | E. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( x = ( i x. 2 ) /\ ( P / 2 ) < ( x mod P ) ) } = { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } )
2	1	fveq2d 5679	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( x = ( i x. 2 ) /\ ( P / 2 ) < ( x mod P ) ) } ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
3		prmz 12836	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
4		4nn 9421	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
5		znq 9977	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> ( P / 4 ) e. QQ )
7	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
8	7	flqcld 10664	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
9	8	peano2zd 9724	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. ZZ )
10		nnoddn2prmb 12988	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) )
11		oddprm 12985	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
12	10, 11	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
13	12	nnzd 9720	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
14	9, 13	fzfigd 10820	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin )
15	14	mptexd 5918	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) e. _V )
16		eqid 2234	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) )
17		eqid 2234	. . . . 5 |- ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) = ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) )
18	16, 17	2lgslem1b 16091	. . . 4 |- ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) }
19		f1oeq1 5607	. . . . 5 |- ( f = ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) -> ( f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } <-> ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
20	19	spcegv 2907	. . . 4 |- ( ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) e. _V -> ( ( y e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( y x. 2 ) ) : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } -> E. f f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
21	15, 18, 20	mpisyl 1492	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> E. f f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } )
22		fihasheqf1oi 11178	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin /\ f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
23	22	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin -> ( f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) ) )
24	23	exlimdv 1868	. . 3 |- ( ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin -> ( E. f f : ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) ) )
25	14, 21, 24	sylc 62	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) x = ( i x. 2 ) } ) )
26	6	flqcld 10664	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
27	26	adantr 276	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
28		oddm1d2 12606	. . . . . 6 |- ( P e. ZZ -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
29	3, 28	syl 14	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
30	29	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
31		2lgslem1c 16092	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
32		eluz2 9880	. . . 4 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
33	27, 30, 31, 32	syl3anbrc 1208	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
34		hashfzp1 11217	. . 3 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
35	33, 34	syl 14	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
36	2, 25, 35	3eqtr2d 2273	1 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> (♯ ` { x e. ZZ | E. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( x = ( i x. 2 ) /\ ( P / 2 ) < ( x mod P ) ) } ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   E.wrex 2523   {crab 2526   _Vcvv 2815   \ cdif 3211   {csn 3694   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8461   / cdiv 8966   NNcn 9257   2c2 9308   4c4 9310   ZZcz 9597   ZZ>=cuz 9874   QQcq 9972   ...cfz 10364   |_cfl 10655   mod cmo 10711  ♯chash 11166   || cdvds 12501   Primecprime 12832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-q 9973  df-rp 10008  df-fz 10365  df-fl 10657  df-mod 10712  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-ihash 11167  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712  df-dvds 12502  df-prm 12833

This theorem is referenced by:  2lgs  16106