Theorem 4sqlem8 12337

Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem8	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))

Proof of Theorem 4sqlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9333	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		4sqlem5.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4		4sqlem5.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
5	3, 1, 4	4sqlem5 12334	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
6	5	simpld 111	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
7	3, 6	zsubcld 9339	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
8		zsqcl 10546	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
9	3, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
10		zsqcl 10546	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
11	6, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
12	9, 11	zsubcld 9339	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
13	5	simprd 113	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
14	1	nnne0d 8923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
15		dvdsval2 11752	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
16	2, 14, 7, 15	syl3anc 1233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
17	13, 16	mpbird 166	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵))
18	3, 6	zaddcld 9338	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
19		dvdsmul2 11776	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
20	18, 7, 19	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
21	3	zcnd 9335	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
22	6	zcnd 9335	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
23		subsq 10582	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
24	21, 22, 23	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
25	20, 24	breqtrrd 4017	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))
26	2, 7, 12, 17, 25	dvdstrd 11792	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  0cc0 7774   + caddc 7777   · cmul 7779   − cmin 8090   / cdiv 8589  ℕcn 8878  2c2 8929  ℤcz 9212   mod cmo 10278  ↑cexp 10475   ∥ cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  2sqlem8  13753