Theorem 4sqlem8 12793

Description: Lemma for 4sq 12818. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem8	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))

Proof of Theorem 4sqlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9524	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		4sqlem5.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4		4sqlem5.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
5	3, 1, 4	4sqlem5 12790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
6	5	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
7	3, 6	zsubcld 9530	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
8		zsqcl 10787	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
9	3, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
10		zsqcl 10787	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
11	6, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
12	9, 11	zsubcld 9530	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
13	5	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
14	1	nnne0d 9111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
15		dvdsval2 12186	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
16	2, 14, 7, 15	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
17	13, 16	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵))
18	3, 6	zaddcld 9529	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
19		dvdsmul2 12210	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
20	18, 7, 19	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
21	3	zcnd 9526	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
22	6	zcnd 9526	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
23		subsq 10823	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
24	21, 22, 23	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
25	20, 24	breqtrrd 4082	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))
26	2, 7, 12, 17, 25	dvdstrd 12226	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377   class class class wbr 4054  (class class class)co 5962  ℂcc 7953  0cc0 7955   + caddc 7958   · cmul 7960   − cmin 8273   / cdiv 8775  ℕcn 9066  2c2 9117  ℤcz 9402   mod cmo 10499  ↑cexp 10715   ∥ cdvds 12183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-q 9771  df-rp 9806  df-fl 10445  df-mod 10500  df-seqfrec 10625  df-exp 10716  df-dvds 12184

This theorem is referenced by:  4sqlem14  12812  2sqlem8  15685