Theorem 4sqlem8 13038

Description: Lemma for 4sq 13063. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem8	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))

Proof of Theorem 4sqlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9662	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		4sqlem5.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4		4sqlem5.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
5	3, 1, 4	4sqlem5 13035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
6	5	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
7	3, 6	zsubcld 9668	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
8		zsqcl 10935	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
9	3, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
10		zsqcl 10935	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
11	6, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
12	9, 11	zsubcld 9668	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
13	5	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
14	1	nnne0d 9247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
15		dvdsval2 12431	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
16	2, 14, 7, 15	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
17	13, 16	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵))
18	3, 6	zaddcld 9667	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
19		dvdsmul2 12455	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
20	18, 7, 19	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
21	3	zcnd 9664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
22	6	zcnd 9664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
23		subsq 10971	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
24	21, 22, 23	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
25	20, 24	breqtrrd 4121	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))
26	2, 7, 12, 17, 25	dvdstrd 12471	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℂcc 8090  0cc0 8092   + caddc 8095   · cmul 8097   − cmin 8409   / cdiv 8911  ℕcn 9202  2c2 9253  ℤcz 9540   mod cmo 10647  ↑cexp 10863   ∥ cdvds 12428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fl 10593  df-mod 10648  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-dvds 12429

This theorem is referenced by:  4sqlem14  13057  2sqlem8  15942