Theorem 8th4div3 9338

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8100	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 9203	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 8166	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 9196	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 9193	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 9221	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ap0ii 8783	. . . 4 ⊢ 8 # 0
8		3re 9192	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 9212	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	gt0ap0ii 8783	. . . 4 ⊢ 3 # 0
11	1, 3, 4, 5, 7, 10	divmuldivapi 8927	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
12	1, 4	mulcomi 8160	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
13		2cn 9189	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
14	4, 13, 5	mul32i 8301	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
15		4t2e8 9277	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	15	oveq1i 6017	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
17	14, 16	eqtr3i 2252	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
18	4, 5, 13	mulassi 8163	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
19	17, 18	eqtr3i 2252	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
20		3t2e6 9275	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
21	20	oveq2i 6018	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
22	19, 21	eqtri 2250	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
23	12, 22	oveq12i 6019	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
24	11, 23	eqtri 2250	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
25		6re 9199	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	recni 8166	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
27		6pos 9219	. . . 4 ⊢ 0 < 6
28	25, 27	gt0ap0ii 8783	. . 3 ⊢ 6 # 0
29		4re 9195	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
30		4pos 9215	. . . 4 ⊢ 0 < 4
31	29, 30	gt0ap0ii 8783	. . 3 ⊢ 4 # 0
32		divcanap5 8869	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 1358	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
34	26, 28, 4, 31, 33	mp4an 427	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
35	24, 34	eqtri 2250	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  0cc0 8007  1c1 8008   · cmul 8012   # cap 8736   / cdiv 8827  2c2 9169  3c3 9170  4c4 9171  6c6 9173  8c8 9175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183

This theorem is referenced by: (None)