Theorem 8th4div3 9453

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8216	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 9318	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 8282	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 9311	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 9308	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 9336	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ap0ii 8898	. . . 4 ⊢ 8 # 0
8		3re 9307	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 9327	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	gt0ap0ii 8898	. . . 4 ⊢ 3 # 0
11	1, 3, 4, 5, 7, 10	divmuldivapi 9042	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
12	1, 4	mulcomi 8276	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
13		2cn 9304	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
14	4, 13, 5	mul32i 8416	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
15		4t2e8 9392	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	15	oveq1i 6059	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
17	14, 16	eqtr3i 2255	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
18	4, 5, 13	mulassi 8279	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
19	17, 18	eqtr3i 2255	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
20		3t2e6 9390	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
21	20	oveq2i 6060	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
22	19, 21	eqtri 2253	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
23	12, 22	oveq12i 6061	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
24	11, 23	eqtri 2253	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
25		6re 9314	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	recni 8282	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
27		6pos 9334	. . . 4 ⊢ 0 < 6
28	25, 27	gt0ap0ii 8898	. . 3 ⊢ 6 # 0
29		4re 9310	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
30		4pos 9330	. . . 4 ⊢ 0 < 4
31	29, 30	gt0ap0ii 8898	. . 3 ⊢ 4 # 0
32		divcanap5 8984	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 1361	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
34	26, 28, 4, 31, 33	mp4an 427	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
35	24, 34	eqtri 2253	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  ℂcc 8121  0cc0 8123  1c1 8124   · cmul 8128   # cap 8851   / cdiv 8942  2c2 9284  3c3 9285  4c4 9286  6c6 9288  8c8 9290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298

This theorem is referenced by: (None)