Theorem 8th4div3 9356

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8118	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 9221	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 8184	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 9214	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 9211	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 9239	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ap0ii 8801	. . . 4 ⊢ 8 # 0
8		3re 9210	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 9230	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	gt0ap0ii 8801	. . . 4 ⊢ 3 # 0
11	1, 3, 4, 5, 7, 10	divmuldivapi 8945	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
12	1, 4	mulcomi 8178	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
13		2cn 9207	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
14	4, 13, 5	mul32i 8319	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
15		4t2e8 9295	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	15	oveq1i 6023	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
17	14, 16	eqtr3i 2252	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
18	4, 5, 13	mulassi 8181	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
19	17, 18	eqtr3i 2252	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
20		3t2e6 9293	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
21	20	oveq2i 6024	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
22	19, 21	eqtri 2250	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
23	12, 22	oveq12i 6025	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
24	11, 23	eqtri 2250	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
25		6re 9217	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	recni 8184	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
27		6pos 9237	. . . 4 ⊢ 0 < 6
28	25, 27	gt0ap0ii 8801	. . 3 ⊢ 6 # 0
29		4re 9213	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
30		4pos 9233	. . . 4 ⊢ 0 < 4
31	29, 30	gt0ap0ii 8801	. . 3 ⊢ 4 # 0
32		divcanap5 8887	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 1358	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
34	26, 28, 4, 31, 33	mp4an 427	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
35	24, 34	eqtri 2250	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  0cc0 8025  1c1 8026   · cmul 8030   # cap 8754   / cdiv 8845  2c2 9187  3c3 9188  4c4 9189  6c6 9191  8c8 9193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201

This theorem is referenced by: (None)