Theorem 8th4div3 8963

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7737	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 8829	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 7802	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 8822	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 8819	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 8847	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ap0ii 8414	. . . 4 ⊢ 8 # 0
8		3re 8818	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 8838	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	gt0ap0ii 8414	. . . 4 ⊢ 3 # 0
11	1, 3, 4, 5, 7, 10	divmuldivapi 8556	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
12	1, 4	mulcomi 7796	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
13		2cn 8815	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
14	4, 13, 5	mul32i 7933	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
15		4t2e8 8902	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	15	oveq1i 5792	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
17	14, 16	eqtr3i 2163	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
18	4, 5, 13	mulassi 7799	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
19	17, 18	eqtr3i 2163	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
20		3t2e6 8900	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
21	20	oveq2i 5793	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
22	19, 21	eqtri 2161	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
23	12, 22	oveq12i 5794	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
24	11, 23	eqtri 2161	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
25		6re 8825	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	recni 7802	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
27		6pos 8845	. . . 4 ⊢ 0 < 6
28	25, 27	gt0ap0ii 8414	. . 3 ⊢ 6 # 0
29		4re 8821	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
30		4pos 8841	. . . 4 ⊢ 0 < 4
31	29, 30	gt0ap0ii 8414	. . 3 ⊢ 4 # 0
32		divcanap5 8498	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 1303	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
34	26, 28, 4, 31, 33	mp4an 424	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
35	24, 34	eqtri 2161	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  0cc0 7644  1c1 7645   · cmul 7649   # cap 8367   / cdiv 8456  2c2 8795  3c3 8796  4c4 8797  6c6 8799  8c8 8801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-7 8808  df-8 8809

This theorem is referenced by: (None)