Theorem 8th4div3 9204

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7967	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 9069	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 8033	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 9062	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 9059	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 9087	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ap0ii 8649	. . . 4 ⊢ 8 # 0
8		3re 9058	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 9078	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	gt0ap0ii 8649	. . . 4 ⊢ 3 # 0
11	1, 3, 4, 5, 7, 10	divmuldivapi 8793	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
12	1, 4	mulcomi 8027	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
13		2cn 9055	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
14	4, 13, 5	mul32i 8168	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
15		4t2e8 9143	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	15	oveq1i 5929	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
17	14, 16	eqtr3i 2216	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
18	4, 5, 13	mulassi 8030	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
19	17, 18	eqtr3i 2216	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
20		3t2e6 9141	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
21	20	oveq2i 5930	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
22	19, 21	eqtri 2214	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
23	12, 22	oveq12i 5931	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
24	11, 23	eqtri 2214	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
25		6re 9065	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	recni 8033	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
27		6pos 9085	. . . 4 ⊢ 0 < 6
28	25, 27	gt0ap0ii 8649	. . 3 ⊢ 6 # 0
29		4re 9061	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
30		4pos 9081	. . . 4 ⊢ 0 < 4
31	29, 30	gt0ap0ii 8649	. . 3 ⊢ 4 # 0
32		divcanap5 8735	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 1335	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
34	26, 28, 4, 31, 33	mp4an 427	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
35	24, 34	eqtri 2214	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  0cc0 7874  1c1 7875   · cmul 7879   # cap 8602   / cdiv 8693  2c2 9035  3c3 9036  4c4 9037  6c6 9039  8c8 9041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049

This theorem is referenced by: (None)