Theorem 8th4div3 9368

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8130	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 9233	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 8196	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 9226	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 9223	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 9251	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ap0ii 8813	. . . 4 ⊢ 8 # 0
8		3re 9222	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 9242	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	gt0ap0ii 8813	. . . 4 ⊢ 3 # 0
11	1, 3, 4, 5, 7, 10	divmuldivapi 8957	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
12	1, 4	mulcomi 8190	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
13		2cn 9219	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
14	4, 13, 5	mul32i 8331	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
15		4t2e8 9307	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	15	oveq1i 6033	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
17	14, 16	eqtr3i 2253	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
18	4, 5, 13	mulassi 8193	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
19	17, 18	eqtr3i 2253	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
20		3t2e6 9305	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
21	20	oveq2i 6034	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
22	19, 21	eqtri 2251	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
23	12, 22	oveq12i 6035	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
24	11, 23	eqtri 2251	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
25		6re 9229	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	recni 8196	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
27		6pos 9249	. . . 4 ⊢ 0 < 6
28	25, 27	gt0ap0ii 8813	. . 3 ⊢ 6 # 0
29		4re 9225	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
30		4pos 9245	. . . 4 ⊢ 0 < 4
31	29, 30	gt0ap0ii 8813	. . 3 ⊢ 4 # 0
32		divcanap5 8899	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 1360	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
34	26, 28, 4, 31, 33	mp4an 427	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
35	24, 34	eqtri 2251	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  0cc0 8037  1c1 8038   · cmul 8042   # cap 8766   / cdiv 8857  2c2 9199  3c3 9200  4c4 9201  6c6 9203  8c8 9205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213

This theorem is referenced by: (None)