Theorem 8th4div3 9141

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7907	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 9007	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 7972	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 9000	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 8997	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 9025	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ap0ii 8588	. . . 4 ⊢ 8 # 0
8		3re 8996	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 9016	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	gt0ap0ii 8588	. . . 4 ⊢ 3 # 0
11	1, 3, 4, 5, 7, 10	divmuldivapi 8732	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
12	1, 4	mulcomi 7966	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
13		2cn 8993	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
14	4, 13, 5	mul32i 8107	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
15		4t2e8 9080	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	15	oveq1i 5888	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
17	14, 16	eqtr3i 2200	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
18	4, 5, 13	mulassi 7969	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
19	17, 18	eqtr3i 2200	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
20		3t2e6 9078	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
21	20	oveq2i 5889	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
22	19, 21	eqtri 2198	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
23	12, 22	oveq12i 5890	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
24	11, 23	eqtri 2198	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
25		6re 9003	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	recni 7972	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
27		6pos 9023	. . . 4 ⊢ 0 < 6
28	25, 27	gt0ap0ii 8588	. . 3 ⊢ 6 # 0
29		4re 8999	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
30		4pos 9019	. . . 4 ⊢ 0 < 4
31	29, 30	gt0ap0ii 8588	. . 3 ⊢ 4 # 0
32		divcanap5 8674	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 1324	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
34	26, 28, 4, 31, 33	mp4an 427	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
35	24, 34	eqtri 2198	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  ℂcc 7812  0cc0 7814  1c1 7815   · cmul 7819   # cap 8541   / cdiv 8632  2c2 8973  3c3 8974  4c4 8975  6c6 8977  8c8 8979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987

This theorem is referenced by: (None)