ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  8th4div3 GIF version

Theorem 8th4div3 8932
Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
8th4div3 ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 7706 . . . 4 1 ∈ ℂ
2 8re 8798 . . . . 5 8 ∈ ℝ
32recni 7771 . . . 4 8 ∈ ℂ
4 4cn 8791 . . . 4 4 ∈ ℂ
5 3cn 8788 . . . 4 3 ∈ ℂ
6 8pos 8816 . . . . 5 0 < 8
72, 6gt0ap0ii 8383 . . . 4 8 # 0
8 3re 8787 . . . . 5 3 ∈ ℝ
9 3pos 8807 . . . . 5 0 < 3
108, 9gt0ap0ii 8383 . . . 4 3 # 0
111, 3, 4, 5, 7, 10divmuldivapi 8525 . . 3 ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
121, 4mulcomi 7765 . . . 4 (1 · 4) = (4 · 1)
13 2cn 8784 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
144, 13, 5mul32i 7902 . . . . . . 7 ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
15 4t2e8 8871 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
1615oveq1i 5777 . . . . . . 7 ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
1714, 16eqtr3i 2160 . . . . . 6 ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
184, 5, 13mulassi 7768 . . . . . 6 ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
1917, 18eqtr3i 2160 . . . . 5 (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
20 3t2e6 8869 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
2120oveq2i 5778 . . . . 5 (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
2219, 21eqtri 2158 . . . 4 (8 · 3) = (4 · 6)
2312, 22oveq12i 5779 . . 3 ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
2411, 23eqtri 2158 . 2 ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
25 6re 8794 . . . 4 6 ∈ ℝ
2625recni 7771 . . 3 6 ∈ ℂ
27 6pos 8814 . . . 4 0 < 6
2825, 27gt0ap0ii 8383 . . 3 6 # 0
29 4re 8790 . . . 4 4 ∈ ℝ
30 4pos 8810 . . . 4 0 < 4
3129, 30gt0ap0ii 8383 . . 3 4 # 0
32 divcanap5 8467 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
331, 32mp3an1 1302 . . 3 (((6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
3426, 28, 4, 31, 33mp4an 423 . 2 ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
3524, 34eqtri 2158 1 ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  cc 7611  0cc0 7613  1c1 7614   · cmul 7618   # cap 8336   / cdiv 8425  2c2 8764  3c3 8765  4c4 8766  6c6 8768  8c8 8770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-5 8775  df-6 8776  df-7 8777  df-8 8778
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator