Theorem 8th4div3 9072

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7842	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 8938	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 7907	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 8931	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 8928	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 8956	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ap0ii 8522	. . . 4 ⊢ 8 # 0
8		3re 8927	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 8947	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	gt0ap0ii 8522	. . . 4 ⊢ 3 # 0
11	1, 3, 4, 5, 7, 10	divmuldivapi 8664	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
12	1, 4	mulcomi 7901	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
13		2cn 8924	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
14	4, 13, 5	mul32i 8041	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
15		4t2e8 9011	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	15	oveq1i 5851	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
17	14, 16	eqtr3i 2188	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
18	4, 5, 13	mulassi 7904	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
19	17, 18	eqtr3i 2188	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
20		3t2e6 9009	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
21	20	oveq2i 5852	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
22	19, 21	eqtri 2186	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
23	12, 22	oveq12i 5853	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
24	11, 23	eqtri 2186	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
25		6re 8934	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	recni 7907	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
27		6pos 8954	. . . 4 ⊢ 0 < 6
28	25, 27	gt0ap0ii 8522	. . 3 ⊢ 6 # 0
29		4re 8930	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
30		4pos 8950	. . . 4 ⊢ 0 < 4
31	29, 30	gt0ap0ii 8522	. . 3 ⊢ 4 # 0
32		divcanap5 8606	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 1314	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
34	26, 28, 4, 31, 33	mp4an 424	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
35	24, 34	eqtri 2186	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841  ℂcc 7747  0cc0 7749  1c1 7750   · cmul 7754   # cap 8475   / cdiv 8564  2c2 8904  3c3 8905  4c4 8906  6c6 8908  8c8 8910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-5 8915  df-6 8916  df-7 8917  df-8 8918

This theorem is referenced by: (None)