Theorem 8th4div3 9084

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7854	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 8950	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 7919	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 8943	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 8940	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 8968	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ap0ii 8534	. . . 4 ⊢ 8 # 0
8		3re 8939	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 8959	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	gt0ap0ii 8534	. . . 4 ⊢ 3 # 0
11	1, 3, 4, 5, 7, 10	divmuldivapi 8676	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
12	1, 4	mulcomi 7913	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
13		2cn 8936	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
14	4, 13, 5	mul32i 8053	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
15		4t2e8 9023	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	15	oveq1i 5860	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
17	14, 16	eqtr3i 2193	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
18	4, 5, 13	mulassi 7916	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
19	17, 18	eqtr3i 2193	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
20		3t2e6 9021	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
21	20	oveq2i 5861	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
22	19, 21	eqtri 2191	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
23	12, 22	oveq12i 5862	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
24	11, 23	eqtri 2191	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
25		6re 8946	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	recni 7919	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
27		6pos 8966	. . . 4 ⊢ 0 < 6
28	25, 27	gt0ap0ii 8534	. . 3 ⊢ 6 # 0
29		4re 8942	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
30		4pos 8962	. . . 4 ⊢ 0 < 4
31	29, 30	gt0ap0ii 8534	. . 3 ⊢ 4 # 0
32		divcanap5 8618	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 1319	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
34	26, 28, 4, 31, 33	mp4an 425	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
35	24, 34	eqtri 2191	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850  ℂcc 7759  0cc0 7761  1c1 7762   · cmul 7766   # cap 8487   / cdiv 8576  2c2 8916  3c3 8917  4c4 8918  6c6 8920  8c8 8922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-5 8927  df-6 8928  df-7 8929  df-8 8930

This theorem is referenced by: (None)