Theorem 8th4div3 9526

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8272	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 9390	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 8338	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 9383	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 9380	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 9408	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ap0ii 8957	. . . 4 ⊢ 8 # 0
8		3re 9379	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 9399	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	gt0ap0ii 8957	. . . 4 ⊢ 3 # 0
11	1, 3, 4, 5, 7, 10	divmuldivapi 9103	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
12	1, 4	mulcomi 8332	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
13		2cn 9376	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
14	4, 13, 5	mul32i 8473	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
15		4t2e8 9465	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	15	oveq1i 6095	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
17	14, 16	eqtr3i 2261	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
18	4, 5, 13	mulassi 8335	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
19	17, 18	eqtr3i 2261	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
20		3t2e6 9462	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
21	20	oveq2i 6096	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
22	19, 21	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
23	12, 22	oveq12i 6097	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
24	11, 23	eqtri 2259	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
25		6re 9386	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	recni 8338	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
27		6pos 9406	. . . 4 ⊢ 0 < 6
28	25, 27	gt0ap0ii 8957	. . 3 ⊢ 6 # 0
29		4re 9382	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
30		4pos 9402	. . . 4 ⊢ 0 < 4
31	29, 30	gt0ap0ii 8957	. . 3 ⊢ 4 # 0
32		divcanap5 9045	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 1365	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
34	26, 28, 4, 31, 33	mp4an 431	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
35	24, 34	eqtri 2259	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   · cmul 8184   # cap 8910   / cdiv 9003  2c2 9356  3c3 9357  4c4 9358  6c6 9360  8c8 9362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370

This theorem is used by: (None)