Theorem 8th4div3 9173

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7939	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 9039	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 8004	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 9032	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 9029	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 9057	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ap0ii 8620	. . . 4 ⊢ 8 # 0
8		3re 9028	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 9048	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	gt0ap0ii 8620	. . . 4 ⊢ 3 # 0
11	1, 3, 4, 5, 7, 10	divmuldivapi 8764	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
12	1, 4	mulcomi 7998	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
13		2cn 9025	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
14	4, 13, 5	mul32i 8139	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
15		4t2e8 9112	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	15	oveq1i 5910	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
17	14, 16	eqtr3i 2212	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
18	4, 5, 13	mulassi 8001	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
19	17, 18	eqtr3i 2212	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
20		3t2e6 9110	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
21	20	oveq2i 5911	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
22	19, 21	eqtri 2210	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
23	12, 22	oveq12i 5912	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
24	11, 23	eqtri 2210	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
25		6re 9035	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	recni 8004	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
27		6pos 9055	. . . 4 ⊢ 0 < 6
28	25, 27	gt0ap0ii 8620	. . 3 ⊢ 6 # 0
29		4re 9031	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
30		4pos 9051	. . . 4 ⊢ 0 < 4
31	29, 30	gt0ap0ii 8620	. . 3 ⊢ 4 # 0
32		divcanap5 8706	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 1335	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
34	26, 28, 4, 31, 33	mp4an 427	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
35	24, 34	eqtri 2210	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900  ℂcc 7844  0cc0 7846  1c1 7847   · cmul 7851   # cap 8573   / cdiv 8664  2c2 9005  3c3 9006  4c4 9007  6c6 9009  8c8 9011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-7 9018  df-8 9019

This theorem is referenced by: (None)