Theorem 8th4div3 9263

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8025	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 9128	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 8091	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 9121	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 9118	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 9146	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ap0ii 8708	. . . 4 ⊢ 8 # 0
8		3re 9117	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 9137	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	gt0ap0ii 8708	. . . 4 ⊢ 3 # 0
11	1, 3, 4, 5, 7, 10	divmuldivapi 8852	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
12	1, 4	mulcomi 8085	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
13		2cn 9114	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
14	4, 13, 5	mul32i 8226	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
15		4t2e8 9202	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	15	oveq1i 5961	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
17	14, 16	eqtr3i 2229	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
18	4, 5, 13	mulassi 8088	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
19	17, 18	eqtr3i 2229	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
20		3t2e6 9200	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
21	20	oveq2i 5962	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
22	19, 21	eqtri 2227	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
23	12, 22	oveq12i 5963	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
24	11, 23	eqtri 2227	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
25		6re 9124	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	recni 8091	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
27		6pos 9144	. . . 4 ⊢ 0 < 6
28	25, 27	gt0ap0ii 8708	. . 3 ⊢ 6 # 0
29		4re 9120	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
30		4pos 9140	. . . 4 ⊢ 0 < 4
31	29, 30	gt0ap0ii 8708	. . 3 ⊢ 4 # 0
32		divcanap5 8794	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 1337	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
34	26, 28, 4, 31, 33	mp4an 427	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
35	24, 34	eqtri 2227	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  0cc0 7932  1c1 7933   · cmul 7937   # cap 8661   / cdiv 8752  2c2 9094  3c3 9095  4c4 9096  6c6 9098  8c8 9100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-br 4048  df-opab 4110  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108

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