Theorem 8th4div3 9462

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8225	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 9327	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 8291	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 9320	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 9317	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 9345	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ap0ii 8907	. . . 4 ⊢ 8 # 0
8		3re 9316	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 9336	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	gt0ap0ii 8907	. . . 4 ⊢ 3 # 0
11	1, 3, 4, 5, 7, 10	divmuldivapi 9051	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
12	1, 4	mulcomi 8285	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
13		2cn 9313	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
14	4, 13, 5	mul32i 8425	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
15		4t2e8 9401	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	15	oveq1i 6062	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
17	14, 16	eqtr3i 2257	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
18	4, 5, 13	mulassi 8288	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
19	17, 18	eqtr3i 2257	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
20		3t2e6 9399	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
21	20	oveq2i 6063	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
22	19, 21	eqtri 2255	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
23	12, 22	oveq12i 6064	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
24	11, 23	eqtri 2255	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
25		6re 9323	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	recni 8291	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
27		6pos 9343	. . . 4 ⊢ 0 < 6
28	25, 27	gt0ap0ii 8907	. . 3 ⊢ 6 # 0
29		4re 9319	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
30		4pos 9339	. . . 4 ⊢ 0 < 4
31	29, 30	gt0ap0ii 8907	. . 3 ⊢ 4 # 0
32		divcanap5 8993	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 1361	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
34	26, 28, 4, 31, 33	mp4an 427	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
35	24, 34	eqtri 2255	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  0cc0 8132  1c1 8133   · cmul 8137   # cap 8860   / cdiv 8951  2c2 9293  3c3 9294  4c4 9295  6c6 9297  8c8 9299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307

This theorem is referenced by: (None)