Theorem 8th4div3 9363

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8125	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 9228	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 8191	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 9221	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 9218	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 9246	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ap0ii 8808	. . . 4 ⊢ 8 # 0
8		3re 9217	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 9237	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	gt0ap0ii 8808	. . . 4 ⊢ 3 # 0
11	1, 3, 4, 5, 7, 10	divmuldivapi 8952	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
12	1, 4	mulcomi 8185	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
13		2cn 9214	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
14	4, 13, 5	mul32i 8326	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
15		4t2e8 9302	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	15	oveq1i 6028	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
17	14, 16	eqtr3i 2254	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
18	4, 5, 13	mulassi 8188	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
19	17, 18	eqtr3i 2254	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
20		3t2e6 9300	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
21	20	oveq2i 6029	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
22	19, 21	eqtri 2252	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
23	12, 22	oveq12i 6030	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
24	11, 23	eqtri 2252	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
25		6re 9224	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	recni 8191	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
27		6pos 9244	. . . 4 ⊢ 0 < 6
28	25, 27	gt0ap0ii 8808	. . 3 ⊢ 6 # 0
29		4re 9220	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
30		4pos 9240	. . . 4 ⊢ 0 < 4
31	29, 30	gt0ap0ii 8808	. . 3 ⊢ 4 # 0
32		divcanap5 8894	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 1360	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
34	26, 28, 4, 31, 33	mp4an 427	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
35	24, 34	eqtri 2252	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  0cc0 8032  1c1 8033   · cmul 8037   # cap 8761   / cdiv 8852  2c2 9194  3c3 9195  4c4 9196  6c6 9198  8c8 9200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208

This theorem is referenced by: (None)