Theorem 8th4div3 9298

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8060	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 9163	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 8126	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 9156	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 9153	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 9181	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ap0ii 8743	. . . 4 ⊢ 8 # 0
8		3re 9152	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 9172	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	gt0ap0ii 8743	. . . 4 ⊢ 3 # 0
11	1, 3, 4, 5, 7, 10	divmuldivapi 8887	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
12	1, 4	mulcomi 8120	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
13		2cn 9149	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
14	4, 13, 5	mul32i 8261	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
15		4t2e8 9237	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	15	oveq1i 5984	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
17	14, 16	eqtr3i 2232	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
18	4, 5, 13	mulassi 8123	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
19	17, 18	eqtr3i 2232	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
20		3t2e6 9235	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
21	20	oveq2i 5985	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
22	19, 21	eqtri 2230	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
23	12, 22	oveq12i 5986	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
24	11, 23	eqtri 2230	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
25		6re 9159	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	recni 8126	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
27		6pos 9179	. . . 4 ⊢ 0 < 6
28	25, 27	gt0ap0ii 8743	. . 3 ⊢ 6 # 0
29		4re 9155	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
30		4pos 9175	. . . 4 ⊢ 0 < 4
31	29, 30	gt0ap0ii 8743	. . 3 ⊢ 4 # 0
32		divcanap5 8829	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 1339	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
34	26, 28, 4, 31, 33	mp4an 427	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
35	24, 34	eqtri 2230	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974  ℂcc 7965  0cc0 7967  1c1 7968   · cmul 7972   # cap 8696   / cdiv 8787  2c2 9129  3c3 9130  4c4 9131  6c6 9133  8c8 9135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143

This theorem is referenced by: (None)