Theorem absext 10557

Description: Strong extensionality for absolute value. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
absext	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> A # B ) )

Proof of Theorem absext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absval2 10551	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) )
2		absval2 10551	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) = ( sqr ` ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
3	1, 2	breqan12d 3866	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) ) )
4		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
5	4	recld 10433	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. RR )
6	5	resqcld 10173	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. RR )
7	4	imcld 10434	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. RR )
8	7	resqcld 10173	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. RR )
9	6, 8	readdcld 7578	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR )
10	5	sqge0d 10174	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( Re ` A ) ^ 2 ) )
11	7	sqge0d 10174	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) )
12	6, 8, 10, 11	addge0d 8060	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )
13		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
14	13	recld 10433	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. RR )
15	14	resqcld 10173	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` B ) ^ 2 ) e. RR )
16	13	imcld 10434	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. RR )
17	16	resqcld 10173	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` B ) ^ 2 ) e. RR )
18	15, 17	readdcld 7578	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) e. RR )
19	14	sqge0d 10174	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( Re ` B ) ^ 2 ) )
20	16	sqge0d 10174	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( Im ` B ) ^ 2 ) )
21	15, 17, 19, 20	addge0d 8060	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) )
22		sqrt11ap 10532	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) /\ ( ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
23	9, 12, 18, 21, 22	syl22anc 1176	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
24	3, 23	bitrd 187	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
25	6	recnd 7577	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC )
26	8	recnd 7577	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC )
27	15	recnd 7577	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` B ) ^ 2 ) e. CC )
28	17	recnd 7577	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` B ) ^ 2 ) e. CC )
29		addext 8148	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC ) /\ ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( Im ` B ) ^ 2 ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
30	25, 26, 27, 28, 29	syl22anc 1176	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
31	24, 30	sylbid 149	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
32	5	recnd 7577	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. CC )
33	32	sqvald 10144	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) = ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) )
34	14	recnd 7577	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. CC )
35	34	sqvald 10144	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` B ) ^ 2 ) = ( ( Re ` B ) x. ( Re ` B ) ) )
36	33, 35	breq12d 3864	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) <-> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) # ( ( Re ` B ) x. ( Re ` B ) ) ) )
37		mulext 8152	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC ) /\ ( ( Re ` B ) e. CC /\ ( Re ` B ) e. CC ) ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) # ( ( Re ` B ) x. ( Re ` B ) ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) ) )
38	32, 32, 34, 34, 37	syl22anc 1176	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) # ( ( Re ` B ) x. ( Re ` B ) ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) ) )
39	36, 38	sylbid 149	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) ) )
40		oridm 710	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) <-> ( Re ` A ) # ( Re ` B ) )
41	39, 40	syl6ib 160	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) -> ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) )
42	7	recnd 7577	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. CC )
43	42	sqvald 10144	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) = ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) )
44	16	recnd 7577	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. CC )
45	44	sqvald 10144	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` B ) ^ 2 ) = ( ( Im ` B ) x. ( Im ` B ) ) )
46	43, 45	breq12d 3864	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) <-> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) # ( ( Im ` B ) x. ( Im ` B ) ) ) )
47		mulext 8152	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) /\ ( ( Im ` B ) e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) ) -> ( ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) # ( ( Im ` B ) x. ( Im ` B ) ) -> ( ( Im ` A ) # ( Im ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
48	42, 42, 44, 44, 47	syl22anc 1176	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) # ( ( Im ` B ) x. ( Im ` B ) ) -> ( ( Im ` A ) # ( Im ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
49	46, 48	sylbid 149	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) -> ( ( Im ` A ) # ( Im ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
50		oridm 710	. . . . . 6 |- ( ( ( Im ` A ) # ( Im ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) <-> ( Im ` A ) # ( Im ` B ) )
51	49, 50	syl6ib 160	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) -> ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) )
52	41, 51	orim12d 736	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
53	31, 52	syld 45	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
54		apreim 8141	. . . 4 |- ( ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( Im ` A ) e. RR ) /\ ( ( Re ` B ) e. RR /\ ( Im ` B ) e. RR ) ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) <-> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
55	5, 7, 14, 16, 54	syl22anc 1176	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) <-> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
56	53, 55	sylibrd 168	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
57	4	replimd 10436	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
58	13	replimd 10436	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
59	57, 58	breq12d 3864	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A # B <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
60	56, 59	sylibrd 168	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> A # B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 665   e. wcel 1439   class class class wbr 3851   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   CCcc 7409   RRcr 7410   0cc0 7411   _ici 7413   + caddc 7414   x. cmul 7416   <_ cle 7584   # cap 8119   2c2 8534   ^cexp 10015   Recre 10335   Imcim 10336   sqrcsqrt 10490   abscabs 10491

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-rp 9196  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493

This theorem is referenced by:  abssubap0  10584  absltap  10964  absgtap  10965