Theorem absext 11210

Description: Strong extensionality for absolute value. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
absext	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> A # B ) )

Proof of Theorem absext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absval2 11204	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) )
2		absval2 11204	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) = ( sqr ` ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
3	1, 2	breqan12d 4046	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) ) )
4		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
5	4	recld 11085	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. RR )
6	5	resqcld 10773	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. RR )
7	4	imcld 11086	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. RR )
8	7	resqcld 10773	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. RR )
9	6, 8	readdcld 8051	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR )
10	5	sqge0d 10774	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( Re ` A ) ^ 2 ) )
11	7	sqge0d 10774	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) )
12	6, 8, 10, 11	addge0d 8543	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )
13		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
14	13	recld 11085	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. RR )
15	14	resqcld 10773	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` B ) ^ 2 ) e. RR )
16	13	imcld 11086	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. RR )
17	16	resqcld 10773	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` B ) ^ 2 ) e. RR )
18	15, 17	readdcld 8051	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) e. RR )
19	14	sqge0d 10774	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( Re ` B ) ^ 2 ) )
20	16	sqge0d 10774	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( Im ` B ) ^ 2 ) )
21	15, 17, 19, 20	addge0d 8543	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) )
22		sqrt11ap 11185	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) /\ ( ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
23	9, 12, 18, 21, 22	syl22anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
24	3, 23	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
25	6	recnd 8050	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC )
26	8	recnd 8050	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC )
27	15	recnd 8050	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` B ) ^ 2 ) e. CC )
28	17	recnd 8050	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` B ) ^ 2 ) e. CC )
29		addext 8631	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC ) /\ ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( Im ` B ) ^ 2 ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
30	25, 26, 27, 28, 29	syl22anc 1250	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
31	24, 30	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
32	5	recnd 8050	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. CC )
33	32	sqvald 10744	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) = ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) )
34	14	recnd 8050	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. CC )
35	34	sqvald 10744	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` B ) ^ 2 ) = ( ( Re ` B ) x. ( Re ` B ) ) )
36	33, 35	breq12d 4043	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) <-> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) # ( ( Re ` B ) x. ( Re ` B ) ) ) )
37		mulext 8635	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC ) /\ ( ( Re ` B ) e. CC /\ ( Re ` B ) e. CC ) ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) # ( ( Re ` B ) x. ( Re ` B ) ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) ) )
38	32, 32, 34, 34, 37	syl22anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) # ( ( Re ` B ) x. ( Re ` B ) ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) ) )
39	36, 38	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) ) )
40		oridm 758	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) <-> ( Re ` A ) # ( Re ` B ) )
41	39, 40	imbitrdi 161	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) -> ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) )
42	7	recnd 8050	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. CC )
43	42	sqvald 10744	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) = ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) )
44	16	recnd 8050	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. CC )
45	44	sqvald 10744	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` B ) ^ 2 ) = ( ( Im ` B ) x. ( Im ` B ) ) )
46	43, 45	breq12d 4043	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) <-> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) # ( ( Im ` B ) x. ( Im ` B ) ) ) )
47		mulext 8635	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) /\ ( ( Im ` B ) e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) ) -> ( ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) # ( ( Im ` B ) x. ( Im ` B ) ) -> ( ( Im ` A ) # ( Im ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
48	42, 42, 44, 44, 47	syl22anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) # ( ( Im ` B ) x. ( Im ` B ) ) -> ( ( Im ` A ) # ( Im ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
49	46, 48	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) -> ( ( Im ` A ) # ( Im ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
50		oridm 758	. . . . . 6 |- ( ( ( Im ` A ) # ( Im ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) <-> ( Im ` A ) # ( Im ` B ) )
51	49, 50	imbitrdi 161	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) -> ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) )
52	41, 51	orim12d 787	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
53	31, 52	syld 45	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
54		apreim 8624	. . . 4 |- ( ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( Im ` A ) e. RR ) /\ ( ( Re ` B ) e. RR /\ ( Im ` B ) e. RR ) ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) <-> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
55	5, 7, 14, 16, 54	syl22anc 1250	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) <-> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
56	53, 55	sylibrd 169	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
57	4	replimd 11088	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
58	13	replimd 11088	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
59	57, 58	breq12d 4043	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A # B <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
60	56, 59	sylibrd 169	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> A # B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   RRcr 7873   0cc0 7874   _ici 7876   + caddc 7877   x. cmul 7879   <_ cle 8057   # cap 8602   2c2 9035   ^cexp 10612   Recre 10987   Imcim 10988   sqrcsqrt 11143   abscabs 11144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146

This theorem is referenced by:  abssubap0  11237  absltap  11655  absgtap  11656  apdifflemr  15607