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Theorem absext 10492
Description: Strong extensionality for absolute value. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
absext  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  ->  A #  B
) )

Proof of Theorem absext
StepHypRef Expression
1 absval2 10486 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) )
2 absval2 10486 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  B )  =  ( sqr `  (
( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) ) )
31, 2breqan12d 3860 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  <->  ( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  (
( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )
4 simpl 107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
54recld 10368 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
65resqcld 10108 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A ) ^ 2 )  e.  RR )
74imcld 10369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
87resqcld 10108 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A ) ^ 2 )  e.  RR )
96, 8readdcld 7515 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) )  e.  RR )
105sqge0d 10109 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( (
Re `  A ) ^ 2 ) )
117sqge0d 10109 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( (
Im `  A ) ^ 2 ) )
126, 8, 10, 11addge0d 7997 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( (
( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
13 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
1413recld 10368 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
1514resqcld 10108 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  e.  RR )
1613imcld 10369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
1716resqcld 10108 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  e.  RR )
1815, 17readdcld 7515 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  B ) ^
2 )  +  ( ( Im `  B
) ^ 2 ) )  e.  RR )
1914sqge0d 10109 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( (
Re `  B ) ^ 2 ) )
2016sqge0d 10109 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( (
Im `  B ) ^ 2 ) )
2115, 17, 19, 20addge0d 7997 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( (
( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) )
22 sqrt11ap 10467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  /\  ( ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ( Re
`  B ) ^
2 )  +  ( ( Im `  B
) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  (
( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) )  <->  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) ) )
239, 12, 18, 21, 22syl22anc 1175 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  (
( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) )  <->  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) ) )
243, 23bitrd 186 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  <->  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) ) )
256recnd 7514 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
268recnd 7514 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
2715recnd 7514 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  e.  CC )
2817recnd 7514 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  e.  CC )
29 addext 8085 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( Im `  A ) ^ 2 )  e.  CC )  /\  ( ( ( Re `  B ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  \/  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) #  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) ) )
3025, 26, 27, 28, 29syl22anc 1175 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  \/  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) #  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) ) )
3124, 30sylbid 148 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  ->  ( (
( Re `  A
) ^ 2 ) #  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  \/  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) #  ( ( Im `  B
) ^ 2 ) ) ) )
325recnd 7514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
3332sqvald 10079 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A ) ^ 2 )  =  ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  A ) ) )
3414recnd 7514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
3534sqvald 10079 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  =  ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  B ) ) )
3633, 35breq12d 3858 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  <->  ( (
Re `  A )  x.  ( Re `  A
) ) #  ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  B ) ) ) )
37 mulext 8089 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Re `  A )  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  CC )  /\  ( ( Re
`  B )  e.  CC  /\  ( Re
`  B )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  A
) ) #  ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  B ) )  -> 
( ( Re `  A ) #  ( Re `  B )  \/  (
Re `  A ) #  ( Re `  B ) ) ) )
3832, 32, 34, 34, 37syl22anc 1175 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  A
) ) #  ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  B ) )  -> 
( ( Re `  A ) #  ( Re `  B )  \/  (
Re `  A ) #  ( Re `  B ) ) ) )
3936, 38sylbid 148 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  -> 
( ( Re `  A ) #  ( Re `  B )  \/  (
Re `  A ) #  ( Re `  B ) ) ) )
40 oridm 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( Re `  A
) #  ( Re `  B )  \/  (
Re `  A ) #  ( Re `  B ) )  <->  ( Re `  A ) #  ( Re `  B ) )
4139, 40syl6ib 159 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  -> 
( Re `  A
) #  ( Re `  B ) ) )
427recnd 7514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
4342sqvald 10079 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A ) ^ 2 )  =  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  A ) ) )
4416recnd 7514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
4544sqvald 10079 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  =  ( ( Im `  B )  x.  ( Im `  B ) ) )
4643, 45breq12d 3858 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  <->  ( (
Im `  A )  x.  ( Im `  A
) ) #  ( ( Im `  B )  x.  ( Im `  B ) ) ) )
47 mulext 8089 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Im `  A )  e.  CC  /\  ( Im `  A
)  e.  CC )  /\  ( ( Im
`  B )  e.  CC  /\  ( Im
`  B )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) #  ( ( Im `  B )  x.  ( Im `  B ) )  -> 
( ( Im `  A ) #  ( Im `  B )  \/  (
Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
4842, 42, 44, 44, 47syl22anc 1175 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) #  ( ( Im `  B )  x.  ( Im `  B ) )  -> 
( ( Im `  A ) #  ( Im `  B )  \/  (
Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
4946, 48sylbid 148 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  -> 
( ( Im `  A ) #  ( Im `  B )  \/  (
Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
50 oridm 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( Im `  A
) #  ( Im `  B )  \/  (
Im `  A ) #  ( Im `  B ) )  <->  ( Im `  A ) #  ( Im `  B ) )
5149, 50syl6ib 159 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  -> 
( Im `  A
) #  ( Im `  B ) ) )
5241, 51orim12d 735 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 ) #  ( ( Re `  B
) ^ 2 )  \/  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( ( Re
`  A ) #  ( Re `  B )  \/  ( Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
5331, 52syld 44 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  ->  ( (
Re `  A ) #  ( Re `  B )  \/  ( Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
54 apreim 8078 . . . 4  |-  ( ( ( ( Re `  A )  e.  RR  /\  ( Im `  A
)  e.  RR )  /\  ( ( Re
`  B )  e.  RR  /\  ( Im
`  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) #  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  <->  ( (
Re `  A ) #  ( Re `  B )  \/  ( Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
555, 7, 14, 16, 54syl22anc 1175 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) #  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  <->  ( (
Re `  A ) #  ( Re `  B )  \/  ( Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
5653, 55sylibrd 167 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  ->  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) #  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
574replimd 10371 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  =  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
5813replimd 10371 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  =  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
5957, 58breq12d 3858 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A #  B  <->  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) #  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
6056, 59sylibrd 167 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  ->  A #  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    e. wcel 1438   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7346   RRcr 7347   0cc0 7348   _ici 7350    + caddc 7351    x. cmul 7353    <_ cle 7521   # cap 8056   2c2 8471   ^cexp 9950   Recre 10270   Imcim 10271   sqrcsqrt 10425   abscabs 10426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-rp 9133  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428
This theorem is referenced by:  abssubap0  10519  absltap  10899  absgtap  10900
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