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Theorem absext 10775
Description: Strong extensionality for absolute value. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
absext  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  ->  A #  B
) )

Proof of Theorem absext
StepHypRef Expression
1 absval2 10769 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) )
2 absval2 10769 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  B )  =  ( sqr `  (
( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) ) )
31, 2breqan12d 3913 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  <->  ( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  (
( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )
4 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
54recld 10650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
65resqcld 10390 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A ) ^ 2 )  e.  RR )
74imcld 10651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
87resqcld 10390 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A ) ^ 2 )  e.  RR )
96, 8readdcld 7759 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) )  e.  RR )
105sqge0d 10391 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( (
Re `  A ) ^ 2 ) )
117sqge0d 10391 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( (
Im `  A ) ^ 2 ) )
126, 8, 10, 11addge0d 8247 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( (
( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
13 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
1413recld 10650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
1514resqcld 10390 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  e.  RR )
1613imcld 10651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
1716resqcld 10390 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  e.  RR )
1815, 17readdcld 7759 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  B ) ^
2 )  +  ( ( Im `  B
) ^ 2 ) )  e.  RR )
1914sqge0d 10391 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( (
Re `  B ) ^ 2 ) )
2016sqge0d 10391 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( (
Im `  B ) ^ 2 ) )
2115, 17, 19, 20addge0d 8247 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( (
( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) )
22 sqrt11ap 10750 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  /\  ( ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ( Re
`  B ) ^
2 )  +  ( ( Im `  B
) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  (
( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) )  <->  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) ) )
239, 12, 18, 21, 22syl22anc 1200 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  (
( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) )  <->  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) ) )
243, 23bitrd 187 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  <->  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) ) )
256recnd 7758 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
268recnd 7758 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
2715recnd 7758 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  e.  CC )
2817recnd 7758 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  e.  CC )
29 addext 8335 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( Im `  A ) ^ 2 )  e.  CC )  /\  ( ( ( Re `  B ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  \/  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) #  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) ) )
3025, 26, 27, 28, 29syl22anc 1200 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  \/  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) #  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) ) )
3124, 30sylbid 149 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  ->  ( (
( Re `  A
) ^ 2 ) #  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  \/  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) #  ( ( Im `  B
) ^ 2 ) ) ) )
325recnd 7758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
3332sqvald 10361 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A ) ^ 2 )  =  ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  A ) ) )
3414recnd 7758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
3534sqvald 10361 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  =  ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  B ) ) )
3633, 35breq12d 3910 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  <->  ( (
Re `  A )  x.  ( Re `  A
) ) #  ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  B ) ) ) )
37 mulext 8339 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Re `  A )  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  CC )  /\  ( ( Re
`  B )  e.  CC  /\  ( Re
`  B )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  A
) ) #  ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  B ) )  -> 
( ( Re `  A ) #  ( Re `  B )  \/  (
Re `  A ) #  ( Re `  B ) ) ) )
3832, 32, 34, 34, 37syl22anc 1200 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  A
) ) #  ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  B ) )  -> 
( ( Re `  A ) #  ( Re `  B )  \/  (
Re `  A ) #  ( Re `  B ) ) ) )
3936, 38sylbid 149 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  -> 
( ( Re `  A ) #  ( Re `  B )  \/  (
Re `  A ) #  ( Re `  B ) ) ) )
40 oridm 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( Re `  A
) #  ( Re `  B )  \/  (
Re `  A ) #  ( Re `  B ) )  <->  ( Re `  A ) #  ( Re `  B ) )
4139, 40syl6ib 160 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  -> 
( Re `  A
) #  ( Re `  B ) ) )
427recnd 7758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
4342sqvald 10361 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A ) ^ 2 )  =  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  A ) ) )
4416recnd 7758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
4544sqvald 10361 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  =  ( ( Im `  B )  x.  ( Im `  B ) ) )
4643, 45breq12d 3910 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  <->  ( (
Im `  A )  x.  ( Im `  A
) ) #  ( ( Im `  B )  x.  ( Im `  B ) ) ) )
47 mulext 8339 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Im `  A )  e.  CC  /\  ( Im `  A
)  e.  CC )  /\  ( ( Im
`  B )  e.  CC  /\  ( Im
`  B )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) #  ( ( Im `  B )  x.  ( Im `  B ) )  -> 
( ( Im `  A ) #  ( Im `  B )  \/  (
Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
4842, 42, 44, 44, 47syl22anc 1200 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) #  ( ( Im `  B )  x.  ( Im `  B ) )  -> 
( ( Im `  A ) #  ( Im `  B )  \/  (
Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
4946, 48sylbid 149 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  -> 
( ( Im `  A ) #  ( Im `  B )  \/  (
Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
50 oridm 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( Im `  A
) #  ( Im `  B )  \/  (
Im `  A ) #  ( Im `  B ) )  <->  ( Im `  A ) #  ( Im `  B ) )
5149, 50syl6ib 160 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  -> 
( Im `  A
) #  ( Im `  B ) ) )
5241, 51orim12d 758 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 ) #  ( ( Re `  B
) ^ 2 )  \/  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( ( Re
`  A ) #  ( Re `  B )  \/  ( Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
5331, 52syld 45 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  ->  ( (
Re `  A ) #  ( Re `  B )  \/  ( Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
54 apreim 8328 . . . 4  |-  ( ( ( ( Re `  A )  e.  RR  /\  ( Im `  A
)  e.  RR )  /\  ( ( Re
`  B )  e.  RR  /\  ( Im
`  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) #  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  <->  ( (
Re `  A ) #  ( Re `  B )  \/  ( Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
555, 7, 14, 16, 54syl22anc 1200 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) #  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  <->  ( (
Re `  A ) #  ( Re `  B )  \/  ( Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
5653, 55sylibrd 168 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  ->  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) #  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
574replimd 10653 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  =  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
5813replimd 10653 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  =  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
5957, 58breq12d 3910 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A #  B  <->  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) #  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
6056, 59sylibrd 168 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  ->  A #  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   RRcr 7583   0cc0 7584   _ici 7586    + caddc 7587    x. cmul 7589    <_ cle 7765   # cap 8306   2c2 8728   ^cexp 10232   Recre 10552   Imcim 10553   sqrcsqrt 10708   abscabs 10709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-rp 9391  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711
This theorem is referenced by:  abssubap0  10802  absltap  11218  absgtap  11219
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