Theorem absext 11829

Description: Strong extensionality for absolute value. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
absext	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> A # B ) )

Proof of Theorem absext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absval2 11823	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) )
2		absval2 11823	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) = ( sqr ` ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
3	1, 2	breqan12d 4146	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) ) )
4		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
5	4	recld 11704	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. RR )
6	5	resqcld 11137	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. RR )
7	4	imcld 11705	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. RR )
8	7	resqcld 11137	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. RR )
9	6, 8	readdcld 8355	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR )
10	5	sqge0d 11138	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( Re ` A ) ^ 2 ) )
11	7	sqge0d 11138	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) )
12	6, 8, 10, 11	addge0d 8850	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )
13		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
14	13	recld 11704	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. RR )
15	14	resqcld 11137	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` B ) ^ 2 ) e. RR )
16	13	imcld 11705	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. RR )
17	16	resqcld 11137	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` B ) ^ 2 ) e. RR )
18	15, 17	readdcld 8355	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) e. RR )
19	14	sqge0d 11138	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( Re ` B ) ^ 2 ) )
20	16	sqge0d 11138	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( Im ` B ) ^ 2 ) )
21	15, 17, 19, 20	addge0d 8850	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) )
22		sqrt11ap 11804	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) /\ ( ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
23	9, 12, 18, 21, 22	syl22anc 1279	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
24	3, 23	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
25	6	recnd 8354	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC )
26	8	recnd 8354	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC )
27	15	recnd 8354	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` B ) ^ 2 ) e. CC )
28	17	recnd 8354	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` B ) ^ 2 ) e. CC )
29		addext 8938	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC ) /\ ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( Im ` B ) ^ 2 ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
30	25, 26, 27, 28, 29	syl22anc 1279	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
31	24, 30	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
32	5	recnd 8354	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. CC )
33	32	sqvald 11108	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) = ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) )
34	14	recnd 8354	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. CC )
35	34	sqvald 11108	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` B ) ^ 2 ) = ( ( Re ` B ) x. ( Re ` B ) ) )
36	33, 35	breq12d 4143	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) <-> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) # ( ( Re ` B ) x. ( Re ` B ) ) ) )
37		mulext 8942	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC ) /\ ( ( Re ` B ) e. CC /\ ( Re ` B ) e. CC ) ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) # ( ( Re ` B ) x. ( Re ` B ) ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) ) )
38	32, 32, 34, 34, 37	syl22anc 1279	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) # ( ( Re ` B ) x. ( Re ` B ) ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) ) )
39	36, 38	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) ) )
40		oridm 769	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) <-> ( Re ` A ) # ( Re ` B ) )
41	39, 40	imbitrdi 161	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) -> ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) )
42	7	recnd 8354	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. CC )
43	42	sqvald 11108	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) = ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) )
44	16	recnd 8354	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. CC )
45	44	sqvald 11108	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` B ) ^ 2 ) = ( ( Im ` B ) x. ( Im ` B ) ) )
46	43, 45	breq12d 4143	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) <-> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) # ( ( Im ` B ) x. ( Im ` B ) ) ) )
47		mulext 8942	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) /\ ( ( Im ` B ) e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) ) -> ( ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) # ( ( Im ` B ) x. ( Im ` B ) ) -> ( ( Im ` A ) # ( Im ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
48	42, 42, 44, 44, 47	syl22anc 1279	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) # ( ( Im ` B ) x. ( Im ` B ) ) -> ( ( Im ` A ) # ( Im ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
49	46, 48	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) -> ( ( Im ` A ) # ( Im ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
50		oridm 769	. . . . . 6 |- ( ( ( Im ` A ) # ( Im ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) <-> ( Im ` A ) # ( Im ` B ) )
51	49, 50	imbitrdi 161	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) -> ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) )
52	41, 51	orim12d 798	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
53	31, 52	syld 45	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
54		apreim 8931	. . . 4 |- ( ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( Im ` A ) e. RR ) /\ ( ( Re ` B ) e. RR /\ ( Im ` B ) e. RR ) ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) <-> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
55	5, 7, 14, 16, 54	syl22anc 1279	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) <-> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
56	53, 55	sylibrd 169	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
57	4	replimd 11707	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
58	13	replimd 11707	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
59	57, 58	breq12d 4143	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A # B <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
60	56, 59	sylibrd 169	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> A # B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   _ici 8181   + caddc 8182   x. cmul 8184   <_ cle 8361   # cap 8909   2c2 9355   ^cexp 10975   Recre 11605   Imcim 11606   sqrcsqrt 11762   abscabs 11763

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765

This theorem is used by:  abssubap0  11856  absltap  12276  absgtap  12277  apdifflemr  17096