Theorem absext 11614

Description: Strong extensionality for absolute value. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
absext	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> A # B ) )

Proof of Theorem absext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absval2 11608	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) )
2		absval2 11608	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) = ( sqr ` ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
3	1, 2	breqan12d 4102	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) ) )
4		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
5	4	recld 11489	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. RR )
6	5	resqcld 10951	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. RR )
7	4	imcld 11490	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. RR )
8	7	resqcld 10951	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. RR )
9	6, 8	readdcld 8199	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR )
10	5	sqge0d 10952	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( Re ` A ) ^ 2 ) )
11	7	sqge0d 10952	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) )
12	6, 8, 10, 11	addge0d 8692	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )
13		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
14	13	recld 11489	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. RR )
15	14	resqcld 10951	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` B ) ^ 2 ) e. RR )
16	13	imcld 11490	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. RR )
17	16	resqcld 10951	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` B ) ^ 2 ) e. RR )
18	15, 17	readdcld 8199	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) e. RR )
19	14	sqge0d 10952	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( Re ` B ) ^ 2 ) )
20	16	sqge0d 10952	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( Im ` B ) ^ 2 ) )
21	15, 17, 19, 20	addge0d 8692	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) )
22		sqrt11ap 11589	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) /\ ( ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
23	9, 12, 18, 21, 22	syl22anc 1272	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
24	3, 23	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
25	6	recnd 8198	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC )
26	8	recnd 8198	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC )
27	15	recnd 8198	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` B ) ^ 2 ) e. CC )
28	17	recnd 8198	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` B ) ^ 2 ) e. CC )
29		addext 8780	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC ) /\ ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( Im ` B ) ^ 2 ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
30	25, 26, 27, 28, 29	syl22anc 1272	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( ( ( Re ` B ) ^ 2 ) + ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
31	24, 30	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) ) )
32	5	recnd 8198	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. CC )
33	32	sqvald 10922	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) = ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) )
34	14	recnd 8198	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. CC )
35	34	sqvald 10922	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` B ) ^ 2 ) = ( ( Re ` B ) x. ( Re ` B ) ) )
36	33, 35	breq12d 4099	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) <-> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) # ( ( Re ` B ) x. ( Re ` B ) ) ) )
37		mulext 8784	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC ) /\ ( ( Re ` B ) e. CC /\ ( Re ` B ) e. CC ) ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) # ( ( Re ` B ) x. ( Re ` B ) ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) ) )
38	32, 32, 34, 34, 37	syl22anc 1272	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) # ( ( Re ` B ) x. ( Re ` B ) ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) ) )
39	36, 38	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) ) )
40		oridm 762	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) <-> ( Re ` A ) # ( Re ` B ) )
41	39, 40	imbitrdi 161	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) -> ( Re ` A ) # ( Re ` B ) ) )
42	7	recnd 8198	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. CC )
43	42	sqvald 10922	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) = ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) )
44	16	recnd 8198	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. CC )
45	44	sqvald 10922	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` B ) ^ 2 ) = ( ( Im ` B ) x. ( Im ` B ) ) )
46	43, 45	breq12d 4099	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) <-> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) # ( ( Im ` B ) x. ( Im ` B ) ) ) )
47		mulext 8784	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) /\ ( ( Im ` B ) e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) ) -> ( ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) # ( ( Im ` B ) x. ( Im ` B ) ) -> ( ( Im ` A ) # ( Im ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
48	42, 42, 44, 44, 47	syl22anc 1272	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) # ( ( Im ` B ) x. ( Im ` B ) ) -> ( ( Im ` A ) # ( Im ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
49	46, 48	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) -> ( ( Im ` A ) # ( Im ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
50		oridm 762	. . . . . 6 |- ( ( ( Im ` A ) # ( Im ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) <-> ( Im ` A ) # ( Im ` B ) )
51	49, 50	imbitrdi 161	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) -> ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) )
52	41, 51	orim12d 791	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # ( ( Re ` B ) ^ 2 ) \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # ( ( Im ` B ) ^ 2 ) ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
53	31, 52	syld 45	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
54		apreim 8773	. . . 4 |- ( ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( Im ` A ) e. RR ) /\ ( ( Re ` B ) e. RR /\ ( Im ` B ) e. RR ) ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) <-> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
55	5, 7, 14, 16, 54	syl22anc 1272	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) <-> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
56	53, 55	sylibrd 169	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
57	4	replimd 11492	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
58	13	replimd 11492	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
59	57, 58	breq12d 4099	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A # B <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
60	56, 59	sylibrd 169	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) # ( abs ` B ) -> A # B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   e. wcel 2200   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   RRcr 8021   0cc0 8022   _ici 8024   + caddc 8025   x. cmul 8027   <_ cle 8205   # cap 8751   2c2 9184   ^cexp 10790   Recre 11391   Imcim 11392   sqrcsqrt 11547   abscabs 11548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-rp 9879  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550

This theorem is referenced by:  abssubap0  11641  absltap  12060  absgtap  12061  apdifflemr  16587