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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > absext | Unicode version |
Description: Strong extensionality for absolute value. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.) |
Ref | Expression |
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absext |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | absval2 10551 |
. . . . . . 7
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2 | absval2 10551 |
. . . . . . 7
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3 | 1, 2 | breqan12d 3866 |
. . . . . 6
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4 | simpl 108 |
. . . . . . . . . 10
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5 | 4 | recld 10433 |
. . . . . . . . 9
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6 | 5 | resqcld 10173 |
. . . . . . . 8
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7 | 4 | imcld 10434 |
. . . . . . . . 9
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8 | 7 | resqcld 10173 |
. . . . . . . 8
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9 | 6, 8 | readdcld 7578 |
. . . . . . 7
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10 | 5 | sqge0d 10174 |
. . . . . . . 8
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11 | 7 | sqge0d 10174 |
. . . . . . . 8
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12 | 6, 8, 10, 11 | addge0d 8060 |
. . . . . . 7
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13 | simpr 109 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 13 | recld 10433 |
. . . . . . . . 9
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15 | 14 | resqcld 10173 |
. . . . . . . 8
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16 | 13 | imcld 10434 |
. . . . . . . . 9
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17 | 16 | resqcld 10173 |
. . . . . . . 8
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18 | 15, 17 | readdcld 7578 |
. . . . . . 7
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19 | 14 | sqge0d 10174 |
. . . . . . . 8
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20 | 16 | sqge0d 10174 |
. . . . . . . 8
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21 | 15, 17, 19, 20 | addge0d 8060 |
. . . . . . 7
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22 | sqrt11ap 10532 |
. . . . . . 7
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23 | 9, 12, 18, 21, 22 | syl22anc 1176 |
. . . . . 6
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24 | 3, 23 | bitrd 187 |
. . . . 5
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25 | 6 | recnd 7577 |
. . . . . 6
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26 | 8 | recnd 7577 |
. . . . . 6
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27 | 15 | recnd 7577 |
. . . . . 6
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28 | 17 | recnd 7577 |
. . . . . 6
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29 | addext 8148 |
. . . . . 6
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30 | 25, 26, 27, 28, 29 | syl22anc 1176 |
. . . . 5
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31 | 24, 30 | sylbid 149 |
. . . 4
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32 | 5 | recnd 7577 |
. . . . . . . . 9
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33 | 32 | sqvald 10144 |
. . . . . . . 8
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34 | 14 | recnd 7577 |
. . . . . . . . 9
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35 | 34 | sqvald 10144 |
. . . . . . . 8
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36 | 33, 35 | breq12d 3864 |
. . . . . . 7
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37 | mulext 8152 |
. . . . . . . 8
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38 | 32, 32, 34, 34, 37 | syl22anc 1176 |
. . . . . . 7
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39 | 36, 38 | sylbid 149 |
. . . . . 6
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40 | oridm 710 |
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41 | 39, 40 | syl6ib 160 |
. . . . 5
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42 | 7 | recnd 7577 |
. . . . . . . . 9
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. . . . . . . . 9
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46 | 43, 45 | breq12d 3864 |
. . . . . . 7
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47 | mulext 8152 |
. . . . . . . 8
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48 | 42, 42, 44, 44, 47 | syl22anc 1176 |
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49 | 46, 48 | sylbid 149 |
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50 | oridm 710 |
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51 | 49, 50 | syl6ib 160 |
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52 | 41, 51 | orim12d 736 |
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53 | 31, 52 | syld 45 |
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54 | apreim 8141 |
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55 | 5, 7, 14, 16, 54 | syl22anc 1176 |
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56 | 53, 55 | sylibrd 168 |
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57 | 4 | replimd 10436 |
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58 | 13 | replimd 10436 |
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59 | 57, 58 | breq12d 3864 |
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60 | 56, 59 | sylibrd 168 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-coll 3960 ax-sep 3963 ax-nul 3971 ax-pow 4015 ax-pr 4045 ax-un 4269 ax-setind 4366 ax-iinf 4416 ax-cnex 7497 ax-resscn 7498 ax-1cn 7499 ax-1re 7500 ax-icn 7501 ax-addcl 7502 ax-addrcl 7503 ax-mulcl 7504 ax-mulrcl 7505 ax-addcom 7506 ax-mulcom 7507 ax-addass 7508 ax-mulass 7509 ax-distr 7510 ax-i2m1 7511 ax-0lt1 7512 ax-1rid 7513 ax-0id 7514 ax-rnegex 7515 ax-precex 7516 ax-cnre 7517 ax-pre-ltirr 7518 ax-pre-ltwlin 7519 ax-pre-lttrn 7520 ax-pre-apti 7521 ax-pre-ltadd 7522 ax-pre-mulgt0 7523 ax-pre-mulext 7524 ax-arch 7525 ax-caucvg 7526 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 782 df-3or 926 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-nel 2352 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rmo 2368 df-rab 2369 df-v 2622 df-sbc 2842 df-csb 2935 df-dif 3002 df-un 3004 df-in 3006 df-ss 3013 df-nul 3288 df-if 3398 df-pw 3435 df-sn 3456 df-pr 3457 df-op 3459 df-uni 3660 df-int 3695 df-iun 3738 df-br 3852 df-opab 3906 df-mpt 3907 df-tr 3943 df-id 4129 df-po 4132 df-iso 4133 df-iord 4202 df-on 4204 df-ilim 4205 df-suc 4207 df-iom 4419 df-xp 4458 df-rel 4459 df-cnv 4460 df-co 4461 df-dm 4462 df-rn 4463 df-res 4464 df-ima 4465 df-iota 4993 df-fun 5030 df-fn 5031 df-f 5032 df-f1 5033 df-fo 5034 df-f1o 5035 df-fv 5036 df-riota 5622 df-ov 5669 df-oprab 5670 df-mpt2 5671 df-1st 5925 df-2nd 5926 df-recs 6084 df-frec 6170 df-pnf 7585 df-mnf 7586 df-xr 7587 df-ltxr 7588 df-le 7589 df-sub 7716 df-neg 7717 df-reap 8113 df-ap 8120 df-div 8201 df-inn 8484 df-2 8542 df-3 8543 df-4 8544 df-n0 8735 df-z 8812 df-uz 9081 df-rp 9196 df-iseq 9914 df-seq3 9915 df-exp 10016 df-cj 10337 df-re 10338 df-im 10339 df-rsqrt 10492 df-abs 10493 |
This theorem is referenced by: abssubap0 10584 absltap 10964 absgtap 10965 |
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