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Theorem absext 10803
Description: Strong extensionality for absolute value. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
absext  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  ->  A #  B
) )

Proof of Theorem absext
StepHypRef Expression
1 absval2 10797 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) )
2 absval2 10797 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  B )  =  ( sqr `  (
( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) ) )
31, 2breqan12d 3915 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  <->  ( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  (
( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) ) ) )
4 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
54recld 10678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
65resqcld 10418 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A ) ^ 2 )  e.  RR )
74imcld 10679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
87resqcld 10418 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A ) ^ 2 )  e.  RR )
96, 8readdcld 7763 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) )  e.  RR )
105sqge0d 10419 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( (
Re `  A ) ^ 2 ) )
117sqge0d 10419 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( (
Im `  A ) ^ 2 ) )
126, 8, 10, 11addge0d 8252 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( (
( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )
13 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
1413recld 10678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
1514resqcld 10418 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  e.  RR )
1613imcld 10679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
1716resqcld 10418 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  e.  RR )
1815, 17readdcld 7763 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  B ) ^
2 )  +  ( ( Im `  B
) ^ 2 ) )  e.  RR )
1914sqge0d 10419 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( (
Re `  B ) ^ 2 ) )
2016sqge0d 10419 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( (
Im `  B ) ^ 2 ) )
2115, 17, 19, 20addge0d 8252 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( (
( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) )
22 sqrt11ap 10778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  /\  ( ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ( Re
`  B ) ^
2 )  +  ( ( Im `  B
) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  (
( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) )  <->  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) ) )
239, 12, 18, 21, 22syl22anc 1202 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  (
( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) )  <->  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) ) )
243, 23bitrd 187 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  <->  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) ) )
256recnd 7762 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
268recnd 7762 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
2715recnd 7762 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  e.  CC )
2817recnd 7762 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  e.  CC )
29 addext 8340 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( Im `  A ) ^ 2 )  e.  CC )  /\  ( ( ( Re `  B ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  \/  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) #  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) ) )
3025, 26, 27, 28, 29syl22anc 1202 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  \/  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) #  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) ) )
3124, 30sylbid 149 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  ->  ( (
( Re `  A
) ^ 2 ) #  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  \/  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) #  ( ( Im `  B
) ^ 2 ) ) ) )
325recnd 7762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
3332sqvald 10389 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A ) ^ 2 )  =  ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  A ) ) )
3414recnd 7762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
3534sqvald 10389 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  =  ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  B ) ) )
3633, 35breq12d 3912 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  <->  ( (
Re `  A )  x.  ( Re `  A
) ) #  ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  B ) ) ) )
37 mulext 8344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Re `  A )  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  CC )  /\  ( ( Re
`  B )  e.  CC  /\  ( Re
`  B )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  A
) ) #  ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  B ) )  -> 
( ( Re `  A ) #  ( Re `  B )  \/  (
Re `  A ) #  ( Re `  B ) ) ) )
3832, 32, 34, 34, 37syl22anc 1202 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  A
) ) #  ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  B ) )  -> 
( ( Re `  A ) #  ( Re `  B )  \/  (
Re `  A ) #  ( Re `  B ) ) ) )
3936, 38sylbid 149 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  -> 
( ( Re `  A ) #  ( Re `  B )  \/  (
Re `  A ) #  ( Re `  B ) ) ) )
40 oridm 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( Re `  A
) #  ( Re `  B )  \/  (
Re `  A ) #  ( Re `  B ) )  <->  ( Re `  A ) #  ( Re `  B ) )
4139, 40syl6ib 160 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Re `  B ) ^ 2 )  -> 
( Re `  A
) #  ( Re `  B ) ) )
427recnd 7762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
4342sqvald 10389 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A ) ^ 2 )  =  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  A ) ) )
4416recnd 7762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
4544sqvald 10389 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  =  ( ( Im `  B )  x.  ( Im `  B ) ) )
4643, 45breq12d 3912 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  <->  ( (
Im `  A )  x.  ( Im `  A
) ) #  ( ( Im `  B )  x.  ( Im `  B ) ) ) )
47 mulext 8344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Im `  A )  e.  CC  /\  ( Im `  A
)  e.  CC )  /\  ( ( Im
`  B )  e.  CC  /\  ( Im
`  B )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) #  ( ( Im `  B )  x.  ( Im `  B ) )  -> 
( ( Im `  A ) #  ( Im `  B )  \/  (
Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
4842, 42, 44, 44, 47syl22anc 1202 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  A
) ) #  ( ( Im `  B )  x.  ( Im `  B ) )  -> 
( ( Im `  A ) #  ( Im `  B )  \/  (
Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
4946, 48sylbid 149 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  -> 
( ( Im `  A ) #  ( Im `  B )  \/  (
Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
50 oridm 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( Im `  A
) #  ( Im `  B )  \/  (
Im `  A ) #  ( Im `  B ) )  <->  ( Im `  A ) #  ( Im `  B ) )
5149, 50syl6ib 160 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Im `  B ) ^ 2 )  -> 
( Im `  A
) #  ( Im `  B ) ) )
5241, 51orim12d 760 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 ) #  ( ( Re `  B
) ^ 2 )  \/  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) #  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) )  ->  ( ( Re
`  A ) #  ( Re `  B )  \/  ( Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
5331, 52syld 45 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  ->  ( (
Re `  A ) #  ( Re `  B )  \/  ( Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
54 apreim 8333 . . . 4  |-  ( ( ( ( Re `  A )  e.  RR  /\  ( Im `  A
)  e.  RR )  /\  ( ( Re
`  B )  e.  RR  /\  ( Im
`  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) #  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  <->  ( (
Re `  A ) #  ( Re `  B )  \/  ( Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
555, 7, 14, 16, 54syl22anc 1202 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) #  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  <->  ( (
Re `  A ) #  ( Re `  B )  \/  ( Im `  A ) #  ( Im `  B ) ) ) )
5653, 55sylibrd 168 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  ->  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) #  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
574replimd 10681 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  =  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
5813replimd 10681 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  =  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
5957, 58breq12d 3912 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A #  B  <->  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) #  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
6056, 59sylibrd 168 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) #  ( abs `  B
)  ->  A #  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586   RRcr 7587   0cc0 7588   _ici 7590    + caddc 7591    x. cmul 7593    <_ cle 7769   # cap 8311   2c2 8739   ^cexp 10260   Recre 10580   Imcim 10581   sqrcsqrt 10736   abscabs 10737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739
This theorem is referenced by:  abssubap0  10830  absltap  11246  absgtap  11247
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