ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absext GIF version

Theorem absext 11074
Description: Strong extensionality for absolute value. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
absext ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) # (absโ€˜๐ต) โ†’ ๐ด # ๐ต))

Proof of Theorem absext
StepHypRef Expression
1 absval2 11068 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) = (โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))))
2 absval2 11068 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ต) = (โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2))))
31, 2breqan12d 4021 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) # (absโ€˜๐ต) โ†” (โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))) # (โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2)))))
4 simpl 109 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
54recld 10949 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
65resqcld 10682 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„)
74imcld 10950 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
87resqcld 10682 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„)
96, 8readdcld 7989 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
105sqge0d 10683 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 0 โ‰ค ((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2))
117sqge0d 10683 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 0 โ‰ค ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))
126, 8, 10, 11addge0d 8481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 0 โ‰ค (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)))
13 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1413recld 10949 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1514resqcld 10682 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„)
1613imcld 10950 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1716resqcld 10682 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„)
1815, 17readdcld 7989 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
1914sqge0d 10683 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 0 โ‰ค ((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2))
2016sqge0d 10683 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 0 โ‰ค ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2))
2115, 17, 19, 20addge0d 8481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 0 โ‰ค (((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2)))
22 sqrt11ap 11049 . . . . . . 7 ((((((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))) โˆง ((((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2)))) โ†’ ((โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))) # (โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2))) โ†” (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # (((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2))))
239, 12, 18, 21, 22syl22anc 1239 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))) # (โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2))) โ†” (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # (((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2))))
243, 23bitrd 188 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) # (absโ€˜๐ต) โ†” (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # (((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2))))
256recnd 7988 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
268recnd 7988 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2715recnd 7988 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2817recnd 7988 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
29 addext 8569 . . . . . 6 (((((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โˆง (((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # (((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2)) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # ((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) โˆจ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2))))
3025, 26, 27, 28, 29syl22anc 1239 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # (((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2)) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # ((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) โˆจ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2))))
3124, 30sylbid 150 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) # (absโ€˜๐ต) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # ((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) โˆจ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2))))
325recnd 7988 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
3332sqvald 10653 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) = ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ด)))
3414recnd 7988 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
3534sqvald 10653 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) = ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))
3633, 35breq12d 4018 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # ((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ด)) # ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
37 mulext 8573 . . . . . . . 8 ((((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โˆง ((โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ด)) # ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) # (โ„œโ€˜๐ต) โˆจ (โ„œโ€˜๐ด) # (โ„œโ€˜๐ต))))
3832, 32, 34, 34, 37syl22anc 1239 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ด)) # ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) # (โ„œโ€˜๐ต) โˆจ (โ„œโ€˜๐ด) # (โ„œโ€˜๐ต))))
3936, 38sylbid 150 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # ((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) # (โ„œโ€˜๐ต) โˆจ (โ„œโ€˜๐ด) # (โ„œโ€˜๐ต))))
40 oridm 757 . . . . . 6 (((โ„œโ€˜๐ด) # (โ„œโ€˜๐ต) โˆจ (โ„œโ€˜๐ด) # (โ„œโ€˜๐ต)) โ†” (โ„œโ€˜๐ด) # (โ„œโ€˜๐ต))
4139, 40imbitrdi 161 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # ((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) # (โ„œโ€˜๐ต)))
427recnd 7988 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4342sqvald 10653 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) = ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))
4416recnd 7988 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
4544sqvald 10653 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2) = ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
4643, 45breq12d 4018 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2) โ†” ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) # ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
47 mulext 8573 . . . . . . . 8 ((((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โˆง ((โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) # ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) # (โ„‘โ€˜๐ต) โˆจ (โ„‘โ€˜๐ด) # (โ„‘โ€˜๐ต))))
4842, 42, 44, 44, 47syl22anc 1239 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) # ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) # (โ„‘โ€˜๐ต) โˆจ (โ„‘โ€˜๐ด) # (โ„‘โ€˜๐ต))))
4946, 48sylbid 150 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) # (โ„‘โ€˜๐ต) โˆจ (โ„‘โ€˜๐ด) # (โ„‘โ€˜๐ต))))
50 oridm 757 . . . . . 6 (((โ„‘โ€˜๐ด) # (โ„‘โ€˜๐ต) โˆจ (โ„‘โ€˜๐ด) # (โ„‘โ€˜๐ต)) โ†” (โ„‘โ€˜๐ด) # (โ„‘โ€˜๐ต))
5149, 50imbitrdi 161 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) # (โ„‘โ€˜๐ต)))
5241, 51orim12d 786 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # ((โ„œโ€˜๐ต)โ†‘2) โˆจ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # ((โ„‘โ€˜๐ต)โ†‘2)) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) # (โ„œโ€˜๐ต) โˆจ (โ„‘โ€˜๐ด) # (โ„‘โ€˜๐ต))))
5331, 52syld 45 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) # (absโ€˜๐ต) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) # (โ„œโ€˜๐ต) โˆจ (โ„‘โ€˜๐ด) # (โ„‘โ€˜๐ต))))
54 apreim 8562 . . . 4 ((((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ((โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) # ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) # (โ„œโ€˜๐ต) โˆจ (โ„‘โ€˜๐ด) # (โ„‘โ€˜๐ต))))
555, 7, 14, 16, 54syl22anc 1239 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) # ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) # (โ„œโ€˜๐ต) โˆจ (โ„‘โ€˜๐ด) # (โ„‘โ€˜๐ต))))
5653, 55sylibrd 169 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) # (absโ€˜๐ต) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) # ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
574replimd 10952 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
5813replimd 10952 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต = ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
5957, 58breq12d 4018 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) # ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
6056, 59sylibrd 169 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) # (absโ€˜๐ต) โ†’ ๐ด # ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  โ„cr 7812  0cc0 7813  ici 7815   + caddc 7816   ยท cmul 7818   โ‰ค cle 7995   # cap 8540  2c2 8972  โ†‘cexp 10521  โ„œcre 10851  โ„‘cim 10852  โˆšcsqrt 11007  abscabs 11008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010
This theorem is referenced by:  abssubap0  11101  absltap  11519  absgtap  11520  apdifflemr  14834
  Copyright terms: Public domain W3C validator