Theorem absext 11027

Description: Strong extensionality for absolute value. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
absext	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) → 𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem absext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absval2 11021	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
2		absval2 11021	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) = (√‘(((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))))
3	1, 2	breqan12d 4005	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) ↔ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘(((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)))))
4		simpl 108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	recld 10902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
6	5	resqcld 10635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
7	4	imcld 10903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	resqcld 10635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
9	6, 8	readdcld 7949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ)
10	5	sqge0d 10636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ ((ℜ‘𝐴)↑2))
11	7	sqge0d 10636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ ((ℑ‘𝐴)↑2))
12	6, 8, 10, 11	addge0d 8441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
13		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	recld 10902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
15	14	resqcld 10635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐵)↑2) ∈ ℝ)
16	13	imcld 10903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
17	16	resqcld 10635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐵)↑2) ∈ ℝ)
18	15, 17	readdcld 7949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
19	14	sqge0d 10636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ ((ℜ‘𝐵)↑2))
20	16	sqge0d 10636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ ((ℑ‘𝐵)↑2))
21	15, 17, 19, 20	addge0d 8441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)))
22		sqrt11ap 11002	. . . . . . 7 ⊢ ((((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) ∧ ((((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)))) → ((√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘(((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))))
23	9, 12, 18, 21, 22	syl22anc 1234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘(((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))))
24	3, 23	bitrd 187	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))))
25	6	recnd 7948	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
26	8	recnd 7948	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
27	15	recnd 7948	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐵)↑2) ∈ ℂ)
28	17	recnd 7948	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐵)↑2) ∈ ℂ)
29		addext 8529	. . . . . 6 ⊢ (((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) ∧ (((ℜ‘𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐵)↑2) ∈ ℂ)) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2))))
30	25, 26, 27, 28, 29	syl22anc 1234	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2))))
31	24, 30	sylbid 149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2))))
32	5	recnd 7948	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
33	32	sqvald 10606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)))
34	14	recnd 7948	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
35	34	sqvald 10606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐵)↑2) = ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘𝐵)))
36	33, 35	breq12d 4002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) ↔ ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) # ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘𝐵))))
37		mulext 8533	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ ((ℜ‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) # ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘𝐵)) → ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵))))
38	32, 32, 34, 34, 37	syl22anc 1234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) # ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘𝐵)) → ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵))))
39	36, 38	sylbid 149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) → ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵))))
40		oridm 752	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵)) ↔ (ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵))
41	39, 40	syl6ib 160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) → (ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵)))
42	7	recnd 7948	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
43	42	sqvald 10606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴)↑2) = ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))
44	16	recnd 7948	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
45	44	sqvald 10606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐵)↑2) = ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘𝐵)))
46	43, 45	breq12d 4002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2) ↔ ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)) # ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘𝐵))))
47		mulext 8533	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ ((ℑ‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)) → (((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)) # ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘𝐵)) → ((ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
48	42, 42, 44, 44, 47	syl22anc 1234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)) # ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘𝐵)) → ((ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
49	46, 48	sylbid 149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2) → ((ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
50		oridm 752	. . . . . 6 ⊢ (((ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵)) ↔ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))
51	49, 50	syl6ib 160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2) → (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵)))
52	41, 51	orim12d 781	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2)) → ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
53	31, 52	syld 45	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) → ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
54		apreim 8522	. . . 4 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ ((ℜ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) ↔ ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
55	5, 7, 14, 16, 54	syl22anc 1234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) ↔ ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
56	53, 55	sylibrd 168	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
57	4	replimd 10905	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
58	13	replimd 10905	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
59	57, 58	breq12d 4002	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
60	56, 59	sylibrd 168	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) → 𝐴 # 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  ici 7776   + caddc 7777   · cmul 7779   ≤ cle 7955   # cap 8500  2c2 8929  ↑cexp 10475  ℜcre 10804  ℑcim 10805  √csqrt 10960  abscabs 10961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963

This theorem is referenced by:  abssubap0  11054  absltap  11472  absgtap  11473  apdifflemr  14079