Theorem absext 11228

Description: Strong extensionality for absolute value. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
absext	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) → 𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem absext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absval2 11222	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
2		absval2 11222	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) = (√‘(((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))))
3	1, 2	breqan12d 4049	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) ↔ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘(((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)))))
4		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	recld 11103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
6	5	resqcld 10791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
7	4	imcld 11104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	resqcld 10791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
9	6, 8	readdcld 8056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ)
10	5	sqge0d 10792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ ((ℜ‘𝐴)↑2))
11	7	sqge0d 10792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ ((ℑ‘𝐴)↑2))
12	6, 8, 10, 11	addge0d 8549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
13		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	recld 11103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
15	14	resqcld 10791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐵)↑2) ∈ ℝ)
16	13	imcld 11104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
17	16	resqcld 10791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐵)↑2) ∈ ℝ)
18	15, 17	readdcld 8056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
19	14	sqge0d 10792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ ((ℜ‘𝐵)↑2))
20	16	sqge0d 10792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ ((ℑ‘𝐵)↑2))
21	15, 17, 19, 20	addge0d 8549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)))
22		sqrt11ap 11203	. . . . . . 7 ⊢ ((((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) ∧ ((((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)))) → ((√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘(((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))))
23	9, 12, 18, 21, 22	syl22anc 1250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘(((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))))
24	3, 23	bitrd 188	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))))
25	6	recnd 8055	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
26	8	recnd 8055	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
27	15	recnd 8055	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐵)↑2) ∈ ℂ)
28	17	recnd 8055	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐵)↑2) ∈ ℂ)
29		addext 8637	. . . . . 6 ⊢ (((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) ∧ (((ℜ‘𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐵)↑2) ∈ ℂ)) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2))))
30	25, 26, 27, 28, 29	syl22anc 1250	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2))))
31	24, 30	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2))))
32	5	recnd 8055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
33	32	sqvald 10762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)))
34	14	recnd 8055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
35	34	sqvald 10762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐵)↑2) = ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘𝐵)))
36	33, 35	breq12d 4046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) ↔ ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) # ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘𝐵))))
37		mulext 8641	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ ((ℜ‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) # ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘𝐵)) → ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵))))
38	32, 32, 34, 34, 37	syl22anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) # ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘𝐵)) → ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵))))
39	36, 38	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) → ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵))))
40		oridm 758	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵)) ↔ (ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵))
41	39, 40	imbitrdi 161	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) → (ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵)))
42	7	recnd 8055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
43	42	sqvald 10762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴)↑2) = ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))
44	16	recnd 8055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
45	44	sqvald 10762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐵)↑2) = ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘𝐵)))
46	43, 45	breq12d 4046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2) ↔ ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)) # ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘𝐵))))
47		mulext 8641	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ ((ℑ‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)) → (((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)) # ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘𝐵)) → ((ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
48	42, 42, 44, 44, 47	syl22anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)) # ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘𝐵)) → ((ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
49	46, 48	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2) → ((ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
50		oridm 758	. . . . . 6 ⊢ (((ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵)) ↔ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))
51	49, 50	imbitrdi 161	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2) → (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵)))
52	41, 51	orim12d 787	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2)) → ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
53	31, 52	syld 45	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) → ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
54		apreim 8630	. . . 4 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ ((ℜ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) ↔ ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
55	5, 7, 14, 16, 54	syl22anc 1250	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) ↔ ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
56	53, 55	sylibrd 169	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
57	4	replimd 11106	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
58	13	replimd 11106	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
59	57, 58	breq12d 4046	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
60	56, 59	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) → 𝐴 # 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879  ici 7881   + caddc 7882   · cmul 7884   ≤ cle 8062   # cap 8608  2c2 9041  ↑cexp 10630  ℜcre 11005  ℑcim 11006  √csqrt 11161  abscabs 11162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164

This theorem is referenced by:  abssubap0  11255  absltap  11674  absgtap  11675  apdifflemr  15691