Theorem absext 10835

Description: Strong extensionality for absolute value. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
absext	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) → 𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem absext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absval2 10829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
2		absval2 10829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) = (√‘(((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))))
3	1, 2	breqan12d 3945	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) ↔ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘(((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)))))
4		simpl 108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	recld 10710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
6	5	resqcld 10450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
7	4	imcld 10711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	resqcld 10450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
9	6, 8	readdcld 7795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ)
10	5	sqge0d 10451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ ((ℜ‘𝐴)↑2))
11	7	sqge0d 10451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ ((ℑ‘𝐴)↑2))
12	6, 8, 10, 11	addge0d 8284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
13		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	recld 10710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
15	14	resqcld 10450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐵)↑2) ∈ ℝ)
16	13	imcld 10711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
17	16	resqcld 10450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐵)↑2) ∈ ℝ)
18	15, 17	readdcld 7795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
19	14	sqge0d 10451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ ((ℜ‘𝐵)↑2))
20	16	sqge0d 10451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ ((ℑ‘𝐵)↑2))
21	15, 17, 19, 20	addge0d 8284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)))
22		sqrt11ap 10810	. . . . . . 7 ⊢ ((((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) ∧ ((((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)))) → ((√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘(((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))))
23	9, 12, 18, 21, 22	syl22anc 1217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘(((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))))
24	3, 23	bitrd 187	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))))
25	6	recnd 7794	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
26	8	recnd 7794	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
27	15	recnd 7794	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐵)↑2) ∈ ℂ)
28	17	recnd 7794	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐵)↑2) ∈ ℂ)
29		addext 8372	. . . . . 6 ⊢ (((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) ∧ (((ℜ‘𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐵)↑2) ∈ ℂ)) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2))))
30	25, 26, 27, 28, 29	syl22anc 1217	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2))))
31	24, 30	sylbid 149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2))))
32	5	recnd 7794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
33	32	sqvald 10421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)))
34	14	recnd 7794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
35	34	sqvald 10421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐵)↑2) = ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘𝐵)))
36	33, 35	breq12d 3942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) ↔ ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) # ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘𝐵))))
37		mulext 8376	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ ((ℜ‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) # ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘𝐵)) → ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵))))
38	32, 32, 34, 34, 37	syl22anc 1217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) # ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘𝐵)) → ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵))))
39	36, 38	sylbid 149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) → ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵))))
40		oridm 746	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵)) ↔ (ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵))
41	39, 40	syl6ib 160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) → (ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵)))
42	7	recnd 7794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
43	42	sqvald 10421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴)↑2) = ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))
44	16	recnd 7794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
45	44	sqvald 10421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐵)↑2) = ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘𝐵)))
46	43, 45	breq12d 3942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2) ↔ ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)) # ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘𝐵))))
47		mulext 8376	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ ((ℑ‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)) → (((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)) # ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘𝐵)) → ((ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
48	42, 42, 44, 44, 47	syl22anc 1217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)) # ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘𝐵)) → ((ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
49	46, 48	sylbid 149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2) → ((ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
50		oridm 746	. . . . . 6 ⊢ (((ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵)) ↔ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))
51	49, 50	syl6ib 160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2) → (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵)))
52	41, 51	orim12d 775	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) # ((ℜ‘𝐵)↑2) ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # ((ℑ‘𝐵)↑2)) → ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
53	31, 52	syld 45	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) → ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
54		apreim 8365	. . . 4 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ ((ℜ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) ↔ ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
55	5, 7, 14, 16, 54	syl22anc 1217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) ↔ ((ℜ‘𝐴) # (ℜ‘𝐵) ∨ (ℑ‘𝐴) # (ℑ‘𝐵))))
56	53, 55	sylibrd 168	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
57	4	replimd 10713	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
58	13	replimd 10713	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
59	57, 58	breq12d 3942	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
60	56, 59	sylibrd 168	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘𝐵) → 𝐴 # 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620  ici 7622   + caddc 7623   · cmul 7625   ≤ cle 7801   # cap 8343  2c2 8771  ↑cexp 10292  ℜcre 10612  ℑcim 10613  √csqrt 10768  abscabs 10769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771

This theorem is referenced by:  abssubap0  10862  absltap  11278  absgtap  11279