Theorem axi2m1 7874

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 7916. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	⊢ ((i · i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 7749	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
2		1sr 7750	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
3		mulcnsr 7834	. . . . . 6 ⊢ (((0R ∈ R ∧ 1R ∈ R) ∧ (0R ∈ R ∧ 1R ∈ R)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩)
4	1, 2, 1, 2, 3	mp4an 427	. . . . 5 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩
5		00sr 7768	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
7		1idsr 7767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 1R) = 1R)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1R ·R 1R) = 1R
9	8	oveq2i 5886	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = (-1R ·R 1R)
10		m1r 7751	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1R ∈ R
11		1idsr 7767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 1R) = -1R)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R 1R) = -1R
13	9, 12	eqtri 2198	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = -1R
14	6, 13	oveq12i 5887	. . . . . . 7 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = (0R +R -1R)
15		addcomsrg 7754	. . . . . . . 8 ⊢ ((0R ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (0R +R -1R) = (-1R +R 0R))
16	1, 10, 15	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
17		0idsr 7766	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R +R 0R) = -1R)
18	10, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1R +R 0R) = -1R
19	14, 16, 18	3eqtri 2202	. . . . . 6 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R
20		00sr 7768	. . . . . . . . 9 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 0R) = 0R)
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1R ·R 0R) = 0R
22		1idsr 7767	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 1R) = 0R)
23	1, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 1R) = 0R
24	21, 23	oveq12i 5887	. . . . . . 7 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = (0R +R 0R)
25		0idsr 7766	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
26	1, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
27	24, 26	eqtri 2198	. . . . . 6 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R
28	19, 27	opeq12i 3784	. . . . 5 ⊢ ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R⟩
29	4, 28	eqtri 2198	. . . 4 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨-1R, 0R⟩
30	29	oveq1i 5885	. . 3 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩)
31		addresr 7836	. . . 4 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩)
32	10, 2, 31	mp2an 426	. . 3 ⊢ (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩
33		m1p1sr 7759	. . . 4 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
34	33	opeq1i 3782	. . 3 ⊢ ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
35	30, 32, 34	3eqtri 2202	. 2 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨0R, 0R⟩
36		df-i 7820	. . . 4 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
37	36, 36	oveq12i 5887	. . 3 ⊢ (i · i) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩)
38		df-1 7819	. . 3 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
39	37, 38	oveq12i 5887	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) = ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩)
40		df-0 7818	. 2 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
41	35, 39, 40	3eqtr4i 2208	1 ⊢ ((i · i) + 1) = 0

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ⟨cop 3596  (class class class)co 5875  Rcnr 7296  0_Rc0r 7297  1_Rc1r 7298  -1_Rcm1r 7299   +_R cplr 7300   ·_R cmr 7301  0cc0 7811  1c1 7812  ici 7813   + caddc 7814   · cmul 7816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-lti 7306  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-1nqqs 7350  df-rq 7351  df-ltnqqs 7352  df-enq0 7423  df-nq0 7424  df-0nq0 7425  df-plq0 7426  df-mq0 7427  df-inp 7465  df-i1p 7466  df-iplp 7467  df-imp 7468  df-enr 7725  df-nr 7726  df-plr 7727  df-mr 7728  df-0r 7730  df-1r 7731  df-m1r 7732  df-c 7817  df-0 7818  df-1 7819  df-i 7820  df-add 7822  df-mul 7823

This theorem is referenced by: (None)