Theorem axi2m1 8248

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 8290. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	⊢ ((i · i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 8123	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
2		1sr 8124	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
3		mulcnsr 8208	. . . . . 6 ⊢ (((0R ∈ R ∧ 1R ∈ R) ∧ (0R ∈ R ∧ 1R ∈ R)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩)
4	1, 2, 1, 2, 3	mp4an 431	. . . . 5 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩
5		00sr 8142	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
7		1idsr 8141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 1R) = 1R)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1R ·R 1R) = 1R
9	8	oveq2i 6099	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = (-1R ·R 1R)
10		m1r 8125	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1R ∈ R
11		1idsr 8141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 1R) = -1R)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R 1R) = -1R
13	9, 12	eqtri 2259	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = -1R
14	6, 13	oveq12i 6100	. . . . . . 7 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = (0R +R -1R)
15		addcomsrg 8128	. . . . . . . 8 ⊢ ((0R ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (0R +R -1R) = (-1R +R 0R))
16	1, 10, 15	mp2an 430	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
17		0idsr 8140	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R +R 0R) = -1R)
18	10, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1R +R 0R) = -1R
19	14, 16, 18	3eqtri 2263	. . . . . 6 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R
20		00sr 8142	. . . . . . . . 9 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 0R) = 0R)
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1R ·R 0R) = 0R
22		1idsr 8141	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 1R) = 0R)
23	1, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 1R) = 0R
24	21, 23	oveq12i 6100	. . . . . . 7 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = (0R +R 0R)
25		0idsr 8140	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
26	1, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
27	24, 26	eqtri 2259	. . . . . 6 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R
28	19, 27	opeq12i 3909	. . . . 5 ⊢ ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R⟩
29	4, 28	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨-1R, 0R⟩
30	29	oveq1i 6098	. . 3 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩)
31		addresr 8210	. . . 4 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩)
32	10, 2, 31	mp2an 430	. . 3 ⊢ (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩
33		m1p1sr 8133	. . . 4 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
34	33	opeq1i 3907	. . 3 ⊢ ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
35	30, 32, 34	3eqtri 2263	. 2 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨0R, 0R⟩
36		df-i 8194	. . . 4 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
37	36, 36	oveq12i 6100	. . 3 ⊢ (i · i) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩)
38		df-1 8193	. . 3 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
39	37, 38	oveq12i 6100	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) = ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩)
40		df-0 8192	. 2 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
41	35, 39, 40	3eqtr4i 2269	1 ⊢ ((i · i) + 1) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3712  (class class class)co 6088  Rcnr 7670  0_Rc0r 7671  1_Rc1r 7672  -1_Rcm1r 7673   +_R cplr 7674   ·_R cmr 7675  0cc0 8185  1c1 8186  ici 8187   + caddc 8188   · cmul 8190

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-pli 7678  df-mi 7679  df-lti 7680  df-plpq 7717  df-mpq 7718  df-enq 7720  df-nqqs 7721  df-plqqs 7722  df-mqqs 7723  df-1nqqs 7724  df-rq 7725  df-ltnqqs 7726  df-enq0 7797  df-nq0 7798  df-0nq0 7799  df-plq0 7800  df-mq0 7801  df-inp 7839  df-i1p 7840  df-iplp 7841  df-imp 7842  df-enr 8099  df-nr 8100  df-plr 8101  df-mr 8102  df-0r 8104  df-1r 8105  df-m1r 8106  df-c 8191  df-0 8192  df-1 8193  df-i 8194  df-add 8196  df-mul 8197

This theorem is used by: (None)