ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axi2m1 GIF version

Theorem axi2m1 7695
Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 7737. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axi2m1 ((i · i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1
StepHypRef Expression
1 0r 7570 . . . . . 6 0RR
2 1sr 7571 . . . . . 6 1RR
3 mulcnsr 7655 . . . . . 6 (((0RR ∧ 1RR) ∧ (0RR ∧ 1RR)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩)
41, 2, 1, 2, 3mp4an 423 . . . . 5 (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩
5 00sr 7589 . . . . . . . . 9 (0RR → (0R ·R 0R) = 0R)
61, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0R ·R 0R) = 0R
7 1idsr 7588 . . . . . . . . . . 11 (1RR → (1R ·R 1R) = 1R)
82, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1R ·R 1R) = 1R
98oveq2i 5785 . . . . . . . . 9 (-1R ·R (1R ·R 1R)) = (-1R ·R 1R)
10 m1r 7572 . . . . . . . . . 10 -1RR
11 1idsr 7588 . . . . . . . . . 10 (-1RR → (-1R ·R 1R) = -1R)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (-1R ·R 1R) = -1R
139, 12eqtri 2160 . . . . . . . 8 (-1R ·R (1R ·R 1R)) = -1R
146, 13oveq12i 5786 . . . . . . 7 ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = (0R +R -1R)
15 addcomsrg 7575 . . . . . . . 8 ((0RR ∧ -1RR) → (0R +R -1R) = (-1R +R 0R))
161, 10, 15mp2an 422 . . . . . . 7 (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
17 0idsr 7587 . . . . . . . 8 (-1RR → (-1R +R 0R) = -1R)
1810, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (-1R +R 0R) = -1R
1914, 16, 183eqtri 2164 . . . . . 6 ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R
20 00sr 7589 . . . . . . . . 9 (1RR → (1R ·R 0R) = 0R)
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1R ·R 0R) = 0R
22 1idsr 7588 . . . . . . . . 9 (0RR → (0R ·R 1R) = 0R)
231, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0R ·R 1R) = 0R
2421, 23oveq12i 5786 . . . . . . 7 ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = (0R +R 0R)
25 0idsr 7587 . . . . . . . 8 (0RR → (0R +R 0R) = 0R)
261, 25ax-mp 5 . . . . . . 7 (0R +R 0R) = 0R
2724, 26eqtri 2160 . . . . . 6 ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R
2819, 27opeq12i 3710 . . . . 5 ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R
294, 28eqtri 2160 . . . 4 (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨-1R, 0R
3029oveq1i 5784 . . 3 ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩)
31 addresr 7657 . . . 4 ((-1RR ∧ 1RR) → (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩)
3210, 2, 31mp2an 422 . . 3 (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R
33 m1p1sr 7580 . . . 4 (-1R +R 1R) = 0R
3433opeq1i 3708 . . 3 ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R
3530, 32, 343eqtri 2164 . 2 ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨0R, 0R
36 df-i 7641 . . . 4 i = ⟨0R, 1R
3736, 36oveq12i 5786 . . 3 (i · i) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩)
38 df-1 7640 . . 3 1 = ⟨1R, 0R
3937, 38oveq12i 5786 . 2 ((i · i) + 1) = ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩)
40 df-0 7639 . 2 0 = ⟨0R, 0R
4135, 39, 403eqtr4i 2170 1 ((i · i) + 1) = 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1331  wcel 1480  cop 3530  (class class class)co 5774  Rcnr 7117  0Rc0r 7118  1Rc1r 7119  -1Rcm1r 7120   +R cplr 7121   ·R cmr 7122  0cc0 7632  1c1 7633  ici 7634   + caddc 7635   · cmul 7637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-lti 7127  df-plpq 7164  df-mpq 7165  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169  df-mqqs 7170  df-1nqqs 7171  df-rq 7172  df-ltnqqs 7173  df-enq0 7244  df-nq0 7245  df-0nq0 7246  df-plq0 7247  df-mq0 7248  df-inp 7286  df-i1p 7287  df-iplp 7288  df-imp 7289  df-enr 7546  df-nr 7547  df-plr 7548  df-mr 7549  df-0r 7551  df-1r 7552  df-m1r 7553  df-c 7638  df-0 7639  df-1 7640  df-i 7641  df-add 7643  df-mul 7644
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator