Theorem axi2m1 8078

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 8120. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	⊢ ((i · i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 7953	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
2		1sr 7954	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
3		mulcnsr 8038	. . . . . 6 ⊢ (((0R ∈ R ∧ 1R ∈ R) ∧ (0R ∈ R ∧ 1R ∈ R)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩)
4	1, 2, 1, 2, 3	mp4an 427	. . . . 5 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩
5		00sr 7972	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
7		1idsr 7971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 1R) = 1R)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1R ·R 1R) = 1R
9	8	oveq2i 6021	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = (-1R ·R 1R)
10		m1r 7955	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1R ∈ R
11		1idsr 7971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 1R) = -1R)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R 1R) = -1R
13	9, 12	eqtri 2250	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = -1R
14	6, 13	oveq12i 6022	. . . . . . 7 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = (0R +R -1R)
15		addcomsrg 7958	. . . . . . . 8 ⊢ ((0R ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (0R +R -1R) = (-1R +R 0R))
16	1, 10, 15	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
17		0idsr 7970	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R +R 0R) = -1R)
18	10, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1R +R 0R) = -1R
19	14, 16, 18	3eqtri 2254	. . . . . 6 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R
20		00sr 7972	. . . . . . . . 9 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 0R) = 0R)
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1R ·R 0R) = 0R
22		1idsr 7971	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 1R) = 0R)
23	1, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 1R) = 0R
24	21, 23	oveq12i 6022	. . . . . . 7 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = (0R +R 0R)
25		0idsr 7970	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
26	1, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
27	24, 26	eqtri 2250	. . . . . 6 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R
28	19, 27	opeq12i 3862	. . . . 5 ⊢ ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R⟩
29	4, 28	eqtri 2250	. . . 4 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨-1R, 0R⟩
30	29	oveq1i 6020	. . 3 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩)
31		addresr 8040	. . . 4 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩)
32	10, 2, 31	mp2an 426	. . 3 ⊢ (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩
33		m1p1sr 7963	. . . 4 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
34	33	opeq1i 3860	. . 3 ⊢ ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
35	30, 32, 34	3eqtri 2254	. 2 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨0R, 0R⟩
36		df-i 8024	. . . 4 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
37	36, 36	oveq12i 6022	. . 3 ⊢ (i · i) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩)
38		df-1 8023	. . 3 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
39	37, 38	oveq12i 6022	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) = ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩)
40		df-0 8022	. 2 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
41	35, 39, 40	3eqtr4i 2260	1 ⊢ ((i · i) + 1) = 0

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3669  (class class class)co 6010  Rcnr 7500  0_Rc0r 7501  1_Rc1r 7502  -1_Rcm1r 7503   +_R cplr 7504   ·_R cmr 7505  0cc0 8015  1c1 8016  ici 8017   + caddc 8018   · cmul 8020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4381  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-1o 6573  df-2o 6574  df-oadd 6577  df-omul 6578  df-er 6693  df-ec 6695  df-qs 6699  df-ni 7507  df-pli 7508  df-mi 7509  df-lti 7510  df-plpq 7547  df-mpq 7548  df-enq 7550  df-nqqs 7551  df-plqqs 7552  df-mqqs 7553  df-1nqqs 7554  df-rq 7555  df-ltnqqs 7556  df-enq0 7627  df-nq0 7628  df-0nq0 7629  df-plq0 7630  df-mq0 7631  df-inp 7669  df-i1p 7670  df-iplp 7671  df-imp 7672  df-enr 7929  df-nr 7930  df-plr 7931  df-mr 7932  df-0r 7934  df-1r 7935  df-m1r 7936  df-c 8021  df-0 8022  df-1 8023  df-i 8024  df-add 8026  df-mul 8027

This theorem is referenced by: (None)