Theorem axi2m1 8186

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 8228. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	⊢ ((i · i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 8061	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
2		1sr 8062	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
3		mulcnsr 8146	. . . . . 6 ⊢ (((0R ∈ R ∧ 1R ∈ R) ∧ (0R ∈ R ∧ 1R ∈ R)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩)
4	1, 2, 1, 2, 3	mp4an 427	. . . . 5 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩
5		00sr 8080	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
7		1idsr 8079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 1R) = 1R)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1R ·R 1R) = 1R
9	8	oveq2i 6060	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = (-1R ·R 1R)
10		m1r 8063	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1R ∈ R
11		1idsr 8079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 1R) = -1R)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R 1R) = -1R
13	9, 12	eqtri 2253	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = -1R
14	6, 13	oveq12i 6061	. . . . . . 7 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = (0R +R -1R)
15		addcomsrg 8066	. . . . . . . 8 ⊢ ((0R ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (0R +R -1R) = (-1R +R 0R))
16	1, 10, 15	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
17		0idsr 8078	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R +R 0R) = -1R)
18	10, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1R +R 0R) = -1R
19	14, 16, 18	3eqtri 2257	. . . . . 6 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R
20		00sr 8080	. . . . . . . . 9 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 0R) = 0R)
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1R ·R 0R) = 0R
22		1idsr 8079	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 1R) = 0R)
23	1, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 1R) = 0R
24	21, 23	oveq12i 6061	. . . . . . 7 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = (0R +R 0R)
25		0idsr 8078	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
26	1, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
27	24, 26	eqtri 2253	. . . . . 6 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R
28	19, 27	opeq12i 3887	. . . . 5 ⊢ ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R⟩
29	4, 28	eqtri 2253	. . . 4 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨-1R, 0R⟩
30	29	oveq1i 6059	. . 3 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩)
31		addresr 8148	. . . 4 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩)
32	10, 2, 31	mp2an 426	. . 3 ⊢ (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩
33		m1p1sr 8071	. . . 4 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
34	33	opeq1i 3885	. . 3 ⊢ ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
35	30, 32, 34	3eqtri 2257	. 2 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨0R, 0R⟩
36		df-i 8132	. . . 4 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
37	36, 36	oveq12i 6061	. . 3 ⊢ (i · i) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩)
38		df-1 8131	. . 3 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
39	37, 38	oveq12i 6061	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) = ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩)
40		df-0 8130	. 2 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
41	35, 39, 40	3eqtr4i 2263	1 ⊢ ((i · i) + 1) = 0

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ⟨cop 3691  (class class class)co 6049  Rcnr 7608  0_Rc0r 7609  1_Rc1r 7610  -1_Rcm1r 7611   +_R cplr 7612   ·_R cmr 7613  0cc0 8123  1c1 8124  ici 8125   + caddc 8126   · cmul 8128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-eprel 4409  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-1o 6646  df-2o 6647  df-oadd 6650  df-omul 6651  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-ni 7615  df-pli 7616  df-mi 7617  df-lti 7618  df-plpq 7655  df-mpq 7656  df-enq 7658  df-nqqs 7659  df-plqqs 7660  df-mqqs 7661  df-1nqqs 7662  df-rq 7663  df-ltnqqs 7664  df-enq0 7735  df-nq0 7736  df-0nq0 7737  df-plq0 7738  df-mq0 7739  df-inp 7777  df-i1p 7778  df-iplp 7779  df-imp 7780  df-enr 8037  df-nr 8038  df-plr 8039  df-mr 8040  df-0r 8042  df-1r 8043  df-m1r 8044  df-c 8129  df-0 8130  df-1 8131  df-i 8132  df-add 8134  df-mul 8135

This theorem is referenced by: (None)