Theorem axi2m1 8095

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 8137. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	⊢ ((i · i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 7970	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
2		1sr 7971	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
3		mulcnsr 8055	. . . . . 6 ⊢ (((0R ∈ R ∧ 1R ∈ R) ∧ (0R ∈ R ∧ 1R ∈ R)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩)
4	1, 2, 1, 2, 3	mp4an 427	. . . . 5 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩
5		00sr 7989	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
7		1idsr 7988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 1R) = 1R)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1R ·R 1R) = 1R
9	8	oveq2i 6029	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = (-1R ·R 1R)
10		m1r 7972	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1R ∈ R
11		1idsr 7988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 1R) = -1R)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R 1R) = -1R
13	9, 12	eqtri 2252	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = -1R
14	6, 13	oveq12i 6030	. . . . . . 7 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = (0R +R -1R)
15		addcomsrg 7975	. . . . . . . 8 ⊢ ((0R ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (0R +R -1R) = (-1R +R 0R))
16	1, 10, 15	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
17		0idsr 7987	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R +R 0R) = -1R)
18	10, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1R +R 0R) = -1R
19	14, 16, 18	3eqtri 2256	. . . . . 6 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R
20		00sr 7989	. . . . . . . . 9 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 0R) = 0R)
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1R ·R 0R) = 0R
22		1idsr 7988	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 1R) = 0R)
23	1, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 1R) = 0R
24	21, 23	oveq12i 6030	. . . . . . 7 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = (0R +R 0R)
25		0idsr 7987	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
26	1, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
27	24, 26	eqtri 2252	. . . . . 6 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R
28	19, 27	opeq12i 3867	. . . . 5 ⊢ ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R⟩
29	4, 28	eqtri 2252	. . . 4 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨-1R, 0R⟩
30	29	oveq1i 6028	. . 3 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩)
31		addresr 8057	. . . 4 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩)
32	10, 2, 31	mp2an 426	. . 3 ⊢ (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩
33		m1p1sr 7980	. . . 4 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
34	33	opeq1i 3865	. . 3 ⊢ ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
35	30, 32, 34	3eqtri 2256	. 2 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨0R, 0R⟩
36		df-i 8041	. . . 4 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
37	36, 36	oveq12i 6030	. . 3 ⊢ (i · i) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩)
38		df-1 8040	. . 3 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
39	37, 38	oveq12i 6030	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) = ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩)
40		df-0 8039	. 2 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
41	35, 39, 40	3eqtr4i 2262	1 ⊢ ((i · i) + 1) = 0

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ⟨cop 3672  (class class class)co 6018  Rcnr 7517  0_Rc0r 7518  1_Rc1r 7519  -1_Rcm1r 7520   +_R cplr 7521   ·_R cmr 7522  0cc0 8032  1c1 8033  ici 8034   + caddc 8035   · cmul 8037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-pli 7525  df-mi 7526  df-lti 7527  df-plpq 7564  df-mpq 7565  df-enq 7567  df-nqqs 7568  df-plqqs 7569  df-mqqs 7570  df-1nqqs 7571  df-rq 7572  df-ltnqqs 7573  df-enq0 7644  df-nq0 7645  df-0nq0 7646  df-plq0 7647  df-mq0 7648  df-inp 7686  df-i1p 7687  df-iplp 7688  df-imp 7689  df-enr 7946  df-nr 7947  df-plr 7948  df-mr 7949  df-0r 7951  df-1r 7952  df-m1r 7953  df-c 8038  df-0 8039  df-1 8040  df-i 8041  df-add 8043  df-mul 8044

This theorem is referenced by: (None)