Theorem bcn0 10826

Description: 𝑁 choose 0 is 1. Remark in [Gleason] p. 296. (Contributed by NM, 17-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C0) = 1)

Proof of Theorem bcn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elfz 10184	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
2		bcval2 10821	. . 3 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C0) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0))))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C0) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0))))
4		nn0cn 9250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
5	4	subid1d 8319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
6	5	fveq2d 5558	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 − 0)) = (!‘𝑁))
7		fac0 10799	. . . . . 6 ⊢ (!‘0) = 1
8		oveq12 5927	. . . . . 6 ⊢ (((!‘(𝑁 − 0)) = (!‘𝑁) ∧ (!‘0) = 1) → ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0)) = ((!‘𝑁) · 1))
9	6, 7, 8	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0)) = ((!‘𝑁) · 1))
10		faccl 10806	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
11	10	nncnd 8996	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
12	11	mulridd 8036	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · 1) = (!‘𝑁))
13	9, 12	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0)) = (!‘𝑁))
14	13	oveq2d 5934	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0))) = ((!‘𝑁) / (!‘𝑁)))
15	10	nnap0d 9028	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) # 0)
16	11, 15	dividapd 8805	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) = 1)
17	14, 16	eqtrd 2226	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0))) = 1)
18	3, 17	eqtrd 2226	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  0cc0 7872  1c1 7873   · cmul 7877   − cmin 8190   / cdiv 8691  ℕ₀cn0 9240  ...cfz 10074  !cfa 10796  Ccbc 10818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-fz 10075  df-seqfrec 10519  df-fac 10797  df-bc 10819

This theorem is referenced by:  bcnn  10828  bcpasc  10837  bccl  10838  binom  11627  bcxmas  11632