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Description: The binomial theorem:
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1 | oveq2 5882 |
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2 | oveq2 5882 |
. . . . . . 7
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3 | oveq1 5881 |
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6 | 5 | oveq1d 5889 |
. . . . . . . . 9
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7 | 3, 6 | oveq12d 5892 |
. . . . . . . 8
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8 | 7 | adantr 276 |
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9 | 2, 8 | sumeq12dv 11379 |
. . . . . 6
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10 | 1, 9 | eqeq12d 2192 |
. . . . 5
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11 | 10 | imbi2d 230 |
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21 | 12, 20 | eqeq12d 2192 |
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43 | 34, 42 | eqeq12d 2192 |
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. . . . . . . . 9
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47 | 45, 46 | oveqan12d 5893 |
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48 | 1t1e1 9070 |
. . . . . . . 8
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49 | 47, 48 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . 7
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51 | 50, 48 | eqtrdi 2226 |
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52 | 0z 9263 |
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53 | ax-1cn 7903 |
. . . . . . 7
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54 | 51, 53 | eqeltrdi 2268 |
. . . . . 6
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56 | 0nn0 9190 |
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57 | bcn0 10734 |
. . . . . . . . . 10
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58 | 56, 57 | ax-mp 5 |
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59 | 55, 58 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . . 8
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61 | 0m0e0 9030 |
. . . . . . . . . . 11
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62 | 60, 61 | eqtrdi 2226 |
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63 | 62 | oveq2d 5890 |
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66 | 59, 65 | oveq12d 5892 |
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68 | 52, 54, 67 | sylancr 414 |
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69 | addcl 7935 |
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71 | 51, 68, 70 | 3eqtr4rd 2221 |
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76 | 72, 73, 74, 75 | binomlem 11490 |
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77 | 76 | exp31 364 |
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78 | 77 | a2d 26 |
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79 | 11, 22, 33, 44, 71, 78 | nn0ind 9366 |
. . 3
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81 | 80 | 3impa 1194 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 ax-pre-mulext 7928 ax-arch 7929 ax-caucvg 7930 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-isom 5225 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-irdg 6370 df-frec 6391 df-1o 6416 df-oadd 6420 df-er 6534 df-en 6740 df-dom 6741 df-fin 6742 df-pnf 7993 df-mnf 7994 df-xr 7995 df-ltxr 7996 df-le 7997 df-sub 8129 df-neg 8130 df-reap 8531 df-ap 8538 df-div 8629 df-inn 8919 df-2 8977 df-3 8978 df-4 8979 df-n0 9176 df-z 9253 df-uz 9528 df-q 9619 df-rp 9653 df-fz 10008 df-fzo 10142 df-seqfrec 10445 df-exp 10519 df-fac 10705 df-bc 10727 df-ihash 10755 df-cj 10850 df-re 10851 df-im 10852 df-rsqrt 11006 df-abs 11007 df-clim 11286 df-sumdc 11361 |
This theorem is referenced by: binom1p 11492 efaddlem 11681 |
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